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四川省巴中市2025年高二下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.的值為()A.0 B.2 C.-1 D.12.某學(xué)校為了了解本校學(xué)生的上學(xué)方式,在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查部分學(xué)生,了解到上學(xué)方式主要有:——結(jié)伴步行,——自行乘車,——家人接送,——其他方式,并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中信息,求得本次抽查的學(xué)生中類人數(shù)是()A.30 B.40 C.42 D.483.若為虛數(shù)單位,則的值為()A. B. C. D.4.設(shè)是含數(shù)的有限實(shí)數(shù)集,是定義在上的函數(shù),若的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合,則在以下各項(xiàng)中,的可能取值只能是()A. B. C. D.5.設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo),的圖像如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)的圖像可能為()A. B.C. D.6.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.7.已知函數(shù),,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若存在實(shí)數(shù)使得,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.8.在的展開式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是()A.-10 B.5 C.10 D.-59.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)是純虛數(shù),則復(fù)數(shù)()A. B. C. D.10.如圖,函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是,則()A.4 B.3 C. D.11.設(shè)全集U={1,3,5,7},集合M={1,|a-5|},MU,M={5,7},則實(shí)數(shù)a的值為()A.2或-8 B.-8或-2 C.-2或8 D.2或812.已知,,則等于()A. B. C. D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知點(diǎn)在二面角的棱上,點(diǎn)在半平面內(nèi),且,若對(duì)于半平面內(nèi)異于的任意一點(diǎn),都有,則二面角大小的取值的集合為__________.14.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________.15.“直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直”是“”的______條件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”)16.已知,,,是某球面上不共面的四點(diǎn),且,,,則此球的表面積等于_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中,假設(shè)某張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)券張,可獲得價(jià)值元的獎(jiǎng)品,有二等獎(jiǎng)券張,每張可獲得價(jià)值元的獎(jiǎng)品,其余張沒有獎(jiǎng),某顧客從此張獎(jiǎng)券中任抽張,求(1)該顧客中獎(jiǎng)的概率;(2)該顧客獲得獎(jiǎng)品總價(jià)值為元的概率.18.(12分)(1)已知,求復(fù)數(shù);(2)已知復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù),且,求復(fù)數(shù).19.(12分)在中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,且滿足.求證:為等腰直角三角形20.(12分)《厲害了,我的國(guó)》這部電影記錄:到2017年底,我國(guó)高鐵營(yíng)運(yùn)里程達(dá)2.5萬公里,位居世界第一位,超過第二名至第十名的總和,約占世界高鐵總量的三分之二.如圖是我國(guó)2009年至2017年高鐵營(yíng)運(yùn)里程(單位:萬公里)的折線圖.根據(jù)這9年的高鐵營(yíng)運(yùn)里程,甲、乙兩位同學(xué)分別選擇了與時(shí)間變量的兩個(gè)回歸模型①:;②.(1)求,(精確到0.01);(2)乙求得模型②的回歸方程為,你認(rèn)為哪個(gè)模型的擬合效果更好?并說明理由.附:參考公式:,,.參考數(shù)據(jù):1.3976.942850.220.093.7221.(12分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)將的方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)為上一動(dòng)點(diǎn),求到直線的距離的最大值和最小值.22.(10分)某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生,將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分100分,成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段:,,,,,,后得到如圖的頻率分布直方圖.(1)求圖中實(shí)數(shù)的值;(2)若該校高一年級(jí)共有學(xué)生1000人,試估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù).(3)若從樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?,與,兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生,試用列舉法求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值大于10的槪率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析:求二項(xiàng)展開式系數(shù)和一般方法為賦值法,即分別令x=1與x=-1得,最后相乘得結(jié)果.詳解:令,則,令,則,因此,選D.點(diǎn)睛:“賦值法”普遍適用于恒等式,是一種重要的方法,對(duì)形如的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法,只需令即可;對(duì)形如的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令即可.2、A【解析】
根據(jù)所給的圖形,計(jì)算出總?cè)藬?shù),即可得到A的人數(shù).【詳解】解:根據(jù)選擇D方式的有18人,所占比例為15%,得總?cè)藬?shù)為120人,故選擇A方式的人數(shù)為120﹣42﹣30﹣18=30人.故選A.本題考查了條形圖和餅圖的識(shí)圖能力,考查分析問題解決問題的能力.3、C【解析】試題分析:,選C考點(diǎn):復(fù)數(shù)的運(yùn)算4、B【解析】
利用函數(shù)的定義即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得到:?jiǎn)栴}相當(dāng)于圓上由12個(gè)點(diǎn)為一組,每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合.我們可以通過代入和賦值的方法當(dāng)f(1)=,,0時(shí),此時(shí)得到的圓心角為,,0,然而此時(shí)x=0或者x=1時(shí),都有2個(gè)y與之對(duì)應(yīng),而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個(gè)x只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y,因此只有當(dāng)x=,此時(shí)旋轉(zhuǎn),此時(shí)滿足一個(gè)x只會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)y,故選B.本題考查函數(shù)的定義,即“對(duì)于集合A中的每一個(gè)值,在集合B中有唯一的元素與它對(duì)應(yīng)”(不允許一對(duì)多).5、D【解析】
通過原函數(shù)的單調(diào)性可確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),結(jié)合圖象即可選出答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,所以時(shí),,符合條件的只有D選項(xiàng),故選D.本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,屬于中檔題.6、C【解析】
對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn),得到標(biāo)準(zhǔn)形式,在根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的公式,得到【詳解】對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)所以考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和求復(fù)數(shù)的模長(zhǎng),屬于簡(jiǎn)單題.7、C【解析】
先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),用導(dǎo)數(shù)的方法求最小值,再由基本不等式求出的最小值,結(jié)合題中條件,列出方程,即可求出結(jié)果.【詳解】由得,由得;由得;因此,函數(shù)在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增;所以;又,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,故(當(dāng)且僅當(dāng)與同時(shí)取最小值時(shí),等號(hào)成立)因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)使得,所以,解得.故選C本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,以及由基本不等式求最小值,熟記利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法,以及熟記基本不等式即可,屬于??碱}型.8、A【解析】
根據(jù),把按二項(xiàng)式定理展開,可得含的項(xiàng)的系數(shù),得到答案.【詳解】由題意,在的展開中為,所以含的項(xiàng)的系數(shù),故選A.本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
通過復(fù)數(shù)是純虛數(shù)得到,得到,化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)故答案選D本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題型.10、A【解析】
由條件可得,【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是所以,所以4故選:A本題考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義,較簡(jiǎn)單.11、D【解析】分析:利用全集,由,列方程可求的值.詳解:由,且,又集合,實(shí)數(shù)的值為或,故選D.點(diǎn)睛:本題考查補(bǔ)集的定義與應(yīng)用,屬于簡(jiǎn)單題.研究集合問題,一定要抓住元素,看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí),關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系.12、A【解析】
根據(jù)和角的范圍可求出=—,再根據(jù)兩角和與差的正弦求出的值,進(jìn)而求出,代入求出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)?,?—,所以==,所以,所以=.故選A.本題考查三角函數(shù)給值求角,兩角和與差的正弦,誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
畫出圖形,利用斜線與平面內(nèi)直線所成的角中,斜線與它的射影所成的角是最小的,判斷二面角的大小即可.【詳解】如下圖所示,過點(diǎn)在平面內(nèi)作,垂直為點(diǎn),點(diǎn)在二面角的棱上,點(diǎn)在平面內(nèi),且,若對(duì)于平面內(nèi)異于點(diǎn)的任意一點(diǎn),都有.因?yàn)樾本€與平面內(nèi)直線所成角中,斜線與它的射影所成的角是最小的,即是直線與平面所成的角,平面,平面,所以,平面平面,所以,二面角的大小是.故答案為:.本題考查二面角平面角的求解,以及直線與平面所成角的定義,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想和空間想象能力,屬于中等題.14、2【解析】
根據(jù)圖像與函數(shù)的單調(diào)性分析即可.【詳解】的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即的根的個(gè)數(shù),即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).又當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上方.當(dāng)時(shí),,,此時(shí)在下方.又對(duì)求導(dǎo)有,對(duì)求導(dǎo)有,故隨的增大必有,即的斜率大于的斜率.故在時(shí),與還會(huì)有一個(gè)交點(diǎn).分別作出圖像可知有兩個(gè)交點(diǎn).故答案為:2本題主要考查了數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題,需要根據(jù)題意分析函數(shù)斜率的變化規(guī)律與圖像性質(zhì).屬于中檔題.15、必要不充分.【解析】
根據(jù)平面內(nèi)與斜線在平面內(nèi)的射影垂直的直線必定與垂直,可知充分性不成立;根據(jù)線面垂直的定義,可得必要性成立.由此得到正確答案【詳解】解:(1)充分性:當(dāng)直線與平面斜交,且在平面內(nèi)的射影為,若內(nèi)的直線與垂直時(shí)與垂直,并且滿足條件的直線有無數(shù)條.這樣平面內(nèi)有無數(shù)條直線垂直,但與不垂直,因此充分性不成立;(2)必要性:當(dāng)“”成立時(shí),內(nèi)的任意一條直線都與垂直,因此“直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直”成立,所以必要性成立.故答案為:必要不充分.本題考查了判斷兩命題間的充分、必要條件,考查了直線與平面的位置關(guān)系.對(duì)于兩個(gè)命題,,判斷他們的關(guān)系時(shí),常常分為兩步,以為條件,判斷是否成立;以為條件,判斷是否成立.16、【解析】
把已知三棱錐補(bǔ)形為正方體,可得外接球的半徑,則答案可求.【詳解】解:如圖,
把三棱錐A?BCD補(bǔ)形為棱長(zhǎng)為的正方體,
可得為球的直徑,則球的半徑為,
∴球的表面積為.
故答案為:.本題考查多面體外接球表面積的求法,考查空間想象能力與思維能力,正確補(bǔ)形是關(guān)鍵,是中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】分析:(1)由題意求出該顧客沒有中獎(jiǎng)的概率,由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出該顧客中獎(jiǎng)的概率;(2)利用古典概型概率公式即可求得該顧客獲得獎(jiǎng)品總價(jià)值為元的概率.詳解:(1)由題意得該顧客沒有中獎(jiǎng)的概率為=,∴該顧客中獎(jiǎng)的概率為:P=1﹣=,∴該顧客中獎(jiǎng)的概率為.(Ⅱ)根據(jù)題意可得:P(X=100)==.點(diǎn)睛:(1)古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性,一定要注意在計(jì)算基本事件總數(shù)和事件包括的基本事件個(gè)數(shù)時(shí),他們是否是等可能的.(2)用列舉法求古典概型,是一個(gè)形象、直觀的好方法,但列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重復(fù)、不遺漏.(3)注意一次性抽取與逐次抽取的區(qū)別:一次性抽取是無順序的問題,逐次抽取是有順序的問題.18、(1);(2)或或.【解析】
(1)設(shè)復(fù)數(shù),根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)相等得出關(guān)于、的方程組,解出這兩個(gè)未知數(shù),即可得出復(fù)數(shù);(2)設(shè)復(fù)數(shù),根據(jù)為純虛數(shù)和列出關(guān)于、的方程組,解出這兩個(gè)未知數(shù),可得出復(fù)數(shù).【詳解】(1)設(shè)復(fù)數(shù),由,得,根據(jù)復(fù)數(shù)相等得,解得,因此,;(2)設(shè)復(fù)數(shù),則,由題意可得,.,得,所以有,解得或.因此,或或.本題考查復(fù)數(shù)的求解,常將復(fù)數(shù)設(shè)為一般形式,根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算列舉出方程組進(jìn)行求解,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.19、見解析【解析】
根據(jù)正弦定理,可得,然后利用余弦定理可得,最后可得結(jié)果.【詳解】證法一:由正弦定理及,得,,,,又,由余弦定理,得,即,為等腰直角三角形.證法二:由正弦定理及,得,,,,,由正弦定理及,得,,,,,,,,,為等腰直角三角形.本題考查利用正弦定理、余弦定理的判斷三角形的形狀,關(guān)鍵在于邊角之間的轉(zhuǎn)化,屬基礎(chǔ)題.20、(1)(2)模型②的擬合效果較好【解析】分析:(1)求出,代入最小二乘法公式即可求得,(2)利用公式求得,比較大小可得結(jié)論.詳解:(1),,.(2),,因?yàn)椋阅P廷诘臄M合效果較好.點(diǎn)睛:本小題主要考查回歸直線、回歸分析等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí);考查數(shù)形結(jié)合思想、概率與統(tǒng)計(jì)思想.21、(1)(2)最大值是和最小值是.【解析】分析:(1)利用極坐標(biāo)公式化成直角坐標(biāo)方程.(2)先求出直線的直角坐標(biāo)方程為,再利用圓心到直線的距離求到直線的距離的最大值是和最小值是.詳解:(1)因?yàn)榍€的方程為,則,所以的直角坐標(biāo)方程為,即.(2)因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為(為參數(shù)),所以直線的直角坐標(biāo)方程為,因?yàn)閳A心到直線的距離,則直線與圓相離,所以所求到直線的距離的最大值是和最小值是.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查極坐標(biāo)、參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2)解答第2問的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.22、(1)a=0.1.(2)850(人).(
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