湖南2025屆高三天壹沖刺壓軸大聯(lián)考數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南2025屆高三天壹沖刺壓軸大聯(lián)考數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知(1?i)z?1=0，則在復平面內(nèi)，z對應的點位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知命題p：?x∈R，3x<x3，命題q：?x>0，A.p和q都是真命題 B.?p和q都是真命題

C.p和?q都是真命題 D.?p和?q都是真命題3.正方形ABCD中，AP=2PD，CQ=2QB，設(shè)AD=A.?14a+b B.a?4.棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1DA.1 B.233 C.15.若函數(shù)f(x)=ex+m?lnx在(1,+∞)A.[?1,+∞) B.(?1,+∞) C.[e,+∞) D.(?1,e]6.若曲線E1：x2?xy?2y2=0與E2：x2+y2=4依次交于A.42 B.12105 7.已知某圓錐軸截面等腰三角形的頂角和其側(cè)面展開圖扇形所對的圓心角之和為2π，則該圓錐軸截面等腰三角形的頂角為A.銳角 B.直角

C.鈍角 D.銳角，直角，鈍角都有可能8.為了落實“五育并舉”的相關(guān)政策，某高中開設(shè)了六門勞動實踐課，每名學生從“民俗文化”“茶藝文化”“茶壺制作”“水果栽培”“蔬菜種植”“3D打印”這六門勞動實踐課中任選兩門參加，則甲、乙、丙這3名學生至少有2名學生所選勞動實踐課全不相同的方法種數(shù)共有A.1960 B.2520 C.2950 D.3240二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1A.a1=2 B.q=210.已知菱形ABCD，A為拋物線W：y2=2px(p>0)的焦點，B為W的準線與x軸的交點，C在y軸正半軸上，直線AD交W于M，N兩點，D在線段AM上，則A.p=2 B.|BD|=3p

C.D為線段AM的中點 11.在△ABC中，sinAcosB=kcosAsinB，則A.若k∈(0,+∞)，則C有最小值 B.若k∈(0,+∞)，則|A?B|有最大值

C.若k∈(?∞,0)，則C有最大值 D.若k∈(?∞,0)，則|A?B|無最值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.曲線y=x(lnx)13.下表所示的是相關(guān)變量x與y之間的數(shù)據(jù)，若y與x滿足經(jīng)驗回歸方程y=x14916y12.985.017.0114.若曲線上存在橫，縱坐標均為整數(shù)的點，則稱該曲線為容整曲線．已知雙曲線C：x2?y2=i，i=1，2，…，4n，n∈N???四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知(1)求Sn(2)設(shè)bn=1anan+1，數(shù)列{b16.(本小題15分)已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=6(b?c)=6，sinC=(1)求△ABC的面積；(2)證明：A=2C．17.(本小題15分)某機器人商店出售的機器人中，甲品牌占40%，合格率為95%；乙品牌占30%，合格率為90%；丙品牌占30%，合格率為90%，現(xiàn)從該商店隨機買一臺機器人．(1)求該機器人是甲品牌合格品的概率；(2)求該機器人是合格品的概率；(3)若該機器人是不合格品，求它是丙品牌的概率．18.(本小題17分)如圖，四棱錐P?ABCD中，∠PAB=3π4，PA=2，△PAD是等邊三角形，(1)證明：CD⊥平面PBA；(2)若PB=PC=5，四棱錐P?ABCD的各個頂點均在球O的表面上，求球(3)若PB=PC，且平面PAD與平面PBC夾角的正弦值為13，求BCAD19.(本小題17分)如圖，曲線C：ex?x?12(1)求曲線C與橢圓x2(2)證明：曲線C的圖象關(guān)于x軸對稱，且其圖象上不存在關(guān)于y軸對稱的兩點；(3)若A，B為曲線C上不同的兩點，M為AB中點，已知M不在坐標軸上，證明：直線OM與直線AB的斜率之積小于?14是點M在y軸右側(cè)的充要條件．參考答案1.A

2.B

3.C

4.D

5.A

6.B

7.C

8.B

9.BCD

10.BC

11.BD

12.y=?2x+3e

13.(6.25,4)

14.3415.(1)解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，

由a2=3和a7=8得：a1+d=3a1+6d=8，

聯(lián)立得5d=5?d=1，所以a1=2，

通項公式為an=2+(n?1)×1=n+1；

前n項和為Sn=n(a1+an)2=n[2+(n+1)]2=n(n+3)216.解：(1)由sinC=74，△ABC為銳角三角形，可得cosC=1?716所以c2=36+(c+1即37+2c?9(c+1)=0，可得c=4，則b=5，故S△ABC(2)由(1)易知cosC=34由(1)及余弦定理有cosA=所以cosA=cos2C，又A,C∈(0,

17.解：(1)用A表示機器人是甲品牌，用B表示機器人是合格品，

則P(A)=40%，P(B|A)=95%，

所以該機器人是甲品牌合格品的概率P(BA)=P(A)P(B|A)=40%×95%=0.38．

(2)用C表示機器人是乙品牌，用D表示機器人是丙品牌，

P(B)=P(A)P(B|A)+P(C)P(B|C)+P(D)P(B|D)=40%×95%+30%×90%+30%×90%=0.92；

(3)由(2)知，該機器人是不合格品的概率P(B)=1?0.92=0.08，

若該機器人是不合格品，它是丙品牌的概率P(D|18.解：(1)延長BA，CD交于點H，由AB⊥平面PDC，且DH?平面PDC，

所以AB⊥DH，即AH⊥DH，

同理可得AH⊥PH，

由∠PAB=3π4，得∠PAH=π4，

所以AH=PH，

又AH⊥DH，且△PAD是等邊三角形，

所以AP=AD，

由幾何知識可得△PAH≌△DAH，

所以PH=DH=AH，

又DP=AD，

由幾何知識可得△DPH≌△DAH，

所以DH⊥HP，

又HP∩AH=H，

所以DH⊥平面APH，

即CD⊥平面PBA；

(2)由(1)得，HB，HC，HP兩兩互相垂直，

故以H為原點，HB，HC，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由PA=2，且PH=DH=AH，

可得PH=DH=AH=1，

所以H(0,0,0)，A(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，

又PB=PC=5，由勾股定理可得HB=HC=2，

所以B(2,0,0)，C(0,2,0)．

由題意，四邊形ABCD的各個頂點均在球O的一個截面圓O1上，設(shè)O1(a,b,0)，所以O(shè)1A=O1D=O1B，

聯(lián)立(a?1)2+b2=a2+(b?1)2(a?1)2+b2=(a?2)2+b2，解得a=32b=32，

所以O(shè)1(32,32,0)，

設(shè)O(32,32,?)，由OA=OP，得14+94+?2=94+94+(??1)2，解得?=32，即O(32,32,32)，

設(shè)球O的半徑為R，表面積為S，則R2=14+94+94=194，S=4πR2=19π．

另解：幾何法：

考慮，P?AB?C“二面角”四點共球與原問題等價．

由(1)P?AB?C為直二面角，△PAB的外接圓半徑：2r1=522，得r1=102，

故O1H=32，

同理O2H=32，

所以在正方形OO1HO2中，OH=322，

所以外接球半徑：R2=1+(322)2=194，

所以S球=4π×194=19π；

(3)由PB=PC得HB=HC，設(shè)B(m,0,0)19.解：(1)公共點的個數(shù)即為使方程ex?x?12+y2=x24+y2成立所對應的解(x,y)的組數(shù)，

由題易得若ex?x?12=x24≤1，則有兩個互為相反數(shù)的y值滿足條件，

公共點個數(shù)即為函數(shù)f(x)=ex?x?12?x24小于1的零點個數(shù)的兩倍，

易得f(0)=0，f′(x)=12(ex?x?1)，f′(0)=0，

設(shè)u(x)=12(ex?x?1)，則u′x=12(ex?1)，

則u′(x)在(?∞,0)上小于0，在(0,+∞)上大于0，

故f′(x)≥f′(0)=0，f(x)單調(diào)遞增，故0為f(x)的唯一零點，

因此曲線C與橢圓x24+y2=1的公共點個數(shù)為2．

(2)易得ex?x?12+y2=ex?x?12+(?y)2，

故曲線C關(guān)