天津大學(xué)附屬中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

天津大學(xué)附屬中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列中，是函數(shù)的兩個零點，則的前10項和等于（）A． B．15 C．30 D．2．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費(單位：千元)對年銷售量(單位：)和年利潤(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．有下列5個曲線類型：①；②；③；④；⑤，則較適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費的回歸方程的是()A．①② B．②③ C．②④ D．③⑤3．已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．從裝有3個白球,4個紅球的箱子中,隨機取出了3個球,恰好是2個白球,1個紅球的概率是()A． B． C． D．5．若隨機變量服從正態(tài)分布，則（）附：隨機變量，則有如下數(shù)據(jù)：，，.A． B． C． D．6．如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面BCD，，，，，直線AC與底面BCD所成角的大小為A． B． C． D．7．如圖,陰影部分的面積是（）A． B． C． D．8．設(shè)，，，則的值分別為（）A．18， B．36, C．36， D．18，9．某農(nóng)場給某種農(nóng)作物的施肥量x(單位：噸)與其產(chǎn)量y(單位：噸)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：由于表中的數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程為y=9.4x+a.，當(dāng)施肥量x=6時，該農(nóng)作物的預(yù)報產(chǎn)量是(A．72.0 B．67.7 C．65.5 D．63.610．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（）A． B．2 C．-3 D．11．構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè)，則與的面積之比為（）A． B． C． D．12．的展開式中的系數(shù)是（）A．16 B．70 C．560 D．1120二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上，則的共軛復(fù)數(shù)________．14．已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列.若，且，則數(shù)列的公比__________.15．的展開式中的系數(shù)是__________．16．三個元件正常工作的概率分別為，，，將兩個元件并聯(lián)后再和串聯(lián)接入電路，如圖所示，則電路不發(fā)生故障的概率為_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某學(xué)校高三年級有學(xué)生1000名，經(jīng)調(diào)查研究，其中750名同學(xué)經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為類同學(xué)），另外250名同學(xué)不經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為類同學(xué)），現(xiàn)用分層抽樣方法（按類、類分二層）從該年級的學(xué)生中共抽查100名同學(xué).（1）測得該年級所抽查的100名同學(xué)身高（單位：厘米）頻率分布直方圖如圖，按照統(tǒng)計學(xué)原理，根據(jù)頻率分布直方圖計算這100名學(xué)生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)（單位精確到0.01）；（2）如果以身高達到作為達標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的100名學(xué)生，得到列聯(lián)表：體育鍛煉與身高達標(biāo)列聯(lián)表身高達標(biāo)身高不達標(biāo)合計積極參加體育鍛煉60不積極參加體育鍛煉10合計100①完成上表；②請問有多大的把握認為體育鍛煉與身高達標(biāo)有關(guān)系？參考公式：.參考數(shù)據(jù)：0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點，其傾斜角為，以原點為極點，以軸為非負半軸為極軸，與坐標(biāo)系取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若直線與曲線有公共點，求傾斜角的取值范圍；(2)設(shè)為曲線上任意一點，求的取值范圍.19．（12分）已知為正實數(shù)，函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)的最大值是，求的最小值.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)傾斜角為的直線（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）相交于不同的兩點.（1）若，求線段中點的坐標(biāo)；（2）若，其中，求直線的斜率.21．（12分）某連鎖經(jīng)營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表商店名稱ABCDE銷售額x(千萬元)35679利潤額y(百萬元)23345（1）畫出散點圖．觀察散點圖，說明兩個變量有怎樣的相關(guān)性.(2)用最小二乘法計算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程．(3)當(dāng)銷售額為4(千萬元)時，估計利潤額的大小.其中22．（10分）如圖，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點，G在AE上，且．試用向量，，表示向量；若，，，，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題意得是方程的兩根，∴，∴．選B．2、B【解析】分析：先根據(jù)散點圖確定函數(shù)趨勢，再結(jié)合五個選擇項函數(shù)圖像，進行判斷選擇.詳解：從散點圖知，樣本點分布在開口向右的拋物線(上支)附近或?qū)?shù)曲線(上部分)的附近，所以y＝或y＝p＋qlnx較適宜，故選B.點睛：本題考查散點圖以及函數(shù)圖像，考查識別能力.3、A【解析】分析：由題意可得即有兩個不等的實數(shù)解．令，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，畫出圖象，通過圖象即可得到結(jié)論．詳解：函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個零點，

等價為即有兩個不等的實數(shù)解．令，，

當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增．在處取得極大值，且為最大值．當(dāng)．

畫出函數(shù)的圖象，

由圖象可得時，和有兩個交點，

即方程有兩個不等實數(shù)解，有兩個零點．

故選A．點睛：本題考查函數(shù)的零點問題，注意運用轉(zhuǎn)化思想，考查構(gòu)造函數(shù)法，運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．4、C【解析】分析：根據(jù)古典概型計算恰好是2個白球1個紅球的概率.詳解：由題得恰好是2個白球1個紅球的概率為.故答案為:C.點睛：（1）本題主要考查古典概型，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)古典概型的解題步驟:①求出試驗的總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)；③代公式=.5、B【解析】

先將、用、表示，然后利用題中的概率求出的值.【詳解】由題意可知，，則，，，因此，，故選B.本題考查利用正態(tài)分布原則求概率，解題時要將相應(yīng)的數(shù)用和加以表示，并利用正態(tài)曲線的對稱性列式求解，考查計算能力，屬于中等題.6、A【解析】

取BD中點,可證，為直線AC與底面BCD所成角?！驹斀狻咳D中點，由，，又側(cè)面底面BCD，所以。所以為直線AC與底面BCD所成角。,所以。選A.本題考查線面角，用幾何法求線面角要一作、二證、三求，要有線面垂直才有線面角。7、C【解析】由定積分的定義可得，陰影部分的面積為.本題選擇C選項.點睛：利用定積分求曲線圍成圖形的面積的步驟：(1)畫出圖形；(2)確定被積函數(shù)；(3)確定積分的上、下限，并求出交點坐標(biāo)；(4)運用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積．求解時，注意要把定積分與利用定積分計算的曲線圍成圖形的面積區(qū)別開：定積分是一個數(shù)值(極限值)，可為正，可為負，也可為零，而平面圖形的面積在一般意義上總為正．8、A【解析】

由ξ～B（n，p），Eξ＝12，Dξ＝4，知np＝12，np（1﹣p）＝4，由此能求出n和p．【詳解】∵Eξ＝12，Dξ＝4，∴np＝12，np（1﹣p）＝4，∴n＝18，p．故選A．本題考查離散型隨機變量的期望和方差，解題時要注意二項分布的性質(zhì)和應(yīng)用．9、C【解析】

根據(jù)回歸直線方程過樣本的中心點(x,y)，先求出中心點的坐標(biāo)，然后求出【詳解】x=2+3+4+54=3.5,y=26+39+49+544=42，因為回歸直線方程過樣本的中心點(x本題考查了回歸直線方程的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力.10、A【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到、的值，可得答案【詳解】第1次執(zhí)行循環(huán)體后：，；第2次執(zhí)行循環(huán)體后：，；第3次執(zhí)行循環(huán)體后：，；第4次執(zhí)行循環(huán)體后：，；經(jīng)過4次循環(huán)后，可以得到周期為4，因為，所以輸出的值為，故選A．本題考查程序框圖的問題，本題解題的關(guān)鍵是找出循環(huán)的周期，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解析】

由題意得出點為的中點，由余弦定理得出，結(jié)合三角形面積公式得出正確答案.【詳解】，，即點為的中點由余弦定理得：解得：故選：D本題主要考查了余弦定理以及三角形的面積公式，屬于中檔題.12、D【解析】

設(shè)含的為第，所以，故系數(shù)為：，選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

把復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)代入直線上，由此得到復(fù)數(shù)，即可求出答案【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，代入直線，可得，解得：，故復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)；故答案為本題主要考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)以及與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。14、2【解析】

本題可以點把轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于公比的一元二次方程，再根據(jù)遞增數(shù)列得出結(jié)論?！驹斀狻?，或因為等比數(shù)列為遞增數(shù)列所以要注意一個遞增的等比數(shù)列，它的公比大于1。15、243【解析】分析：先得到二項式的展開式的通項，然后根據(jù)組合的方式可得到所求項的系數(shù)．詳解：二項式展開式的通項為，∴展開式中的系數(shù)為.點睛：對于非二項式的問題，解題時可轉(zhuǎn)化為二項式的問題處理，對于無法轉(zhuǎn)化為二項式的問題，可根據(jù)組合的方式“湊”出所求的項或其系數(shù)，此時要注意考慮問題的全面性，防止漏掉部分情況．16、【解析】分析：組成的并聯(lián)電路可從反面計算，即先計算發(fā)生故障的概率，然后用對立事件概率得出不發(fā)生故障概率．詳解：由題意．故答案為．點睛：零件不發(fā)生故障的概率分別為，則它們組成的電路中，如果是串聯(lián)電路，則不發(fā)生故障的概率易于計算，即為，如果組成的是并聯(lián)電路，則發(fā)生故障的概率易于計算，即為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）174，174.55；（2）①列聯(lián)表見解析；②.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)與中位數(shù)的公式即可求解；（2）①根據(jù)頻率分布直方圖求出身高達標(biāo)與不達標(biāo)的比例，結(jié)合積極參加體育鍛煉和不積極參加體育鍛煉的比例，完成表格；②根據(jù)公式計算出即可下結(jié)論.【詳解】（1）平均數(shù)，前兩組頻率之和為0.25，前三組頻率之和為0.8，所以中位數(shù)在第三組中位數(shù)為.（2）根據(jù)頻率分布直方圖可得身高不達標(biāo)所占頻率為0.25，達標(biāo)所占頻率為0.75，所以身高不達標(biāo)25人，達標(biāo)75人，根據(jù)分層抽樣抽取的積極參加體育鍛煉75人，不積極參加體育鍛煉的25人，所以表格為：身高達標(biāo)身高不達標(biāo)合計積極參加體育鍛煉601575不積極參加體育鍛煉151025合計7525100假設(shè)體育鍛煉與身高達標(biāo)沒有關(guān)系.所以有把握認為體育鍛煉與身高達標(biāo)有關(guān)系.此題考查根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)，計算指定組的頻率，完成列聯(lián)表進行獨立性檢驗，關(guān)鍵在于數(shù)量掌握相關(guān)數(shù)據(jù)的求解方法，準(zhǔn)確計算并下結(jié)論.18、(1).(2).【解析】分析：（1）利用互化公式即可把曲線C的極坐標(biāo)方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0化為直角坐標(biāo)方程．直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得t2﹣8tcosα+12=0，根據(jù)直線l與曲線C有公共點，可得△≥0，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．（2）曲線C的方程x2+y2﹣2x﹣3=0可化為（x﹣1）2+y2=4，參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），設(shè)M（x，y）為曲線上任意一點，可得x+y=1+2cosθ+2sinθ，利用和差公式化簡即可得出取值范圍．詳解：（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將參數(shù)方程代入，整理，∵直線與曲線有公共點，∴，∴，或，∵，∴的取值范圍是（2）曲線的方程可化為，其參數(shù)方程為（為參數(shù)），∵為曲線上任意一點，∴，∴的取值范圍是點睛：解答解析幾何中的最值問題時，對于一些特殊的問題，可根據(jù)幾何法求解，以增加形象性、減少運算量．19、（1）.（2）【解析】

（1）利用絕對值三角不等式即可求得結(jié)果；（2）由（1）可得，利用柯西不等式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由絕對值三角不等式得：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.為正實數(shù)，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），的最大值為.（2）由（1）知：，即.，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時取等號）.的最小值為.本題考查利用絕對值三角不等式和柯西不等式求解最值的問題；利用柯西不等式的關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知等式的形式，配湊出符合柯西不等式形式的式子，屬于?？碱}型.20、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，當(dāng)時，設(shè)點對應(yīng)參數(shù)為．直線方程為代入曲線的普通方程，得，由韋達定理和中點坐標(biāo)公式求得，代入直線的參數(shù)方程可得點的坐標(biāo)；（2）把直線的參數(shù)方程代入橢圓的普通方程可得關(guān)于參數(shù)的一元二次方程，由已知條件和韋達定理可