習(xí)題課件：第19章 專題技能訓(xùn)練(五) 特殊四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題

第19章矩形、菱形與正方形華師版八年級下專題技能訓(xùn)練(五)訓(xùn)練特殊四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題1．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)兩點(diǎn)在對角線BD上運(yùn)動(dòng)(E，F(xiàn)兩點(diǎn)不重合，且E點(diǎn)在F點(diǎn)的左側(cè))，且保持BE＝DF，連結(jié)AE，CF.請你猜想AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并對你的猜想加以證明．2．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若E，F(xiàn)是AC上兩動(dòng)點(diǎn)，并且E，F(xiàn)分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)以2cm/s的速度向終點(diǎn)C，A運(yùn)動(dòng)．(1)四邊形DEBF是平行四邊形嗎？說明你的理由．解：四邊形DEBF是平行四邊形．理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F(xiàn)是AC上兩動(dòng)點(diǎn)，并且E，F(xiàn)分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)以2cm/s的速度向終點(diǎn)C，A運(yùn)動(dòng)，∴AE＝CF，∴OE＝OF，∴四邊形DEBF是平行四邊形．(2)若BD＝10cm，AC＝18cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，t為何值時(shí)，以D，E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？解：根據(jù)題意得AE＝CF＝2tcm.∵以D，E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴當(dāng)EF＝BD時(shí)，以D，E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，即AC－AE－CF＝BD或AE＋CF－AC＝BD，∴18－2t－2t＝10或2t＋2t－18＝10，解得t＝2或t＝7，∴當(dāng)t為2或7時(shí)，以D，E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形．3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝20cm，BC＝4cm，點(diǎn)P從A開始沿折線A－B－C－D以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C開始沿CD以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則t為何值時(shí)，四邊形APQD是矩形？解：根據(jù)題意得CQ＝tcm，AP＝4tcm，則BP＝(20－4t)cm.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠B＝∠C＝90°，CD∥AB，∴只有CQ＝BP時(shí)，四邊形APQD是矩形，即t＝20－4t，解得t＝4，∴當(dāng)t＝4時(shí)，四邊形APQD是矩形．4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q的速度都是1cm/s.(1)在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形AQCP可能是菱形嗎？如果可能，那么經(jīng)過多長時(shí)間后，四邊形AQCP是菱形？解：可能．設(shè)經(jīng)過xs后，四邊形AQCP是菱形，則DP＝xcm，CP＝AP＝AD－DP＝(8－x)cm.∵DP2＋CD2＝PC2，∴x2＋16＝(8－x)2，解得x＝3.即經(jīng)過3s后，四邊形AQCP是菱形．(2)分別求出菱形AQCP的周長和面積．解：由(1)易得，菱形AQCP的邊長為5cm，∴菱形AQCP的周長＝5×4＝20(cm)，菱形AQCP的面積＝5×4＝20(cm2)．5．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分別是AD、CD上的動(dòng)點(diǎn)(包含端點(diǎn))，且AE＋CF＝4，連結(jié)BE、EF、FB.(1)試探究BE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；解：BE＝BF.證明：∵四邊形ABCD是邊長為4的菱形，BD＝4，∴△ABD、△CBD是邊長為4的等邊三角形．∵AE＋CF＝4，∴CF＝4－AE＝AD－AE＝DE.∵BD＝BC＝4，∠BDE＝∠C，∴△BDE≌△BCF.∴BE＝BF.(2)求EF的最大值．解：∵△BDE≌△BCF，∴∠EBD＝∠FBC.∴∠EBD＋∠DBF＝∠FBC＋∠DBF.∴∠EBF＝∠DBC＝60°.∵BE＝BF，∴△BEF是等邊三角形．∴EF＝BE＝BF.∴當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D或點(diǎn)A，即EF＝DC或EF＝AD時(shí)，EF最大，最大值為4.6．在菱形ABCD中，∠B＝60°，動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上，動(dòng)點(diǎn)F在邊CD上．(1)如圖①，若E是BC的中點(diǎn)，∠AEF＝60°，求證：BE＝DF；證明：連結(jié)AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.∴△ABC是等邊三角形．又∵E是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.(2)如圖②，若∠EAF＝60°，求證：△AEF是等邊三角形．證明：連結(jié)AC.由(1)知△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.∴∠BAE＝∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.∴△AEF是等邊三角形．7．如圖，在正方形ABCD中，E是邊CD上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)C，D重合)，連結(jié)BE，取BE的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M作FG⊥BE交BC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G.(1)求證：BE＝FG.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°.如圖，過點(diǎn)G作GP⊥BC，垂足為P，則四邊形ABPG是矩形，(2)連結(jié)CM，若CM＝1，試求FG的長．解：在Rt△BCE中，∵點(diǎn)M為BE的中點(diǎn)，∴易得BE＝2CM.∵CM＝1，∴FG＝BE＝2.8．【中考·北京】如圖，在正方形ABCD中，E是邊A