山西省呂梁市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

山西省呂梁市2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．4 C．5 D．2．已知平面向量的夾角為，滿足，則（

）A． B．1 C． D．3．在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則的面積是（

）A．2 B．4 C． D．34．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子2次，事件甲為“第一次骰子正面向上的數(shù)字是1”，事件乙為“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是4”，事件丙為“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是8”，則（

）A．甲乙互斥 B．乙丙互為對立 C．甲乙相互獨(dú)立 D．甲丙互斥5．已知兩個(gè)不重合的平面，和直線l，若，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若且，則的形狀是（

）A．有一個(gè)角是的等腰三角形 B．等邊三角形C．三邊均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形7．某次趣味運(yùn)動會，設(shè)置了教師足球射門比賽:教師射門，學(xué)生守門.已知參與射門比賽的教師有60名，進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是3和13，其中男教師進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是4和8，女教師進(jìn)球數(shù)的平均值為2，則女教師進(jìn)球數(shù)的方差為（

）A．15 B．16 C．17 D．188．在梯形中，，點(diǎn)為邊上一動點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，其中是原點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的虛部為 B．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C．當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù) D．向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為10．正六邊形瓷磚是一種常見的裝飾材料，被廣泛應(yīng)用于室內(nèi)和室外的墻壁、地面和裝飾品的制作.正六邊形瓷磚的設(shè)計(jì)能夠形成美觀的六邊形花紋，增加空間的層次感和藝術(shù)感.如圖是一塊正六邊形瓷磚，它的邊長為1，點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若為的中點(diǎn)，在上的投影向量為D．的最大值為11．正方體的棱長為分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．直線與所成角的余弦值為B．三棱錐的體積為定值C．平面截正方體所得的截面周長為D．直線與平面所成角的正弦值為三、填空題12．已知數(shù)據(jù)的方差為16，則數(shù)據(jù)的方差為.13．已知相互獨(dú)立事件滿足，則.14．已知正三棱臺上、下底面邊長分別為和，側(cè)面與下底面所成的二面角為，則該正三棱臺外接球的表面積為.四、解答題15．北京大興半程馬拉松暨第八屆“花繪北京悅跑大興”于2024年4月27日在大興區(qū)魏善莊鎮(zhèn)鳴槍開跑，參賽規(guī)模為6000人并設(shè)有兩個(gè)項(xiàng)目，為讓更多的人了解馬拉松運(yùn)動項(xiàng)目，某區(qū)舉辦了馬拉松知識競賽，并從中隨機(jī)抽取了名參賽者的成績，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：分?jǐn)?shù)頻數(shù)5102030頻率0.100.200.300.35（1）分別求的值，并在圖中畫出頻率分布直方圖；（2）若參賽者得分分?jǐn)?shù)不低于70的人數(shù)至少要占以上，并且參賽者得分分?jǐn)?shù)的平均數(shù)超過80分，則該區(qū)可以評為“一馬當(dāng)先區(qū)”，估計(jì)該區(qū)能否評為“一馬當(dāng)先區(qū)”，并說明理由.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）16．如圖，是的直徑，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，垂直于所在的平面，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，求點(diǎn)到平面的距離.17．如圖，四邊形中，，，，且為銳角．

（1）求；（2）求的面積．18．2024年4月25日20時(shí)59分，搭載神舟十八號載人飛船的長征二號遙十八運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射成功，實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)飛行乘組太空“會師”.下表記錄了我國已發(fā)射成功的所有神舟飛船的發(fā)射時(shí)間和飛行時(shí)長.名稱發(fā)射時(shí)間飛行時(shí)長神舟一號1999年11月20日21小時(shí)11分神舟二號2001年1月10日6天18小時(shí)22分神舟三號2002年3月25日6天18小時(shí)39分神舟四號2002年12月30日6天18小時(shí)36分神舟五號2003年10月15日21小時(shí)28分神舟六號2005年10月12日4天19小時(shí)32分神舟七號2008年9月25日2天20小時(shí)30分神舟八號2011年11月1日16天神舟九號2012年6月16日13天神舟十號2013年6月11日15天神舟十一號2016年10月17日32天神舟十二號2021年6月17日3個(gè)月神舟十三號2021年10月16日6個(gè)月神舟十四號2022年6月5日6個(gè)月神舟十五號2022年11月29日6個(gè)月神舟十六號2023年5月30日5個(gè)月神舟十七號2023年10月26日6個(gè)月神舟十八號2024年4月25日預(yù)計(jì)6個(gè)月為幫助同學(xué)們了解我國神舟飛船的發(fā)展情況，某學(xué)?！昂教焐鐖F(tuán)”準(zhǔn)備通過繪畫、海報(bào)、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表等形式宣傳“神舟系列飛船之旅”.（1）繪畫組成員從表中所有的神舟飛船中隨機(jī)選取1艘進(jìn)行繪畫，求選中的神舟飛船的發(fā)射時(shí)間恰好是在10月份的概率；（2）海報(bào)組組成員從飛行時(shí)長（包括預(yù)計(jì)飛行時(shí)長）大于4個(gè)月的神舟飛船中隨機(jī)選取2艘制作海報(bào)；海報(bào)組組成員從飛行時(shí)長（包括預(yù)計(jì)飛行時(shí)長）小于5天的神舟飛船中隨機(jī)選取2艘制作海報(bào)，兩組選擇互不影響，求兩組選中的兩艘神舟飛船的發(fā)射時(shí)間恰好都在10月或11月份的概率.19．類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線，，構(gòu)成的三面角，，，，二面角的大小為，則．（1）當(dāng)、時(shí)，證明以上三面角余弦定理；（2）如圖2，四棱柱中，平面平面，，，①求的余弦值；②在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．

參考答案1．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，得到，所以，故選C.2．【答案】B【詳解】因?yàn)?，可得，可?故選B.3．【答案】C【詳解】若，則，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，則的面積是.故選C.4．【答案】D【詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)?shù)诙西蛔诱嫦蛏系臄?shù)字是時(shí)，事件甲與事件乙可以同時(shí)發(fā)生，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子2次，正面向上的數(shù)字之和可能是，所以乙丙互斥但不對立；對于選項(xiàng)C，設(shè)事件甲，事件乙發(fā)生的概率分別為，事件甲、乙同時(shí)發(fā)生的概率為，因?yàn)?，又，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，因?yàn)槭录着c事件乙不能同時(shí)發(fā)生，所以甲丙互斥，故選項(xiàng)D正確；故選D.5．【答案】D【詳解】解：若，，則或，故充分性不成立；若，，則或或直線l與平面相交，故必要性不成立.所以“”是“”的既不充分也不必要條件．故選D．6．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，如圖所示，在邊、上分別取點(diǎn)、，使、，以、為鄰邊作平行四邊形，則，顯然，因此平行四邊形為菱形，平分，又，則有，即，于是得是等腰三角形，所以，又，所以為等邊三角形.故選.7．【答案】B【詳解】設(shè)參加射門比賽的男教師人數(shù)為，則全部參賽教師進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)，解得，即參賽的男女教師各有人，設(shè)女教師進(jìn)球數(shù)的方差為，依題意可得，解得.故選B8．【答案】C【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，設(shè)，所以，得到，因?yàn)?，所以，故選C.9．【答案】BC【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，故?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，所以選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，又，所以，故選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，得到向量對?yīng)的復(fù)數(shù)為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選BC.10．【答案】ACD【詳解】對于選項(xiàng)A，如圖1，因?yàn)?，又，所以，得到，所以選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，如圖1，因?yàn)?，又因?yàn)檎呅蔚倪呴L為1，所以，，所以，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)C，如圖1，因?yàn)?，所以在上的投影向量為，故選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，易知，，，則，，所以，得到，所以當(dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大，此時(shí)，所以的最大值為，故選項(xiàng)D正確，故選ACD.11．【答案】ABC【詳解】對于A，取中點(diǎn)H，連接、、，

則由題意可知，，且，所以是直線與所成角或補(bǔ)角，且，所以直線與所成角余弦值為，故A正確；對于B，連接、，由正方體幾何性質(zhì)可知且，所以四邊形是平行四邊形，故，

又，所以，故與共面且過與的面有且只有一個(gè)，故四邊形是平面截正方體所得的截面圖形，連接，則由、均為所在邊的中點(diǎn)以及正方體性質(zhì)得，且，故，又平面，平面，所以平面，故點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離，所以為定值，即三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)B正確；對于C，由B可知平面截正方體所得的截面圖形為四邊形，又由上以及題意得，，，所以平面截正方體所得的截面周長為，故C正確；對于D，連接，由正方體性質(zhì)可知平面，故是直線與平面所成的角，又，所以，所以，故直線與平面所成角的正弦值為，故D錯(cuò).

故選ABC.12．【答案】36【詳解】因?yàn)椋謹(jǐn)?shù)據(jù)的方差為16，所以由方差性質(zhì)得數(shù)據(jù)的方差為.13．【答案】/【詳解】因?yàn)橄嗷オ?dú)立事件，，所以，所以，所以.14．【答案】/【詳解】如圖，設(shè)正三棱臺上、下底面的中心分別為，的中點(diǎn)分別為，連接，由正三棱臺的性質(zhì)可知，所以為側(cè)面與下底面所成的二面角的平面角，易知正三棱臺外接球的球心在直線上，設(shè)球心為，如圖所示，過作于，因?yàn)檎馀_上、下底面邊長分別為和，所以，因?yàn)榉謩e為的中心，所以，，在中，，，所以，又，設(shè)，正三棱臺外接球的外接球半徑為，由，得到，解得，所以球心在的延長線上，得到，所以正三棱臺外接球的表面積為.15．【答案】（1），，，頻率分布直方圖見解析（2）該區(qū)可以評為“一馬當(dāng)先區(qū)”，理由見解析【詳解】（1）由，解得，由表格數(shù)據(jù)得，，因?yàn)槊拷M的分別為0.005，0.010，0.020，0.030，0.035，所以頻率分布直方圖如下所示：（2）該區(qū)可以評為“一馬當(dāng)先區(qū)”，理由如下：因?yàn)閰①愓叩梅址謹(jǐn)?shù)不低于70的頻率為，所以滿足參賽者得分分?jǐn)?shù)不低于70的人數(shù)至少要占80%以上，又參賽者得分分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，所以該區(qū)可以評為“一馬當(dāng)先區(qū)”.16．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）因是的直徑，則，因垂直于所在的平面，平面，則，因，，平面，則平面，又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，得到，所以平面，又平面，則平面平面；（2）解1．如圖，過作垂線，垂足為．由（1）知平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，則平面，即為點(diǎn)到平面的距離．又，，垂直于所在的平面則，所以，則在中，，得到，即點(diǎn)到平面的距離為．因點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離的一半，即點(diǎn)到平面的距離為．解2．如圖，過作垂線，垂足為．由（1）知平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，則平面，即為點(diǎn)到平面的距離．又，，垂直于所在的平面則，得到，則在中，，得到，因?yàn)闉榈闹形痪€，所以，即點(diǎn)到平面的距離為.解3：等體積法設(shè)底面圓半徑為，，，,的面積,,又由（1）知，面，面，，與為直角三角形．，，，．設(shè)到平面的距離為，由，得，，到平面的距離為．17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由已知，∵是銳角，∴．由余弦定理可得，則．∵，∴BD是四邊形外接圓的直徑，∴BD是外接圓的直徑，利用正弦定理知（2）由，，，，則,,又，則，因此，故的面積為．18．【答案】（1）（2）【詳解】（1）記名稱為神舟第號飛船為，則“從表中所有的神舟飛船中隨機(jī)選取1艘”的樣本空間為，共18個(gè)樣本點(diǎn)．設(shè)“神舟飛船的發(fā)射時(shí)間恰好是在10月份”為事件，則，共5個(gè)樣本點(diǎn)，所以．（2）“組從飛行時(shí)長（包括預(yù)計(jì)飛行時(shí)長）大于4個(gè)月的神舟飛船中隨機(jī)選取2艘”的樣本空間為，，共15個(gè)樣本點(diǎn)．“組從飛行時(shí)長（包括預(yù)計(jì)飛行時(shí)長）小于5天的神舟飛船中隨機(jī)選取2艘”的樣本空間為，共6個(gè)樣本點(diǎn)．設(shè)“組選中的神舟飛船的飛行時(shí)長（包括預(yù)計(jì)飛行時(shí)長）大于4個(gè)月的神舟飛船中隨機(jī)選取2艘恰好在10月或11月份”為事件，則，共3個(gè)樣本點(diǎn)，所以．設(shè)“組選中的神舟飛船的飛行時(shí)長（包括預(yù)計(jì)飛行時(shí)長）小于5天的神舟飛船中隨機(jī)選取2艘恰好在10月或11月份”為事件，則，共3個(gè)樣本點(diǎn)，所以設(shè)“兩組選中的兩艘神舟飛船的發(fā)射時(shí)間恰好都在10月或11月份”為事件，兩組選擇互不影響，所以事件的概率為．19．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上，且使時(shí)，平面.【分析】（1）過射線上一點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接，，可得是二面角的平面角．在中和中分別