數(shù)列的極限試題及答案VIP

數(shù)列的極限試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.數(shù)列\(zhòng)(\{\frac{1}{n}\}\)的極限是（）A.0B.1C.不存在D.∞2.若\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)，\(\lim_{n\to\infty}b_n=B\)，則\(\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)\)等于（）A.\(A-B\)B.\(A+B\)C.\(AB\)D.\(\frac{A}{B}\)3.數(shù)列\(zhòng)(\{(-1)^n\}\)的極限是（）A.1B.-1C.不存在D.04.\(\lim_{n\to\infty}\frac{3n+1}{2n-1}\)的值為（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.0D.∞5.已知\(\lim_{n\to\infty}a_n=2\)，則\(\lim_{n\to\infty}3a_n\)等于（）A.2B.6C.\(\frac{2}{3}\)D.不確定6.數(shù)列\(zhòng)(\{\frac{n}{n+1}\}\)的極限是（）A.0B.1C.\(\frac{1}{2}\)D.不存在7.若\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)，\(\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\)，則\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\)等于（）A.0B.∞C.1D.不確定8.\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\)的值是（）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).不存在9.數(shù)列\(zhòng)(\{\frac{2^n}{3^n}\}\)的極限是（）A.0B.1C.\(\frac{2}{3}\)D.不存在10.已知\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)，則\(\lim_{n\to\infty}(a_n-A)\)等于（）A.0B.AC.不存在D.1二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些數(shù)列極限存在（）A.\(\{\frac{1}{n^2}\}\)B.\(\{(-1)^n\frac{1}{n}\}\)C.\(\{n\}\)D.\(\{\frac{n}{n+1}\}\)2.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)極限存在，數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)極限存在，則（）A.\(\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)\)存在B.\(\lim_{n\to\infty}a_nb_n\)存在C.\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\)（\(b_n\neq0\)）存在D.\(\lim_{n\to\infty}(a_n^2+b_n^2)\)存在3.下列說法正確的是（）A.有界數(shù)列一定有極限B.單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限C.單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限D(zhuǎn).無界數(shù)列極限不存在4.數(shù)列極限的運算法則包含（）A.\(\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n\)B.\(\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n-\lim_{n\to\infty}b_n\)C.\(\lim_{n\to\infty}(a_nb_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot\lim_{n\to\infty}b_n\)D.\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n}\)（\(\lim_{n\to\infty}b_n\neq0\)）5.以下極限為0的數(shù)列有（）A.\(\{\frac{1}{n^3}\}\)B.\(\{\frac{1}{2^n}\}\)C.\(\{\frac{1}{n!}\}\)D.\(\{\frac{n}{n^2+1}\}\)6.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)，則（）A.對任意\(\varepsilon>0\)，存在\(N\)，當\(n>N\)時，\(\verta_n-A\vert<\varepsilon\)B.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)一定有界C.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的奇數(shù)項和偶數(shù)項極限都為\(A\)D.若\(b_n=a_{n+1}\)，則\(\lim_{n\to\infty}b_n=A\)7.下列數(shù)列中，極限值為1的有（）A.\(\{\frac{n+1}{n}\}\)B.\(\{\frac{n^2+1}{n^2}\}\)C.\(\{\frac{n^3+1}{n^3}\}\)D.\(\{\frac{2n+1}{2n}\}\)8.關于數(shù)列極限與函數(shù)極限的關系，正確的是（）A.數(shù)列極限是函數(shù)極限的特殊情況B.函數(shù)極限可通過數(shù)列極限來定義C.某些數(shù)列極限問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限問題求解D.數(shù)列極限和函數(shù)極限沒有本質(zhì)聯(lián)系9.若\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)，則（）A.存在\(N\)，當\(n>N\)時，\(a_n<1\)B.存在\(N\)，當\(n>N\)時，\(\verta_n\vert<1\)C.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)有界D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)無界10.數(shù)列極限的定義中涉及的元素有（）A.\(\varepsilon\)（任意給定的正數(shù)）B.\(N\)（正整數(shù)）C.\(a_n\)（數(shù)列的通項）D.\(A\)（極限值）三、判斷題（每題2分，共10題）1.數(shù)列\(zhòng)(\{\frac{1}{n}\}\)是單調(diào)遞減數(shù)列且極限為0。（）2.若\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)，\(\lim_{n\to\infty}b_n=B\)，則\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}\)。（）3.數(shù)列\(zhòng)(\{(-1)^n\}\)有界但極限不存在。（）4.單調(diào)數(shù)列一定有極限。（）5.\(\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{n^3}=0\)。（）6.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的極限存在，則數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)一定有界。（）7.數(shù)列\(zhòng)(\{\frac{3^n}{2^n}\}\)的極限是0。（）8.若\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)，那么對任意\(\varepsilon>0\)，只有有限個\(n\)使得\(\verta_n-A\vert\geq\varepsilon\)。（）9.極限\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sinn=0\)。（）10.有極限的數(shù)列一定是單調(diào)數(shù)列。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述數(shù)列極限的\(\varepsilon-N\)定義。答：設\(\{a_n\}\)為數(shù)列，\(A\)為定數(shù)。若對任意給定的正數(shù)\(\varepsilon\)，總存在正整數(shù)\(N\)，使得當\(n>N\)時，有\(zhòng)(\verta_n-A\vert<\varepsilon\)，則稱數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)收斂于\(A\)，定數(shù)\(A\)稱為數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的極限。2.求\(\lim_{n\to\infty}\frac{4n^2-3n+1}{2n^2+n-5}\)。答：分子分母同時除以\(n^2\)，原式變?yōu)閈(\lim_{n\to\infty}\frac{4-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}}\)，當\(n\to\infty\)時，\(\frac{1}{n}\to0\)，\(\frac{1}{n^2}\to0\)，所以極限為\(\frac{4-0+0}{2+0-0}=2\)。3.說明數(shù)列極限與函數(shù)極限在計算方法上有哪些聯(lián)系？答：數(shù)列是特殊的函數(shù)，某些數(shù)列極限可轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限計算，如利用洛必達法則等函數(shù)極限計算方法，通過將數(shù)列通項轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式求解。同時二者極限運算法則類似。4.舉例說明無界數(shù)列極限不存在。答：例如數(shù)列\(zhòng)(\{n\}\)，隨著\(n\)的增大，\(n\)的值無限增大，不趨近于一個確定的常數(shù)，所以極限不存在，說明無界數(shù)列極限不存在。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論數(shù)列極限在實際生活中的應用。答：在經(jīng)濟領域，可用于分析經(jīng)濟增長趨勢、預測成本變化等；在物理中，可描述物體運動變化趨勢，如物體的冷卻過程等。通過極限分析，能對實際現(xiàn)象進行有效預測和決策。2.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的奇數(shù)項和偶數(shù)項極限都為\(A\)，能否得出\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)？說明理由。答：能得出。因為對任意\(\varepsilon>0\)，奇數(shù)項極限為\(A\)，存在\(N_1\)，當\(n=2k-1>N_1\)時，\(\verta_{2k-1}-A\vert<\varepsilon\)；偶數(shù)項極限為\(A\)，存在\(N_2\)，當\(n=2k>N_2\)時，\(\verta_{2k}-A\vert<\varepsilon\)。取\(N=\max\{N_1,N_2\}\)，當\(n>N\)時，\(\verta_n-A\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)。3.如何判斷一個數(shù)列是否有極限？答：可通過定義，用\(\varepsilon-N\)語言判斷；也看數(shù)列是否單調(diào)有界，單調(diào)遞增有上界或單調(diào)遞減有下界則有極限；還可利用極限運算法則，結合已知極限的數(shù)列判斷；或分析數(shù)列的子列情況，若所有子列極限相同則原數(shù)列極限存在。4.討論數(shù)列極限與收斂性的關系。答：數(shù)列收斂意味著數(shù)列有極限，即存在一個確定的常數(shù)，當\(n\)無限增大時，數(shù)列的項無限趨近于該常數(shù)。反之，若數(shù)列有極限，則稱該數(shù)列是收斂的。