高中數(shù)學(xué)平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)設(shè)計

平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義（1）一.教學(xué)內(nèi)容分析：本課內(nèi)容選自普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)必修4（人教A版）§2.4平面向量的數(shù)量積的第一課時,本課主要內(nèi)容是向量的數(shù)量積的定義及運算律,本節(jié)課讓學(xué)生了解從特殊到一般再由一般到特殊的這種認識規(guī)律和體會概念法則的學(xué)習(xí)過程.二.學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析：學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實數(shù)的運算體系，掌握了向量的概念及其線性運算，具備了功等物理知識，并且初步體會了研究向量運算的一般方法。在功的計算公式和研究向量運算的一般方法的基礎(chǔ)上,學(xué)生基本上能類比得到數(shù)量積的含義和運算律,對于運算律不一定給全或給對,對運算律的證明可能會存在一定的困難,教學(xué)中老師要注意引導(dǎo)學(xué)生分析判斷.三.設(shè)計思想： 遵循新課標以人為本的理念，以啟發(fā)式教學(xué)思想和建構(gòu)主義理論為指導(dǎo)，采用探究式教學(xué)，以多媒體手段為平臺，利用問題讓學(xué)生自主地參與探究，在探究過程中注重學(xué)生學(xué)習(xí)過程的體驗和數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極將知識融入自己的知識體系。四.教學(xué)目標：1、了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2、體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，并能運用性質(zhì)和運算律進行相關(guān)的判斷和運算；3、體會類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。五.教學(xué)重點和難點:重點是平面向量數(shù)量積的概念、用平面向量數(shù)量積表示向量的模及夾角；難點是平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用。六.教學(xué)過程設(shè)計：活動一：創(chuàng)設(shè)問題情景，引出新課1、提出問題1：請同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算？這些運算的結(jié)果是什么？答：向量的加法、減法及數(shù)乘運算。這些運算的結(jié)果是向量。2、提出問題2：請同學(xué)們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的？答：物理模型→概念→性質(zhì)→運算律→應(yīng)用3、新課引入：本節(jié)課我們?nèi)匀话凑者@種研究思路來研究向量的另外一種運算。導(dǎo)入課題：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義［設(shè)計意圖］：1.明白新舊知識的聯(lián)系性。2.明確研究向量的數(shù)量積這種運算的途徑。SFSFα1、給出有關(guān)材料并提出問題3：（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功：W=|F||S|cos。（2）這個公式有什么特點？請完成下列填空：①W（功）是量，②F（力）是量，③S（位移）是量，④α是。（3）你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積（4）如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結(jié)果又該如何表述？答：兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。2、明晰數(shù)量積的定義數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量︱︱·︱︱cosθ叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：·，即：·=︱︱·︱︱cosθ（2）定義說明：①記法“·”中間的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。②“規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。［設(shè)計意圖］：1.認識向量的數(shù)量積的實際背景。2.使學(xué)生在形式上認識數(shù)量積的定義。3.從數(shù)學(xué)和物理兩個角度創(chuàng)設(shè)問題情景，使學(xué)生明白為什么研究這種運算,從而產(chǎn)生強烈的求知欲望3、提出問題4：向量的數(shù)量積運算與線性運算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？答：線性運算的結(jié)果是向量，而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)量，這個數(shù)量的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。4、學(xué)生討論，并完成下表：θ的范圍0°≤θ<90°θ=90°90°<θ≤180°·的符號［設(shè)計意圖］：引導(dǎo)學(xué)生通過自主研究，明確兩個向量的夾角決定它們的數(shù)量積的符號，進一步從細節(jié)上理解向量數(shù)量積的定義。5、研究數(shù)量積的幾何意義（1）給出向量投影的概念：如圖，我們把││cosθ（││cosθ）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，記做：OB1=││cosθ（2）提出問題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？答：數(shù)量積·等于的長度︱︱與在的方向上的投影︱︱cosθ的乘積。［設(shè)計意圖］：這里將數(shù)量積的幾何意義提前，使學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個方面對數(shù)量積的特征有了更加充分的認識6、研究數(shù)量積的物理意義（1）請同學(xué)們用一句話來概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積。（2）嘗試練習(xí)：一物體質(zhì)量是10千克，分別做以下運動：①、豎直下降10米；②、豎直向上提升10米；③、在水平面上位移為10米；④、沿傾角為30度的斜面向上運動10米；分別求重力做功的大小。

［設(shè)計意圖］：通過嘗試練習(xí)，一方面使學(xué)生嘗試計算數(shù)量積，鞏固對定義的理解；另一方面使學(xué)生理解數(shù)量積的物理意義，明白學(xué)科間的聯(lián)系，同時也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆?；顒尤禾骄繑?shù)量積的運算性質(zhì)1、提出問題6：（1）將嘗試練習(xí)中的①②③的結(jié)論推廣到一般向量，你能得到哪些結(jié)論？（2）比較︱·︱與︱︱︱︱的大小，你有什么結(jié)論？2、請證明上述結(jié)論。3、明晰：數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)和b都是非零向量，則1、⊥·=02、當(dāng)與同向時，︱·︱=︱︱︱︱；當(dāng)與反向時，︱·︱=-︱︱︱︱，特別地，·=︱︱2或︱︱=3、︱·︱≤︱︱︱︱［設(shè)計意圖］：［設(shè)計意圖］：將嘗試練習(xí)的結(jié)論推廣得到數(shù)量積的運算性質(zhì)，使學(xué)生感到親切自然，同時也培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的思維品質(zhì)和類比創(chuàng)新的意識。活動四：探究數(shù)量積的運算律1、提出問題7：我們學(xué)過了實數(shù)乘法的哪些運算律？這些運算律對向量是否也適用？答:①交換律：ab=ba②結(jié)合律：(ab)c=a(bc)③分配律：(a+b)c=ac+bc猜想：·=·②（·）=(·)③（+）·=·+·2、分析猜想：猜想①的正確性是顯而易見的。關(guān)于猜想②的正確性，請同學(xué)們先討論：猜測②的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？答：左邊是與向量共線的向量，而右邊則是與向量共線的向量，顯然在向量與向量不共線的情況下猜測②是不正確的。［設(shè)計意圖］：要求學(xué)生通過對過去所學(xué)過的運算律的回顧類比得出數(shù)量積的運算律。通過討論糾錯來理解不同運算的運算律不盡相同，看到數(shù)學(xué)的法則與法則間的相互聯(lián)系與區(qū)別，體會法則，學(xué)習(xí)研究的重要性。3、明晰：數(shù)量積的運算律：已知向量已知向量、、和實數(shù)λ，則：（1）·=·（2）（λ）·=λ（·)=·（λ）（3）（+）·=·+·4、學(xué)生活動：證明運算律2在證明時，學(xué)生可能只考慮到λ>0的情況,為了幫助學(xué)生完善證明，提出以下問題：當(dāng)λ<0時，向量與λ，與λ的方向的關(guān)系如何？此時，向量λ與及與λ的夾角與向量與的夾角相等嗎？5、師生活動：證明運算律（3）［設(shè)計意圖］：學(xué)會利用定義證明運算律（1）(2)，運算律(3)的圖形構(gòu)造有些困難，先讓學(xué)生討論，后根據(jù)學(xué)生的情況加以指導(dǎo)或共同完成。活動五：應(yīng)用與提高1、學(xué)生獨立完成：已知︱︱=5,︱︱=4,與的夾角θ=120°，求·。［設(shè)計意圖］：通過計算鞏固對定義的理解。2、師生共同完成：已知︱︱=6，︱︱=4,與的夾角為60°，求（+2）·（-3），并思考此運算過程類似于哪種實數(shù)運算？3、學(xué)生獨立完成：對任意向量，b是否有以下結(jié)論：（1）(+)2=2+2·+2（2）(+)·(-)=2—2［設(shè)計意圖］：讓學(xué)生體會解題中運算律的作用，比較向量運算與數(shù)運算的異同。4、師生共同完成：已知︱︱=3，︱︱=4,且與不共線，k為何值時，向量+k與-k互相垂直？并討論：通過本題，你有什么體會？［設(shè)計意圖］：學(xué)會利用數(shù)量積來解決垂直問題，體會用數(shù)量積將幾何問題轉(zhuǎn)化為方程求解，體現(xiàn)向量的工具性。5、反饋練習(xí)（1）判斷下列各題正確與否：①、若≠0，則對任一非零向量，有·≠0．=2\*GB3②、若≠0，·＝·，則＝．已知△ABC中，=,=，當(dāng)·<0或·＝0時，試判斷△ABC的形狀。［設(shè)計意圖］：1.加強學(xué)生的練習(xí)。2.通過觀察、問答等方式對學(xué)生的掌握情況有了進一步的了解和把握。活動六：小結(jié)1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？2、平面向量的數(shù)量積有哪些應(yīng)用？3、我們是按照怎樣的思維模式進行概念的歸納和性質(zhì)的探究？在運算律的探究過程中，滲透了哪些數(shù)學(xué)思想？4、類比向量的線性運算，我們還應(yīng)該怎樣研究數(shù)量積？［設(shè)計意圖］：通過學(xué)生討論總結(jié)，加強了學(xué)生概念法則的理解和掌握，體會整個內(nèi)容的研究過程，明白了為什么要學(xué)這些內(nèi)容，學(xué)了這些內(nèi)容可以做什么，這對以后的學(xué)習(xí)有什么指導(dǎo)意義?；顒悠撸翰贾米鳂I(yè)1、課本P119習(xí)題2.4A組1、2、3。2、拓展與提高：已知與都是非零向量，且+3與7-5垂直，-4與7-2垂直，求與的夾角。（本題供學(xué)有余力的同學(xué)選做）［設(shè)計意圖］：通過設(shè)計不同層次的作業(yè)既使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識，又使學(xué)有余力的學(xué)生有所提高，從而達到激發(fā)興趣和“減負”的目的。七.教學(xué)反思：本節(jié)課從總體上說是一節(jié)概念教學(xué)，從數(shù)學(xué)和物理兩個角度創(chuàng)設(shè)問題情景來引入數(shù)量積概念能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，。通過安排學(xué)生討論影響數(shù)量積結(jié)果的因素并完成表格和將數(shù)量積的幾何意義提前有助于學(xué)生更好理解數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量而不是向量。數(shù)量積的性質(zhì)和運算律是數(shù)量積概念的延伸，這兩方面的內(nèi)容按照創(chuàng)設(shè)一定的情景，讓學(xué)生自己去探究、去發(fā)現(xiàn)結(jié)論,教師明晰后，再由學(xué)生或師生共同完成證明。這樣能更清楚地看到數(shù)學(xué)法則與法則間的聯(lián)系與區(qū)別,體會法則學(xué)習(xí)研究的重要性,例題和練習(xí)的選擇都是圍繞數(shù)量積的概念和運算律展開的,這能使學(xué)生更好在掌握概念法則. 點評：本節(jié)課是概念數(shù)學(xué)課，教師設(shè)計了從物理和數(shù)學(xué)兩個角度創(chuàng)設(shè)情景，注重概念產(chǎn)生背景及概念深化的過程，使學(xué)生認識了數(shù)量積的數(shù)學(xué)模形。通過問題形式引導(dǎo)學(xué)生自主探究數(shù)量積的性質(zhì)及運算律，培養(yǎng)了學(xué)生類比、從特殊到一般的歸納概括能力，通過練習(xí)使學(xué)生掌握了數(shù)量積的計算，最后教師通過知識技能、思維方法兩個方面加以總結(jié)，使學(xué)生深化對數(shù)量積的認識，形成了良好的認知結(jié)構(gòu)。數(shù)量積的性質(zhì)在解題中有許多應(yīng)用，同時也應(yīng)是本節(jié)課的重、難點，如何突破，教師在教學(xué)設(shè)計中似乎“單薄”些。如重要性質(zhì)應(yīng)配備練習(xí)來加以鞏固。平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義（2）一、教學(xué)內(nèi)容分析以物體受力做功為背景引入數(shù)量積的概念，使向量數(shù)量積運算與物理知識聯(lián)系起來；向量數(shù)量積與向量的長度及夾角的關(guān)系；進一步探究兩個向量的夾角對數(shù)量積符號的影響及有關(guān)的性質(zhì)、幾何意義和運算律。本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)必修4》（A版）第二章、第4節(jié)第1課時。它是平面向量的核心內(nèi)容，向量的平行、垂直關(guān)系是向量間最基本、最重要的位置關(guān)系，而向量的夾角、距離又是向量的重要數(shù)量特征，向量的數(shù)量積恰好是解決問題的一個重要工具。本節(jié)的知識結(jié)構(gòu)：二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析本節(jié)以力對物體做功作為背景，研究平面向量的數(shù)量積。但是，學(xué)生作為初學(xué)者不清楚向量數(shù)量積是數(shù)量還是向量，尋找兩向量的夾角又容易想當(dāng)然，以及對運算律的理解和平面向量的數(shù)量積的靈活應(yīng)用。通過情景創(chuàng)設(shè)、探究和思考引導(dǎo)學(xué)生認知、理解并掌握相關(guān)的內(nèi)容。利用向量數(shù)量積運算討論一些幾何元素的位置關(guān)系、距離和角，這些刻畫幾何元素（點、線、面）之間度量關(guān)系的基本量學(xué)生容易混淆。利用數(shù)量積運算來反映向量的長度和兩個向量間夾角的關(guān)系解決問題，是學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的重點又是難點。由向量的線性運算遷移、引申到向量的乘法運算這是個很自然的過渡，深入淺出、符合學(xué)生的認知規(guī)律，也有利于明確本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望。三、設(shè)計思想《高中數(shù)學(xué)課程標準》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生樂于參與到探索性和創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)活動中來，這是新課程數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求。《高中數(shù)學(xué)課程標準》還明確提出了提高學(xué)生的知識與技能、重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程與方法，培養(yǎng)學(xué)生的情感態(tài)度、價值觀的三維目標。為此，結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)中注重過程、方法，注重引導(dǎo)學(xué)生自覺去看書，不斷提出問題，研究問題，并解決問題。重視在師生，生生互動、交流的過程中滲透情感態(tài)度與價值觀。四、教學(xué)目標通過師生互動、學(xué)生的自主探究，（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；（2）掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，會進行平面向量數(shù)量積的運算；（3）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系；（4）通過向量的線性運算及多項式乘法運算的對照，強化學(xué)生的類比思想；通過數(shù)量積的性質(zhì)、運算律的靈活應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生從特殊到一般的能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。五、教材重點和難點重點是平面向量的數(shù)量積的概念和性質(zhì)；用平面向量數(shù)量積表示向量的模及向量的夾角；平面向量數(shù)量積的運算律的探究及應(yīng)用。難點是平面向量的數(shù)量積的定義及對運算律的探究、理解；平面向量數(shù)量積的靈活應(yīng)用。六、教學(xué)過程設(shè)計[情景1]問題回憶物理中“功”的計算，它的大小與哪些量有關(guān)？結(jié)合向量的學(xué)習(xí)你有什么想法？若一個物體在力的作用下產(chǎn)生的位移為，那么力所做的功等于多少？[設(shè)計意圖]以物理問題為背景，初步認識向量的數(shù)量積，為引入向量的數(shù)量積的概念做鋪墊。[師生互動]生：（其中是和的夾角）。師：功是一個矢量還是標量？它的大小由那些量來確定？顯然功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定。從中我們得到一個啟發(fā)：能否將功看成是兩個“向量相乘”的一種運算的結(jié)果呢？從而得出平面向量的“數(shù)量積”的概念。[情景2]1、定義向量數(shù)量積。弄清定義中涉及哪些量？它們有怎樣的關(guān)系？運算結(jié)果是向量還是數(shù)量？2、如何確定兩個非零向量的數(shù)量積的符號，什么情況下值為零？[設(shè)計意圖]使學(xué)生從感性到理性去認知數(shù)量積的定義。通過對概念的認識、分析和探究，使學(xué)生加深理解，并掌握相關(guān)的性質(zhì)及幾何意義。同時加深對投影的認識。[師生互動]1、仿照物理問題建構(gòu)“數(shù)學(xué)模型”。引入“向量數(shù)量積”的概念：已知兩個非零向量與，把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：，即（其中是與的夾角）。叫做向量在方向上（在方向上）的投影。2、規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為。3、（1）數(shù)量積運算結(jié)果的符號取決于與的夾角（）的大小；（2）兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，它與兩個向量的長度及其夾角有關(guān)；（3）符號不能寫成或的形式；（4）找向量的夾角時，應(yīng)將兩向量的起點平移到同一個點上。4、探究其性質(zhì)：（1）（與都是非零向量）；設(shè)置情景：若，則向量與至少有一個是零向量？類比時，若或。而且此性質(zhì)在解決有關(guān)線段垂直問題時具有很好的作用。（2）當(dāng)向量與共線同向時，；當(dāng)向量與共線反向時，。特別地或（與二次根式性質(zhì)：進行類比）。這是求向量長度的又一重要方法。[情景3]由學(xué)生自主學(xué)習(xí)來完成書本例題1。[設(shè)計意圖]通過計算鞏固對數(shù)量積定義的理解。進一步引導(dǎo)學(xué)生對和的大小關(guān)系進行一般的研究比較。[師生互動]從例1容易得出性質(zhì)和數(shù)量積的幾何意義。[情景4]給學(xué)生分鐘時間，閱讀教材，并對前面所學(xué)的內(nèi)容及研究方法作一個歸納小結(jié)。[設(shè)計意圖]培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力和及時進行歸納小結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。把課堂還給學(xué)生，體現(xiàn)師生間的合作探究，不管是老師還是課件，都是為學(xué)生服務(wù)的，都在同步配合學(xué)生的學(xué)習(xí)和探索。[師生互動]學(xué)生通過自主閱讀、總結(jié)并發(fā)表自己的看法，老師可以有針對性進行學(xué)習(xí)方法點撥并指出對學(xué)習(xí)過程進行及時反思的重要性。[情景5]運算律和運算是緊密相聯(lián)的，類比實數(shù)運算中的運算律，探究平面向量數(shù)量積的運算律。[設(shè)計意圖]通過類比、探究使學(xué)生得出數(shù)量積的運算律，進一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和研究問題的能力。[師生互動]1、回顧實數(shù)運算中有關(guān)乘法的運算律。類比數(shù)量積的運算律，體會不同運算的運算律不盡相同，需要研究。已知向量、、和實數(shù)，則2、對向量數(shù)量積的運算律進一步研究，（1）成立嗎？顯然，等式左邊與向量共線，右邊與向量共線，而向量與不一定共線，因此結(jié)論不一定成立；（2）由能否推出？（反例：當(dāng)時，有。但不能得到）。結(jié)合實數(shù)，有進行類比，辯析。3、老師可以通過學(xué)生的討論進行糾錯，理解不同的運算具有不同的運算律，體會到數(shù)學(xué)的法則與法則之間的區(qū)別與聯(lián)系。同時注意利用學(xué)生錯誤這一重要的資源，讓學(xué)生更容易找到易錯點和易混點，從而更清晰、準確地掌握知識。[情景6]例2、例3、例4的教學(xué)。[設(shè)計意圖]1、要求學(xué)生體會實際解題中運算律的作用，比較向量運算與多項式乘法運算的異曲同工；2、學(xué)會利用數(shù)量積來解決有關(guān)垂直問題，體會運算律帶來的優(yōu)越性。3、上面幾個例題，層層遞進，都是把較難的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的較易的標準問題，體現(xiàn)了知識和方法上的轉(zhuǎn)化。[師生互動]1、老師可以將例題內(nèi)容與多項式乘法運算進行類比；2、讓學(xué)生自己體會用數(shù)量積將“幾何問題”化歸為方程問題來求解的簡練，進一步體現(xiàn)向量的