河南省開封市五校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省開封市五校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榧?，所?故選：A2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】D【解析】由，解得或.故的定義域?yàn)?，故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取，，可知A，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以C正確；取，可知D錯(cuò)誤；故選：C.4.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn).故選：C.5.已知是常數(shù)，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則（）A. B. C.3 D.9【答案】D【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，則，解得，因?yàn)榈膱D象經(jīng)過原點(diǎn)，則，得，則，所以.故選：D.6.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一杯熱茶的熱量會(huì)隨時(shí)間的增大而減少，它們之間的關(guān)系為，其中且.若一杯熱茶經(jīng)過時(shí)間，熱量由減少到，再經(jīng)過時(shí)間，熱量由減少到，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故；故，所以.故選：A.7.對(duì)于實(shí)數(shù)，規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，如，那么不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，解得，因此，或，又因?yàn)楸硎静淮笥诘淖畲笳麛?shù)，所以.只有選項(xiàng)B滿足要求.故選：B.8.已知函數(shù)定義域?yàn)?，都有，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，所以；令，得，所以；，，……，.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列四個(gè)命題中，其中為真命題的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，不等式解集為，此區(qū)間內(nèi)無自然數(shù)解，故D錯(cuò)誤.故選:AC.10.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋遥?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，由A知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD.11.定義域和值域均為的函數(shù)和的圖象如圖所示，其中，則（）A.方程有且僅有3個(gè)解 B.方程有且僅有3個(gè)解C.方程有且僅有5個(gè)解 D.方程有且僅有1個(gè)解【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：由數(shù)形結(jié)合可知：令,或或;令,,因?yàn)?，所以，由?shù)形結(jié)合可知：,都有一個(gè)根，故方程有且僅有3個(gè)解，故選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B：由數(shù)形結(jié)合可知：令,;令，因?yàn)?，由?shù)形結(jié)合可知：都有3個(gè)根，方程有且僅有3個(gè)解，故選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C:由數(shù)形結(jié)合可知：令,或或;令,,由題可知：，，由數(shù)形結(jié)合可知，,各有三解，故方程有且僅有9個(gè)解,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由數(shù)形結(jié)合可知：令,;令，因?yàn)?，所以只?解，故方程有且僅有1個(gè)解,故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.【答案】【解析】由，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，令，其在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而函數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.13.若函數(shù)且的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象可知，要使函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則且，即且，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，則______.【答案】【解析】在中，2的倍數(shù)共有個(gè)，3的倍數(shù)共有個(gè)，6的倍數(shù)共有個(gè)，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）計(jì)算：；（2）已知，試用表示.解：（1）；（2），由，得，又，所以.16.設(shè)集合.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，若且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），且，所以.若，此時(shí)，解得；若，此時(shí)，且，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）因?yàn)榍?，所以集合中至少存在一個(gè)整數(shù).或，，要使中至少存在一個(gè)整數(shù)，則，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.如圖所示，為宣傳某運(yùn)動(dòng)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙上設(shè)計(jì)大小相等的左右兩個(gè)矩形宣傳欄，宣傳欄的面積之和為，為了美觀，要求海報(bào)上四周空白的寬度均為，兩個(gè)宣傳欄之間的空隙的寬度為，設(shè)海報(bào)紙的長(zhǎng)和寬分別為.（1）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（2）為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙是最少？解：（1）由題知，兩個(gè)矩形宣傳欄的長(zhǎng)為，寬為，，整理得.（2）由（1）知，即，由基本不等式可得，令，則，解得（舍去）或.，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，海報(bào)長(zhǎng)42，寬24時(shí)，用紙量最少，最少用紙量為.18.已知函數(shù)（，）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，.（1）求的解析式；（2）證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；（3）求關(guān)于的不等式的解集.解：（1）由題意可知，，解得，或，，因?yàn)椋?，所以，，所?（2）證明：因?yàn)?，，所以曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故曲線是中心對(duì)稱圖形.（3）由（1）可知，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞減.由（2）可知，，由，得，即，根據(jù)在上單調(diào)遞減，得，整理得，，即.當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，解得.綜上可知，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.19.現(xiàn)定義了一種新運(yùn)算“”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，都有（且）.（1）當(dāng)時(shí)，計(jì)算；（2）證明：，，，都有；（3）設(shè)，若在區(qū)間（）上的值域