2025年中考數(shù)學總復習《四邊形綜合》專項測試卷（附答案）

2025年中考數(shù)學總復習《四邊形綜合》專項測試卷(附答案)

學校:姓名：班級：考號：

1.如圖，平行四邊形ABCD中，于點E,延長BC至點F，使CF=BE,連接4歹、

DE、DF.

(1)求證：四邊形AEFD是矩形;

⑵若AB=12,DE=16,BF=20,求AE長.

2.如圖已知點E是平行四邊形A3CD對角線AC上的一點，連結OE,過點8作斯〃DE交

AC于點F.

(2)若AB=3C=8,DE=6,當/ABb=90。，求AE的長.

3.如圖，在矩形ABC。中，對角線AC、8。相交于點。，DG//AC,CG//BD.

⑴求證：四邊形OCGD為菱形；

⑵連接OG交8于點E,若BC=18,求OG的長.

4.如圖，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，ZAEB=90°,將RtAlBE繞點2按順時針方向旋

轉(zhuǎn)90。，得到VCBF.延長AE交CF于點G,連接DE.

⑴試判斷四邊形BEG/的形狀，并說明理由;

(2)若3E=3,CG=1,求OE.

5.如圖，在平行四邊形ABC。中，點E是對角線8。上一點，連接AE,CE,且AE=CE.

(1)求證四邊形ABCD是菱形.

⑵若NA=60。，BE=3DE,且4￡.8。=4如，求..CDE的面積.

6.如圖，在△/!跳'中，E是的中點，延長8尸至。，使得=B產(chǎn)，連接AO,延長EF

至點C,使得連接CD.

⑴求證：四邊形AFCD為平行四邊形；

⑵連接AC交OB于點。，若CELDB,EF=1,AE=y/10,求AF,AC的長.

7.如圖，在平行四邊形ABC。中，點E,尸分別在AB,CO上，BE=DF,連接取與對

角線AC相交于點。.

⑴求證：OE=OF；

⑵連接CE,G為CE的中點，連接OG.若OG=2,求AE的長.

8.如圖，在VA3C中，AB=AC,將VABC繞點A沿順時針旋轉(zhuǎn)得到VA￡>E,BD與CE交

于點F.

⑴求證：BCF-EDF；

(2)若AB=1,ZBAC=45°,當四邊形AOfC是平行四邊形時，求EC的長.

9.如圖，在cABCD中，AGLCD,CH±AB,垂足分別為G、H,E、尸分別是AD、BC

的中點，連接￡“、HF、FG、GE.

(1)求證：AAEH沿ACFG；

(2)連接AC,若3c=6,AB=AC=5,求四邊形EHFG的面積.

10.如圖，在平行四邊形ABC。中，E、尸分別為A。、BC邊上的點，AFJ.BC,DE=BF；

(1)求證：四邊形AFCE是矩形；

⑵若AE=10,CE=6,點加在CF上且石加平分/4WC,求出線段CM的長度.

11.如圖，點A,D,C,B在同一條直線上，AD=BC,AE=BF,AEBF.求證:

(l)AADE^ABCF；

⑵四邊形DECF是平行四邊形.

12.如圖，在△詆中，E是AB的中點，延長所至。，使得〃尸=8/，連接AO,延長所

至點C,使得CF=AD,連接CD.

⑴求證：四邊形A/CD為平行四邊形；

(2)連接AC交于點。，若CE_LDB,EF=1,AE=410,求,AFC的周長.

13.如圖，VABC的邊AC和1)EF的邊。廠在同一條直線上，ZABC=ZDEF=90,AB//DE,

AB=DE,連接M,EC.

E

⑴求證：①AABC沿ADEF；

②四邊形BCEb是平行四邊形.

⑵若四邊形BCEF為菱形，AB=4,BC=3,求線段AF的長.

14.如圖，ABCD的對角線AC,相交于點。，VAOB是等邊三角形，AB=4.

4K____________D

(1)求證：四邊形A3。是矩形;

⑵求四邊形ABCD的面積;

⑶若DE//AC,CE//BD,連接BE,求線段BE的長.

15.如圖，在cABCD中，E、尸為邊8C上兩點，且3E=CF,AF=DE.

⑴求證：aABF這ADCE；

(2)四邊形ABC。是矩形嗎？為什么？

16.如圖，在四邊形ABCD中，AC=5cm,BC=3cm,?B90?,CD//AB,。是AC的

中點，連接。。并延長，交AB于點E,連接CE.

(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形.

(2)若CE平分/ACB,求的長.

17.如圖1,在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,。是A8的中點，E,

廠分別是AC,BC上的點(點E不與端點A,C重合)，且AE=CF.

圖1圖2

⑴求證：NADE^VCDF；

⑵如圖2,連接EF并取斯的中點0,連接DO并延長至點G,使GO=OD,連接DE,DF,

GE,GF.當四邊形￡DFG的面積為5時求線段AE的長度.

18.如圖，在VABC中，CE平分NACACF平分/ACB的外角ZACD,過點A作

AM1_CE垂足為M,3，6垂足為乂連接交AC于點。.

⑴求證：AC=MN；

(2)當線段AC和滿足什么條件時，四邊形4WCW為正方形.

19.如圖，矩形A￡B。的對角線AB、OE交于點F,延長A0到點C,使OC=Q4,延長8。

到點。，使8=03,連接AD、DC、BC.

⑴求證：四邊形ABC。是菱形.

⑵若OE=4,/BCD=60,則菱形ABCD的面積為

20.矩形A3CD中，AB=6,AD=8,點E為對角線AC上一點，過點￡作瓦工4)于點

F,或；_14(7交邊261于點6,將△AEF沿AC折疊得連接/.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,若點〃落在邊BC上，求證：AH=CH；

(2)如圖2,若AH,G三點在同一條直線上，求用的長;

(3)若EHG是以龍為底的等腰三角形，求取的長.

參考答案

1.(1)見解析

【分析】此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理逆定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識，證明

四邊形AEbD為矩形是解題的關鍵.

（1）由四邊形ABC。是平行四邊形得到AD〃3C,AD=BC,又由CF=BE得到EF=3C,

則跖="）,最后由AS即可得到結論；

（2）證明"BF是直角三角形，N5A尸=90。，則S.=即可得到AE.

【詳解】（1）證明：\?四邊形ABC。是平行四邊形，

/.AD//BC,AD=BC,

"：CF=BE,

CF+EC=BE+EC,

：.EF=BC,

EF=AD,

,/EF//AD,

，四邊形AEFD為平行四邊形，

?.*AE±BC,

：.ZAEF=90°,

，四邊形AEFD為矩形；

(2):四邊形AEFD為矩形,

/.DF=AE,AF=DE=16,

AB=12,AF=16,BF=20,

AB2+AF-=BF2,

.?.△AB尸是直角三角形，NBA尸=90。,

S謝=-ABAF=-BFAE,

22

.什

.?AE=-A-B-A-F=-1-2-x1-6=—48,

BF205

2.⑴見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題

的關鍵是：

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AO=CO,H9=￡)O,證明絲OR9,得出EO=尸O,

然后根據(jù)等式的性質(zhì)即可得證；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得出3斤=DE=6,根據(jù)勾股定理求出AF=10,根據(jù)三線合一的

2418

性質(zhì)得出50,AC,根據(jù)等面積法求出80=告，根據(jù)勾股定理求出尸0=三，結合(1)中

￡O=R9即可求解.

【詳解】(1)證明：設AC、相交于0,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

AAO=CO,BO=DO,

丁BF//DE,

：.ZFBO=ZEDO,NBFO=NDEO,

：.BFOgDEO,

：.EO=FO,

又AO=CO,

???AO-EO=CO-FO,

：.AE=CF；

(2)解：VBFO^DEO,

；.BF=DE=6,

又AB=8,NAB尸=90。，

?*-AF=VAB2+BF2=10，

VAB=BC,AO=CO,

：.BOLAC,

：.SABP=^ABBF=^AFBOFgp|x8x6=IxlOBO,

24

BO=—

5

.?.FO=YIBF2-BO2=y

EO=FO,

：.EF=2FO=—,

5

14

AE=AF-EF=—.

3.⑴見解析

⑵18

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相

關知識點是解題的關鍵：

（1）先證明四邊形OCGZ）為平行四邊形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到OC=OD,即可得出結

論；

（2）證明四邊形OGC3為平行四邊形，得到OG=3C,即可得出結果.

【詳解】（1）證明：：OG〃AC,CG//BD,

???四邊形OCGD為平行四邊形，

:矩形ABC。，

：.OC=OD,

四邊形OCGD為菱形；

（2）解:由（1）知：四邊形OCGD為菱形，

：.OG±DC,

'矩形A2CD,

BCLCD,

：.OG//BC,

'：CG//BD,

四邊形OGCB為平行四邊形，

OG=3C=18.

4.（1）正方形，見解析

⑵后

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ZEBF=90°,NCFB=90。，又由ZAEB=90°可得ZBEG=90°,

由此得四邊形BEGF是矩形，又由3E=3/得四邊形BEGF是正方形.

（2）過點。作于H,則可得△ADH絲△BAE,進而可得==G尸=3,

DH=AE=CF=4,在中，根據(jù)勾股定理即可求出DE的長.

本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定

理.熟練掌握以上知識，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：四邊形BEGP是正方形，理由如下：

:將Rt&lBE點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。，

:.AABE^^CBF,/EBF=90°,

ZAEB=ZCFB=90°,BE=BF

ZBEG+ZAEB=1SO°,

:"BEG=180°-ZAEB=90°,

QZBEG=ZEBF=ZBFG=90°,

四邊形BEGb是矩形，

又：BE=BF,

四邊形BEG尸是正方形；

(2)解：如圖，過點。作于H,

--------------------^\D

:四邊形ABCD是正方形,

:.AD^AB,ZZMB=90°,

;.^DAH+ZEAB=9O°,

DH±AE,

:.ZAHD=90°

△ADH當ABAE(AAS)

ZADH+ZDAH=90°,

:.ZADH=ZEAB,

又-AD=AB,ZAHD=ZAEB=90P,

AADH^：ABAE(AAS),

AH=BE=GF=3,DH=AE>

CG=1,

:.DH=AE=CF=3+1=4,

EH=AE-AH=4-3=1,

在RtADEW中，DE=^DH2+HE2="+F=而■

5.⑴見解析

⑵百

【分析】(1)連接AC交BO于點。，由平行四邊形的性質(zhì)得。4=OC,再根據(jù)“SSS”判斷出

△AEgACEO,得到ZA0E=AC0E,BD1AC,即可判斷四邊形ABCD是菱形

(2)由題目可得AB=AD=BD)設DE—a,BD=4DE=4a,OE=DE=；BO=a,在

RtABO中，AO=2y/3a;在RfAOE中，AE=V13a;>/13a-4a=4y/13,解得再

根據(jù)。>0,解得a=l,DE=1,CO=AO=2^3,再由三角形面積公式即可解答.

【詳解】(1)證明：連接AC交于點0,

四邊形ABCZ)是平行四邊形，

/.OA=OC,

在△AEO與一CEO中，

OA=OC

<OE=OE,

AE=CE

/.△AEO^ACEO(SSS),

:.ZAOE=ZCOE,

又?.ZAOE+ZCOE=180°,

:.ZAOE=/COE=900,

,\BD.LACf

，平行四邊形A3C。是菱形.

(2)ZA=60°,且平行四邊形ABCD是菱形，

AB=AD=BD，

設DE=a,

BE=3DE,

BD=4DE=4a,OE=DE=*BO=a,

在RtABO中，AOAAB—BO?=，16"=2鳥;

在小AOE中，AE=^ACP+OE1=712a2+a2=y/13a；

AE?BD=4而,

.?.疝r(nóng)4a=4舊，即人］,

a>0,

..a=1,

.\DE=1,CO=AO=2y/3,

、SACDE=^DE-C0=；X1X26=6.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾

股定理，三角形面積公式.

6.(1)證明見解析

(2)AF=A/13,AC的長為5

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及勾股定理等知識，熟

練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

(1)證明EF是的中位線，得EF〃AD,即C/〃AE>,再由平行四邊形的判定即可

得出結論；

(2)由(1)可知，EF是△ABD的中位線，四邊形AFCD為平行四邊形，貝U

AD=CF=2EF=2,EF//AD,OD=OF=；DF,OA=OC=^AC,然后由勾股定理求

出BD=jAB-AD2=6,故=B尸=［加=3，OD=OF=j再由勾股定理求出

CD=^DF1+CF1OA^y/AD2+OD2最后由平行四邊形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)證明：是AB的中點，DF=FB,

/.EF是AABD的中位線，

：.EF//AD,即C/〃AD,

'：CF=AD

；?四邊形APCD為平行四邊形；

(2)解：由(1)可知，E尸是△ABD的中位線，四邊形A/CD為平行四邊形，

：.AD=CF=2EF=2,EF//AD,OD=OF=-DF,OA=OC=-AC,

22

?/E是AB的中點，

AB=2AE=2A/10,

'：CE1DB,

：.ADLDB,

，ZADB=90。,

BD=dAB°-AD。=回J?-22=6,

??DF=BF,

：.DF=BF==AB=3,

2

3

OD=OF=—,

2

CD=y/DF2+CF-=V32+22=-J13，

；?AF=CD=yfl3,

VZADB=90°,

OA=VAC2+OD2=卜2+1|)=|,

AC=2OC=5,

即AC的長為5.

7.(1)見解析

(2)4

【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟

練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵；

(1)根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到NBACuNACZ),從而證明"。后也△(%)「，

進而得證；

(2)根據(jù)三角形的中位線，即可求解；

【詳解】(1)證明：,??四邊形ABC。是平行四邊形，

:.AB=CD,AB//CD,

：.NBAC=ZACD,

BE=DF,

：.AE=CF,

在ZkAOE和，COP中，

ZBAC^ZACD,AE=CF,ZAOE=ZCOF,

AOE^COF(AAS),

：.OE=OF；

(2)解：：點G為CE的中點，OE=OF,

；.OG是EFC的中位線，

OG=2,

:.CF=2OG=^

:.AE=4,.

8.⑴見解析

⑵&

【分析】(1)連接BE.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)先證明^AEC=AAQWXAS狽IJECMB。，進而證

明4DEB"CBE(SSS),得出NEDB=NECB,即可證明4BCF=AEDF(AAS)；

(2)根據(jù)四邊形ADPC是平行四邊形，結合已知條件得出=N胡C=45。，由勾股定

理，可求得BD=0.根據(jù)△AEC三△AD8,即可求解.

【詳解】(1)證明：連接BE.

D

將VABC繞點A沿順時針旋轉(zhuǎn)得到VAOE,

:.AD=AB,AC=AE,/BAC=NDAE,

NDAB=NEAC,

又.AB=ACf

AD=AE，

.AEC^ADB(SAS),

EC=BD.

DE=BC,BE=BE,

，DEB空CBE(SSS).

,\ZEDB=ZECB.

在V5CF和一團廠中，

ZEDB=ZECB

<ZDFE=ZCFB,

DE=CB

：.BCFqEDF(AAS).

(2)解：四邊形4)bC是平行四邊形，

,\AC//DF,

.\ZABD=ZBAC=45°.

AD=AB=1，

:.ZADB=ZABD=45°.

.\ZDAB=90°.

由勾股定理，可求得BD=#+F=亞.

△AEC%AADB,

EC=BD="s/2.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理；

熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

9.(1)見解析

⑵12

【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與判定、勾股定理及全等三角形的性

質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與判定、勾股定理及全等三角形的性質(zhì)

與判定是解題的關鍵；

(1)由題意易得AZ)=6C,AB//CD,/BAD=/BCD,AE=-AD,CF=-BC,則有

22

AE=CF,然后可得四邊形AHCG為矩形，則有AH=CG,進而問題可求證；

(2)連接所、GH,由題意易得￡H=G尸，EG=FH=3,則有四邊形石處6為矩形，然

后可得FG=4,進而問題可求解.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABC。為平行四邊形，

：.AD=BC,AB//CD,/BAD=/BCD.

■:E、尸分別是A3、CD的中點，

AE=-AD,CF=-BC,

22

???AE=CF,

VAGLCD,CH工AB,

：.ZAGC=ZAHC=90°.

???AB//CD,

：.ZAGC+NG4H=180。，

???NG4H=90。，

???ZAGC=ZAHC=ZGAH=90°,

???四邊形AHCG為矩形.

AH=CG,

???AEH^CFG(SAS)；

：.EH=GF,

VGE=-AD,HF=-BC=3,AD=BC

22

EG=FH=3,

/.四邊形EHFG為平行四邊形.

由(1)得四邊形AHCG為矩形，

，AC=GH=5.

'：AE=BF,AE//BF,

???四邊形ABFE為平行四邊形，

,EF=AB=5.

?/AC=AB,

：.EF=GH,

四邊形是矩形，

ZEGF=90°,

由勾股定理得，F(xiàn)G=4,

矩形EHFG的面積=3x4=12.

10.(1)平行四邊形AFCE是矩形；理由見解析

⑵2

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得AO=3C,AD//BC,證明四邊形AFCE是平行四邊

形，然后證明平行四邊形AFCE是矩形即可；

(2)由E"平分N4WC得=由AD〃BC得NAEM=NCME,所以

ZAME=ZAEM,由等角對等邊得/忘=40=10,根據(jù)勾股定理得句以=8,即可得解.

【詳解】(1)解：平行四邊形9CD,

s.AD^BC,AD//BC,

X-DE=BF,

:.AF=CE,

二四邊形AFCE是平行四邊形，

QAF1BC,

:.ZAFC=90,

；?平行四邊形AFCE是矩形；

(2)解：EN平分

:.ZAME=ZCME,

AD//BC,

:.ZAEM=ACME,

:.ZAME=ZAEM,

：.AE=AM=10,

AF=CE=6,

FM=yjAM2-AF2=^102-62=8，

.-.CM=10-8=2.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，角平分線的定義，平行線的性

質(zhì)，等角對等邊，勾股定理，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵.

11.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定，解題關鍵是根據(jù)題意,

熟練運用全等三角形的判定和平行四邊形的判定進行推理證明；

(1)根據(jù)平行得出再根據(jù)“邊角邊”證明三角形全等即可；

(2)證明一組對邊平行且相等即可.

【詳解】(1)證明：：AE〃3尸，

，ZA=ZB,

VAD=BC,AE=BF,

：.AADE^ABCF.

(2)證明：由(1)得AADE會ABCF,

：.DE=CF,ZADE=Z.BCF,

NEDC=NDCF,

：.DE//CF,

四邊形DECF是平行四邊形.

12.(1)證明見解析

(2)7+713

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及勾股定理等知識，熟

練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

(1)證明所是△ABD的中位線，^EF//AD,即CF〃AD,再由平行四邊形的判定即可

得出結論；

(2)由跖是△AB￡)的中位線，得AD=CF=2EF=2,EF//AD,AB=2AE=2>JlO,

由勾股定理求出一a。=6,故DF=B尸=：BD=3,AF=yjAD2+DF2=V13-

13i

由四邊形AECD為平行四邊形得。。=。尸尸=5，OA=OC=^AC,再由勾股定理求

出oa=Jm+or>2=』,即AC=2Q4=5,最后由AFC的周長為=4?+。5+川即可求

2

解.

【詳解】(1)證明：DF=BF,

.?.F是。8的中點，

又E是的中點，

/.EF是AABD的中位線，

:.EF〃AD，

點c在班■1的延長線上，

CFI/AD,

又.CF=AD,

二.四邊形A/C。為平行四邊形.

(2)解：DF=BF,AE=BE=回,EF=1,

：,EF//AD，且砂,ADAB=2AE=2yflO,

2

：.AD=CF=2EF=2,

CE_LD5于點產(chǎn)，

:.ZADB=ZEFB=90°,

BD=-JAB2-AD2=JQM)2-22=6,

;.DF=BF=-BD=3,

2

AF=s!AEr+DF2=在+32=V13，

四邊形A/CD為平行四邊形，

131

：.OD=OF=-DF=-,OA^OC=-AC,

222

OA=y/AD2+OD2=^22+=1,

..AC=2O4=5,

AFC的周長為：AC+CF+AF=5+2+y/13=7+>/13.

13.（1）①見解析；②見解析

⑵！

【分析】（1）①利用平行線的性質(zhì)得即可證得△ABC絲△。斯；

②由①得△ABC會△￡>￡〃，可得BC=EF、NBCA=NEFD,證得3c〃/，即可得證四

邊形3CEF是平行四邊形.

（2）連接BE,交C/于點0,根據(jù)菱形的性質(zhì)得3ELCF、C0=F0、BO=EO,利用勾

股定理求出AC,利用面積法求出80,再利用勾股定理求出C。，計算AF=AC-尸C即可

求解.

【詳解】（1）證明：①1AB//DE,

:.ZA=ZD,

在VABC和DEF中，

叱ABC=NDEF

<AB=DE,

ZA=ZD

AABC^ADEF(ASA)；

②由(1)知AABC學ADEF,

:.BC=EF,NBCA=NEFD,

:.BC//EF,

四邊形BCE產(chǎn)是平行四邊形.

(2)解：如圖，連接BE,交CF于點0,

四邊形3C即是菱形,

:.BE±CF,CO=FO,BO=EO,

在Rt^ABC中，AB=4,BC=3,

AC=+4?=5，

=-ACBO=-ABBC,

ABxBC4x312

BO=

y

在Rt30c中，BC=3,BO=—

9

5

97

:.AF=AC-FC=AC-2CO=5-2x-=-.

55

【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判

定，菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定和菱形的性質(zhì)是解題關鍵.

14.(1)證明見解析

⑵16石

(3)4A/7

【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，注

意準確作出輔助線是解此題的關鍵.

(1)由VA03是等邊三角形，AB=4,可得。4=OB=4,根據(jù)四邊形ABC。是平行四邊

形，進而可得AC=&)=8,即可證明平行四邊形AB。是矩形.

(2)根據(jù)四邊形ABC￡＞是矩形，利用勾股定理即可求解；

(3)作E"1BC的延長線于點用證明四邊形DECO是平行四邊形.得CE=8=4,根

據(jù)ZABO=60。，得ZECH=ZDBC=30。,進而可得出=gEC=2,CH=4^^=2。

用勾股定理即可求解。

【詳解】(1)證明：「△AOB是等邊三角形，AB=4,

.?3=03=4,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

.-.OA=OC=4,OB=OD=4,

AC=BD=S,

平行四邊形ABC。是矩形.

(2)解：：四邊形A3C￡＞是矩形.

:.ZBAD=90°.

在RtZVlBO中,

AD=yjBD2-AB2=A/82-42=4A/3,

A5=4x473=1673.

(3)解：作由的延長線于點H.

EDE\AC,CE//BD,

四邊形DECO是平行四邊形.

:.CE=OD=4,

ZASO=60。，

.-.ZDBC=90°-60°=30°,ZECH=ZDBC=30°,

EH=-EC=2,CH=A/42-22=2A/3，

/.BH=6日

BE=?6廚+2?=4A/7.

15.(1)證明見解析

(2)四邊形ABC。是矩形，證明見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)，

(1)由四邊形ABCD為平行四邊形，則AB=CD,由3E=CF,故有3/=CE,然后證得

△ABF四△OCE；

(2)由△鉆尸絲△DCE,證得/fi=NC,然后利用平行四邊形的對邊平行得到兩個角均為

直角，從而利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定即可，解題的關鍵是熟練掌握平行

四邊形的性質(zhì)和矩形的判定定理.

【詳解】(1)證明：：四邊形ABC。為平行四邊形，

AB=CD,

:BE=CF,

：.BF=CE,

在時和△￡)(?￡1中，

AB=CD

<AF=DE,

BF=CE

??..ABF名、DCE(SSS).

(2)解：四邊形ABC。是矩形，理由如下：

4ABF沿/\DCE,

???ZB=NC,

'：AB//CD,

：.Z5=ZC=90°,

???四邊形ABC。為平行四邊形，

???ABC。是矩形.

16.⑴見解析

力3小

(2)---cm

2

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行四邊形的判定與

性質(zhì)、勾股定理等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵.

(1)利用平行線的性質(zhì)和中點定義得到NACD=NC4E,AO=CO,進而證明

AO￡”COD(ASA)得到鉆=8,再利用平行四邊形的判定可得結論；

(2)過點E作跖，AC于R先利用勾股定理求得AB=4,再利用角平分線的性質(zhì)得到

3

EF=EB,設EF=EB=x,貝！|AE=4-x,RtARE中，由勾股定理求得尤=一，再在Rt/XCBE

2

中，由勾股定理求得CE=35,再利用平行四邊形的性質(zhì)求解即可.

2

【詳解】(1)證明：：CD〃A3,

???ZACD=ZCAE,

???0是AC的中點，

:.AO=CO,

在ZkAOE與△COD中,

ZDCO=ZEAO

<OC=OA

ZCOD=NAOE

/.AOE^COD(ASA),

：.AE=CD,又AE〃CD,

???四邊形AECD是平行四邊形；

(2)解:過點E作EFLAC于凡

在Rt^ABC中，AC=5,BC=3,IB90?,

由勾股定理得：AB=4AC2-BC-=A/52-32=4>

：CE平分/ACS,?B90?,EFVAC,

EF=EB,設EF=EB=x,

,/AB=4,

AE=4-x,

在RtA^CBE和RtCEE中，

[EB=EF

[CE=CE'

ARtCBE^RtCFE(HL),

：.CF=CB=3,

：.AF=5-3=2,

在RtAF￡1中，由勾股定理得：AF2+FE2=AE2

2

4+x=(x-4)2

3

解得：1=；，(也可以用等面積法)

在RtZkCBE1中，由勾股定理得：BE2+BC2=CE2

??CE=—^,

2

???四邊形AECD是平行四邊形，

/.AD=CE=—cm.

2

17.(1)見解析

(2)1或3

【分析】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判

定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得NA=/3=45。，CDA.AB,AD=BD=CD,從而得出

/DCB=45°,即可證明VADE絲VCDP；

(2)連接C。，證明四邊形EDFG為正方形，得出DE=DF=#,求出

EF=《DE?+DF2=回，再由勾股定理計算即可得解?

【詳解】(1)解：ZACB=90°,AC=BC=4,

\ZA=?B45?,

.點。是A3的中點，

:.CDYAB,且AD=3D=CD,

:.ZDCB=45°,

:.ZA=NDCF,

又.AE=CF；

：.ADE^CDF(SAS).

(2)解：連接CD,

OE=OF,

；OD=OG,

???四邊形EDFG為平行四邊形,

.ADE^CDF(SAS),

：.DE=DF,ZADE=ZCDF,

，四邊形皿燈為菱形，

?；ZADE+ZCDE=90°,

：.ZCDF+Z.CDE=90°,即Z.EDF=90°,

.,?四邊形EDFG為正方形，

?/四邊形EDFG的面積為5,

:?DE=DF=5

-EF^y/DE2+DF2=710-

?/AE=CF,EC2+CF2=EF2,

：.(AC-AEy+AE2^EF2,

2

(4-A￡)2+AE2=(7io),

解得：AE=1或3.

18.(1)見解析

(2)AC1MN

【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，以及正方形的判定，熟練掌握正方形的判定方法是

解答本題的關鍵.

(1)證明四邊形AMCV是矩形即可得出AC=W；

(2)根據(jù)正方形的判定方法可知，當ACLMN時，四邊形AMCN為正方形.

【詳解】(1)：CE平分ZACB,C/平分ZACB的外角AACD,

：.ZACE=-NACB,ZACN=-ACD,

22

：.ZMCN=NACE+NACN=g(ZACB+ACD)=90°,

'：AMICE,AN1CF,

ZAMC=ZANC=90°,

四邊形AMOV是矩形，

AC=MN-

(2)當ACLMN時，四邊形AMCN為正方形，理由；

:四邊形AMCV是矩形，AC1MN,

，四邊形AMCN為正方形.

19.(1)見解析

(2)873

【分析】(1)由OC=Q4,OD=OB得四邊形ABCD是平行四邊形：再由四邊形AE8。是矩

形，則得四邊形是菱形；

(2)由矩形的性質(zhì)得AB=OE=4；利用菱形的性質(zhì)及勾股定理求得08的長，從而求

得菱形的兩條對角線長，即可求得菱形的面積.

【詳解】(1)證明：：OC=Q4,OD=OB,

.,?四邊形ABCD是平行四邊形：

?.?四邊形AEB。是矩形，

ZAO3=90°,

即ACJ.BD,

四邊形是菱形；

(2)解：：四邊形是矩形，

AS=0E=4；

:四邊形ABCD是菱形，且/BCD=60。，

/.ZBAO=ZBCA=-ZBCD=30°,OA±OB,