2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題之命題與證明

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之命題與證明（2025年4月）

選擇題（共10小題）

1.（2025春?海安市月考）下列命題中，真命題的個數(shù)有（）

①同旁內(nèi)角互補(bǔ);

②過一點有且只有一條直線與已知直線垂直;

③過一點有且只有一條直線與已知直線平行;

④連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2025春?武漢月考）如圖，△ABC內(nèi)接于O。，BC=12,NA=60°,點。為弧BC上一動點，BE1

于點E,當(dāng)。從8點沿弧8C運動到點C時，點E經(jīng)過的路徑長為（）

4V38遮

C.D.-----71

3

3.（2025春?小店區(qū)校級月考）用反證法證明“一個三角形中至多有一個內(nèi)角為鈍角”時，應(yīng)先作出的假

設(shè)是（）

A.一個三角形中有兩個內(nèi)角為鈍角

B.一個三角形中三個內(nèi)角都是鈍角

C.一個三角形中至少有一個內(nèi)角為鈍角

D.一個三角形中至少有兩個內(nèi)角為鈍角

4.（2025?湖南模擬）下列句子中，屬于命題的是（）

A.直線A8和垂直嗎？

B.過線段的中點C作的垂線

C.同旁內(nèi)角不互補(bǔ)，兩直線不平行

D.已知/=1,求°的值

5.（2025春?南崗區(qū)校級月考）下列命題中，其逆命題不成立的是（）

A.線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等

B.全等三角形的對應(yīng)角相等

C.等邊三角形的三條邊相等

D.兩直線平行，同位角相等.

6.（2025春?二七區(qū)月考）下列命題是假命題的是（）

A.兩直線平行，同位角相等

B.斜邊及一銳角分別相等的兩個直角三角形全等

C.如果ab=0,那么a=0,b—0

D.一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等

7.（2025春?萬柏林區(qū)月考）下列命題中，逆命題正確的是（）

A.全等三角形的對應(yīng)角相等

B.等腰三角形的兩個底角相等

C.對頂角相等

D.互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等

8.（2025春?渝中區(qū)校級月考）下列命題：①對頂角相等；②實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；③同旁內(nèi)角互

補(bǔ)，兩直線平行；④從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到這條直線的距離.是真命題的個數(shù)

是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.（2025?南山區(qū)一模）下列命題中，真命題有（）個.

①兩個含45°角的等腰三角形必相似；

②已知線段AB=2,點C是A2的黃金分割點，貝必。=近一1；

③順次連接一個四邊形各邊中點得到一個矩形，則這個四邊形的對角線一定垂直；

④平分弦的直徑垂直于弦

A.4個B.3個C.2個D.1個

10.（2025春?潘橋區(qū)校級月考）下列命題是真命題的是（）

A.有一個角是60°的三角形是等邊三角形

B.若a>b,則屋>房

C.在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點一定在這個角的平分線上

D.用反證法證明：“已知△ABC,AB^AC,求證：NB<90°.”第一步應(yīng)先假設(shè)/2>90°

二.填空題（共5小題）

H.（2025?海淀區(qū)校級模擬）某次考試共4道試題，均為選擇題，每題四個選項中只有一個是正確的.每

道題答對的得5分，答錯的得0分.已知甲、乙、丙、丁4人的作答情況及前3個人的得分情況如下表，

總得分恰好是四個連續(xù)奇數(shù)，則與乙打平的球隊是.

13.(2024秋?平谷區(qū)期末)周末，明明要去科技館參觀，該科技館共有A、B、C、D、E、p六個展館，

各展館參觀所需要的時間如表，其中展館8和展館￡設(shè)有特定時間段的專業(yè)講解，若明明準(zhǔn)備9：00

進(jìn)科技館，12：00離開(各展館之間轉(zhuǎn)換時間忽略不計).

(1)若不考慮專業(yè)講解的情況下，明明最多可以參觀完個展館；

(2)若8、￡展館必須參觀且正好趕上專業(yè)講解，本著不浪費時間的原則，請給出最合理的參觀順

序?

展館ABCDEF

專業(yè)講解無9：30-11：無無10：00-12：無

00每半小時00每1小時

一場，共3一場，共2

場場

參觀所需時603045156090

間(分鐘)

14.(2025?淮安一模)如圖，A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),點尸是△ABC邊上一動點，連接

OP,以。尸為斜邊在。尸的右上方作等腰直角△OPQ.當(dāng)點尸在△ABC邊上運動一周時，點。運動的

路徑長為

15.（2025?北京模擬）車間里有五臺車床同時出現(xiàn)故障.已知第一臺至第五臺修復(fù)的時間如表:

車床代號ABCDE

修復(fù)時間（分鐘）83111617

若每臺車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失10元，修復(fù)后即可投入生產(chǎn).

（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一臺機(jī)床，則下列三個修復(fù)車床的順序：①。一2

-C；②。fA-C-E-B；③C-A-E―。中，經(jīng)濟(jì)損失最少的是（填序號）；

（2）如果由兩名修理工同時修復(fù)車床，且每臺機(jī)床只由一名修理工修理，則最少經(jīng)濟(jì)損失為

兀?

三.解答題（共5小題）

16.（2025春?松江區(qū)校級月考）如圖所示，扇形從圖①無滑動繞著點A旋轉(zhuǎn)到圖②（/。&。=90°）

的位置，再由圖②緊貼直線運動到圖②，已知/。=60°,04=2（結(jié)果保留it）.

（1）求由圖①到圖②點。所運動的路徑長；

（2）點。所走過的路徑與直線/圍成的面積是多少？

17.（2025?射陽縣一模）已知尸1（xi,yi）,Pi（X2,>2）,其中xi<x2.

［實踐操作］（1）若Pl,P2是拋物線y=/-2x上的點，下列命題正確的有

①若團(tuán)-1|>應(yīng)T|,則yi>”

②若|xi--1|.則y\<y2

③若|xi-1|=應(yīng)-1|.則

④若|xi--1|.則y\>yi

［實踐思考］（2）若尸i,P2是拋物線y=o%2+bx+c（cz>0）上的點，對稱軸為直線x=r.

若|尤i-t\\xi-t\,y\>yi-,若|xi-/|\xi-t\,yi=y2；若|xi-r||x2-t\,貝ijy\<yi.

［實踐應(yīng)用］（3）在（2）的條件下，

①若該拋物線的對稱軸為直線x=l,當(dāng)尤1,無2為何值時，yi=y2=c；

②若對于Xl+X2<3,都有"<”，求/的取值范圍.

18.（2025?開州區(qū)一模）學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小慶進(jìn)行了拓展性探究.她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一組

對邊與同一條對角線所組成的角的平分線，那么這兩條角平分線截另一對角線所得的線段被對角線的交

點平分.其解決思路是通過證明對應(yīng)線段所在的兩個三角形全等得出結(jié)論.請根據(jù)她的思路完成以下作

圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，作的平分線，交AC于點足（只保留作圖痕跡）

己知：如圖，在EIA8CD中，對角線AC,8。交于點O,OE平分/AZ52交AC于點E,BF平分/CBD

交AC于點F.

求證：OE=OF.

證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AD//BC,。3①,

ZADB=ZCBD.

又：。E平分乙4。8,BF平分/CBD,

11

ZEDO=14ADB,②=2乙CBD.

:./EDO=NFBO.

又；々。。=③,OD=OB,

.?.△EOD-FOB（ASA）.

：.OE=OF.

小慶再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形一條對角線的兩端點作兩條平行線，這兩條平行線截另一對角線

所得的線段均有此特征.請你依照題意完成下面命題：

過平行四邊形一條對角線的兩端點作兩條平行線，這兩條平行線截另一對角線所得的線段

④.

//

0

BC

19.(2025?石家莊模擬)如圖1筒車是我國古代利用水利驅(qū)動的灌溉工具，筒車上均勻分布著若干個盛水

筒.如圖2,筒車。。按逆時針方向轉(zhuǎn)動，與水面分別交于A、B,且43=4百小，筒車的軸心。距離

水面的高度OC長為2優(yōu).

圖1圖2

(1)求筒車。。的半徑；

(2)盛水桶尸從剛浮出水面繞到離水面最高點時，求它走過的路徑長.

20.(2025春?運城月考)教材呈現(xiàn)：如圖是人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第50頁的部分內(nèi)容.

我們知道，角的平分線上的點到,按照上述證明命題、

角的兩邊的距離相等，到角的兩邊的

的步驟自己證一

距離相等的點是否在角的平分線上呢？

證這個結(jié)論。

利用三角形全等，可以得到角的內(nèi)部

到角的兩邊的距離相等的點在角的平

圖①圖②

(1)定理證明：請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“角平分線的判定定理”完整的證明過程.

己知：求證：證明過程：

(2)定理應(yīng)用：如圖②，ZB=ZC=90°,￡是BC的中點，DE平分NAOC.求證：AE是的

平分線.

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之命題與證明（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案ADDCBCBCDC

選擇題（共10小題）

1.（2025春?海安市月考）下列命題中，真命題的個數(shù)有（）

①同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

②過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；

④連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】命題與定理；垂線；垂線段最短；同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角；平行公理及推論；平行線的性

質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、垂直、平行公理、垂線段最短逐項判斷即可得.

【解答】解：根據(jù)平行線的性質(zhì)、垂直、平行公理、垂線段最短逐項判斷如下：

①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則原命題是假命題；

②在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，則原命題是假命題；

③經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，則原命題是假命題；

④連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，則原命題是真命題；

綜上，真命題的個數(shù)有1個，

故選：A.

【點評】本題考查了命題、平行線的性質(zhì)、垂直、平行公理、垂線段最短，熟練掌握性質(zhì)和公理是解題

關(guān)鍵.

2.（2025春?武漢月考）如圖，△ABC內(nèi)接于O。，BC=12,NA=60°，點。為弧BC上一動點，BEL

于點E,當(dāng)。從8點沿弧BC運動到點C時，點E經(jīng)過的路徑長為（)

A

4V38V3

A.18B.4伍C.---TCD.---71

33

【考點】軌跡;勾股定理；垂徑定理；三角形的外接圓與外心.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；與圓有關(guān)的計算；運算能力.

【答案】D

【分析】如圖，連接。3,設(shè)的中點為連接ME.作于首先判斷出點E在以。3

為直徑的圓上運動，求出點。與C重合時的度數(shù)，利用弧長公式計算即可.

【解答】解：如圖，連接08,設(shè)08的中點為M,連接ME.作。于

：.ZOEB=90°,

...點E在以。2為直徑的圓上運動,

當(dāng)點。與C重合時,

：N8OC=2NA=120°,

：.ZBOE=6Q0,

；./EMB=2NBOE=120°，

：8C=12,0H±BC,

:.BH=CH=6,/B0H=NC0H=60°,

???。2=瑞=4逐

/.點E的運動軌跡的長=24嚅2e=萼兀.

loU3

故選：D.

【點評】本題考查軌跡、弧長公式、三角形的外接圓與外心等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，

正確尋找軌跡，屬于中考常考題型.

3.（2025春?小店區(qū)校級月考）用反證法證明”一個三角形中至多有一個內(nèi)角為鈍角”時，應(yīng)先作出的假

設(shè)是（）

A.一個三角形中有兩個內(nèi)角為鈍角

B.一個三角形中三個內(nèi)角都是鈍角

C.一個三角形中至少有一個內(nèi)角為鈍角

D.一個三角形中至少有兩個內(nèi)角為鈍角

【考點】反證法；三角形內(nèi)角和定理.

【專題】三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)反證法就是從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行假設(shè)，直接假設(shè)出一個三角形中至少有兩個鈍角即可.

【解答】解：證明“一個三角形中至多有一個內(nèi)角為鈍角”，應(yīng)假設(shè)：一個三角形中至少有兩個內(nèi)角為

鈍角.

故選：D.

【點評】本題主要考查了反證法，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得出命題結(jié)論的反例是解答問題的關(guān)鍵.

4.（2025?湖南模擬）下列句子中，屬于命題的是（）

A.直線42和垂直嗎？

B.過線段A8的中點C作的垂線

C.同旁內(nèi)角不互補(bǔ)，兩直線不平行

D.已知°2=1,求°的值

【考點】命題與定理；平方根；余角和補(bǔ)角；平行線的判定；線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】實數(shù)；線段、角、相交線與平行線；應(yīng)用意識.

【答案】C

【分析】對一件事情作出判斷的語句叫做命題，根據(jù)定義判斷即可.

【解答】解：A.是問句，不是命題，故該選項不符合題意，

B.是作圖，沒有對一件事情作出判斷，不是命題，故該選項不符合題意，

C.對一件事情作出判斷，是命題，故該選項符合題意，

D.沒有對一件事情作出判斷，不是命題，故該選項不符合題意.

故選：C.

【點評】此題考查了命題的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵.對一件事情作出判斷的語句叫做命題，注意，

假命題也是命題.

5.（2025春?南崗區(qū)校級月考）下列命題中，其逆命題不成立的是（）

A.線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等

B.全等三角形的對應(yīng)角相等

C.等邊三角形的三條邊相等

D.兩直線平行，同位角相等.

【考點】命題與定理；全等三角形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】B

【分析】先寫出各個命題的逆命題，根據(jù)垂直平分線的判定、全等三角形的判定、等邊三角形的判定、

平行線的判定定理判斷即可.

【解答】解：A、線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等的逆命題是到這條線段兩個端

點的距離相等的點在線段垂直平分線上，成立，不符合題意；

8、全等三角形的對應(yīng)角相等的逆命題是對應(yīng)角相等的兩個三角形全等，不成立，符合題意；

C、等邊三角形三邊相等的逆命題是三邊相等的三角形是等邊三角形，成立，不符合題意；

D.兩直線平行、同位角相等。的逆命題是同位角相等，兩直線平行，成立，不符合題意.

故選：B.

【點評】本題主要考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，正確寫出命題的逆命題是解題的關(guān)鍵.

6.（2025春?二七區(qū)月考）下列命題是假命題的是（）

A.兩直線平行，同位角相等

B.斜邊及一銳角分別相等的兩個直角三角形全等

C.如果°6=0,那么a=0,b=0

D.一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等

【考點】命題與定理；有理數(shù)的乘法；平行線的性質(zhì)；直角三角形全等的判定.

【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；應(yīng)用意識.

【答案】C

【分析】利用平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，有理數(shù)的乘法一一判斷即可.

【解答】解：A、兩直線平行，同位角相等.是真命題，本選項不符合題意；

8、斜邊及一銳角分別相等的兩個直角三角形全等.是真命題，本選項不符合題意；

C＞如果＜?6=0,那么a=0,b=0.是假命題，本選項符合題意.

。、一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等.是真命題，本選項不符合題

.在一

忌；

故選：C.

【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，有理數(shù)的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決

問題.

7.（2025春?萬柏林區(qū)月考）下列命題中，逆命題正確的是（）

A.全等三角形的對應(yīng)角相等

B.等腰三角形的兩個底角相等

C.對頂角相等

D.互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等

【考點】命題與定理；對頂角、鄰補(bǔ)角；全等三角形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】幾何圖形；應(yīng)用意識.

【答案】B

【分析】根據(jù)所給命題逐一改成逆命題后判斷

【解答】解：根據(jù)所給命題逐一改成逆命題后判斷如下：

A：逆命題為：對應(yīng)角相等，兩直角三角形全等，說法不正確，不符合題意；

B：逆命題為：兩個底角相等，三角形為等腰三角形，說法正確，符合題意；

C：逆命題為：如果兩個角相等，那么它們?yōu)閷斀牵f法錯誤，不符合題意；

D：逆命題為：如果兩個數(shù)絕對值相等，那么它們互為相反數(shù)，說法錯誤，不符合題意.

故選：B.

【點評】本題主要考查了逆命題的改寫與判斷，熟悉掌握各知識點是解題的關(guān)鍵.

8.（2025春?渝中區(qū)校級月考）下列命題：①對頂角相等；②實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；③同旁內(nèi)角互

補(bǔ)，兩直線平行；④從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到這條直線的距離.是真命題的個數(shù)

是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】命題與定理；實數(shù)與數(shù)軸；平行線的判定與性質(zhì).

【專題】實數(shù)；幾何圖形；應(yīng)用意識.

【答案】c

【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)，實數(shù)與數(shù)軸，平行線的判定和性質(zhì)一一判斷即可.

【解答】解：①對頂角相等；是真命題；

②實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；是真命題；

③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；是真命題；

④從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到這條直線的距離.不是命題.

故選：C.

【點評】本題考查命題與定理，對頂角的性質(zhì)，實數(shù)與數(shù)軸，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握

相關(guān)知識解決問題.

9.（2025?南山區(qū)一模）下列命題中，真命題有（）個.

①兩個含45°角的等腰三角形必相似；

②已知線段AB=2,點C是的黃金分割點，貝必。=遙一1；

③順次連接一個四邊形各邊中點得到一個矩形，則這個四邊形的對角線一定垂直；

④平分弦的直徑垂直于弦

A.4個B.3個C.2個D.1個

【考點】命題與定理；黃金分割；等腰直角三角形；矩形的性質(zhì)；中點四邊形；垂徑定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】D

【分析】由相似三角形的判定方法，三角形中位線定理，垂徑定理，黃金分割的概念，即可判斷.

【解答】解：①45°的角有可能是等腰三角形的頂角或底角，因此兩個含45°角的等腰三角形不一定

相似，故①不符合題意；

②已知線段A8=2,點C是A8的黃金分割點，若C靠近8,貝UAC=與48=遮—1,若C靠近A,

貝iJBC=因止匕AC=AB-BC=3-V^，所以A8=6一1或3—遮，故②不符合題意；

③如圖：由三角形中位線定理推出即〃AC,EF//BD,由即，所推出AC,8。，于是得到順次連接

一個四邊形各邊中點得到一個矩形，則這個四邊形的對角線一定垂直，故③符合題意；

④平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故④不符合題意，

???真命題有1個.

故選：D.

【點評】本題考查命題與定理，相似三角形的判定，等腰三角形，三角形中位線定理，矩形的性質(zhì)，中

點四邊形，垂徑定理，黃金分割，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法，三角形中位線定理，垂徑定理,

黃金分割的概念.

10.（2025春?滿橋區(qū)校級月考）下列命題是真命題的是（）

A.有一個角是60°的三角形是等邊三角形

B.若a>b,則/〉廬

C.在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點一定在這個角的平分線上

D.用反證法證明：“已知△ABC,AB=AC,求證：N2<90°.”第一步應(yīng)先假設(shè)NB>90°

【考點】反證法；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】反證法.

【答案】C

【分析】分別根據(jù)等邊三角形的判定、有理數(shù)的乘方、角平分線的判定、反證法進(jìn)行分析判斷.

【解答】解：A、有一個角是60°的三角形是等邊三角形，是假命題，例如三個角分別為30°、60。、

90°的三角形不是等邊三角形，故本選項說法錯誤；

B、若a>b,則/>廬，是假命題，例如-1>-2,而（-1）2<（-2）2,故本選項說法錯誤；

C、在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點一定在這個角的平分線上，本選項說法正確；

D、用反證法證明：“已知△ABC,AB^AC,求證：/B<90°.”第一步應(yīng)先假設(shè)NBN90°,故本選

項說法錯誤；

故選：C.

【點評】本題主要考查真假命題，掌握等邊三角形的判定、有理數(shù)的乘方、角平分線的判定、反證法的

應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.（2025?海淀區(qū)校級模擬）某次考試共4道試題，均為選擇題，每題四個選項中只有一個是正確的.每

道題答對的得5分，答錯的得。分.已知甲、乙、丙、丁4人的作答情況及前3個人的得分情況如下表，

則第二題的答案應(yīng)為B,丁的最終得分為10.

甲乙丙T

1ABAD

2BBBB

3DCBA

4DDAA

總分101015

【考點】推理與論證.

【專題】推理填空題；推理能力.

【答案】B,10.

【分析】甲和乙都得了10分，說明他們都答對了2道題.丙得了15分，說明他答對了3道題.甲、乙、

丙、丁四人都選擇了8,如果第二題的答案不是8,那么這四個人就都不可能答對第二題.假設(shè)第二題

的答案是8,那么這四個人就都答對了第二題，此假設(shè)符合所有人的得分要求.假設(shè)第一題的答案是A,

則丙答對了第一題.此時，丙的正確題為1和2,符合10分；乙需要在其他題中答對1題才能滿足條

件.假設(shè)第三題的答案是C,則乙答對了第三題，此時乙的正確題為2和3,符合10分.丙選2錯，

其正確題為1、2和4,符合15分.假設(shè)第四題的答案是A,則丙的正確題為1、2、4,符合15分.此

時：甲選。錯，乙選。錯，丁選A對；-乙需要再答對3（C）才能得10分，符合條件.綜合以上分

析，各題答案為：Q=A,Q2=B,03=C,。4=4丁的答案中，題2、4正確，得分為5+5=10分.

【解答】解：設(shè)各題的正確答案分別為。1,Qi,Qi,24.

根據(jù)丙的得分15分（答對3題）和甲、乙的得分10分（各答對2題），

甲、乙、丙、丁均選8.若。2=8則四人均答對題2,此假設(shè)符合所有人的得分要求.

丙選A且得分15分，若。1=4則丙答對題1.甲選A也對，乙、丁選錯.

此時：甲的正確題為1和2,符合10分；乙需再在其他題中答對1題（如題3或4）

乙選C,若。3=C則乙答對題3,此時乙的正確題為2和3,符合10分.丙選B錯，其正確題為1、2

和4.

丙選A且需再答對1題，若Q4=A,則丙的正確題為1、2、4,符合15分.

此時：甲選D錯，乙選。錯，丁選A對；乙需再答對題3（C）才能得10分，符合條件.

綜上，各題答案為。1=A,。2=8,。3=。，04=4.

丁的答題中，題2、4正確，得分為5+5=10分.

故答案為：

B,10.

【點評】本題考查推理與論證，解題的關(guān)鍵是正確推理.

12.（2025?隆回縣模擬）甲、乙、丙、丁四個球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽（每兩隊賽一場），勝一場得3分、平

一場得1分，負(fù)一場得0分.比賽結(jié)束后，甲、乙、丙、丁四隊分別獲得第一、二、三、四名，各隊的

總得分恰好是四個連續(xù)奇數(shù)，則與乙打平的球隊是甲和丁.

【考點】推理與論證.

【專題】推理填空題；推理能力.

【答案】甲和丁.

【分析】直接利用已知得出甲得分為7分，2勝1平，乙得分5分，1勝2平，丙得分3分，1勝0平，

丁得分1分，0勝1平，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：???甲、乙、丙、丁四隊分別獲得第一、二、三、四名，各隊的總得分恰好是四個連續(xù)奇數(shù)，

，甲得分為7分，2勝1平，乙得分5分，1勝2平，丙得分3分，1勝。平，丁得分1分，。勝1平，

???甲、乙都沒有輸球，.?.甲一定與乙平，

?.?丙得分3分，1勝0平，乙得分5分，1勝2平，

與乙打平的球隊是甲與丁.

故答案為：甲和丁.

【點評】本題考查了推理與論證，正確分析得出每隊勝負(fù)場次是解題關(guān)鍵.

13.（2024秋?平谷區(qū)期末）周末，明明要去科技館參觀，該科技館共有A、B、C、D、E、f六個展館，

各展館參觀所需要的時間如表，其中展館8和展館￡設(shè)有特定時間段的專業(yè)講解，若明明準(zhǔn)備9：00

進(jìn)科技館，12：00離開（各展館之間轉(zhuǎn)換時間忽略不計）.

（1）若不考慮專業(yè)講解的情況下，明明最多可以參觀完4個展館；

（2）若8、E展館必須參觀且正好趕上專業(yè)講解,本著不浪費時間的原則，請給出最合理的參觀順序F

fB—E.

展館ABCDEF

專業(yè)講解無9：30-11：無無10：00-12：無

00每半小時00每1小時

一場，共3一場，共2

場場

參觀所需時603045156090

間(分鐘)

【考點】推理與論證.

【專題】特定專題；推理能力.

【答案】(1)4；(2)F-B-E.

【分析】(1)根據(jù)小明有3個小時時間參觀，由此判斷即可；

(2)根據(jù)8、E展館必須參觀且正好趕上專業(yè)講解，時間3小時可得結(jié)論.

【解答】解：(1)準(zhǔn)備9：00進(jìn)科技館，12：00離開，共有3個小時時間參觀，

45+15+60+60=180分鐘，45+15+30+60<180分鐘，

明明最多可以參觀完4個展館.

故答案為：4；

(2)根據(jù)8、E展館必須參觀，時間為90分鐘，

還有90分鐘，所以可以選擇反

請給出最合理的參觀順序：F-B-E.

故答案為：

【點評】本題考查推理與論證，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會合理安排.

14.(2025?淮安一模)如圖，A(-1,1),8(-1,4),C(-5,4),點尸是△ABC邊上一動點，連接

OP,以。尸為斜邊在OP的右上方作等腰直角△OP。.當(dāng)點尸在△ABC邊上運動一周時，點0運動的

【專題】動點型；等腰三角形與直角三角形；推理能力；應(yīng)用意識.

【答案】6V2.

【分析】如圖，由題意，點尸在△A8C的三條邊上運動一周時，點。運動的軌跡是△MGH.利用相似

三角形的性質(zhì)求出MG,GH,MH,即可解決問題.

【解答】解：如圖，由題意，點尸在AABC的三條邊上運動一周時，點。運動的軌跡是△MGH.

r-「一「

??B逸

VA(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),

：.AB=3,BC=4,AC=5,

OMOGg-

OAOB2

LAOBsAMOG,

MGOMV2

AB~OA~2

同法可得，GH=*BC=2近,MH=￥AC=竽，

/.點。的軌跡形成的封閉圖形的周K=MG+G//+MH=竽+2V2+孚=6V2.

故答案為：6V2.

【點評】本題考查軌跡，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點。

的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.

15.（2025?北京模擬）車間里有五臺車床同時出現(xiàn)故障.已知第一臺至第五臺修復(fù)的時間如表：

車床代號ABCDE

修復(fù)時間（分鐘）83111617

若每臺車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失10元，修復(fù)后即可投入生產(chǎn).

（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一臺機(jī)床，則下列三個修復(fù)車床的順序：①。一8

-E-AfC；②DfAfCfEfB；③C—A-E->/?一。中，經(jīng)濟(jì)損失最少的是②（填序號）；

（2）如果由兩名修理工同時修復(fù)車床，且每臺機(jī)床只由一名修理工修理，則最少經(jīng)濟(jì)損失為1040

【考點】推理與論證.

【專題】推理填空題；運算能力；推理能力.

【答案】⑴②；（2）1040.

【分析】（1）要使經(jīng)濟(jì)損失最少，就要使總停產(chǎn)的時間最短即可，所以先修復(fù)時間短的；

（2）因為要先修理時間短的，時間長放在最后，所以兩名修理工最后修理的是17分鐘和31分鐘的，

最先修理的是6分鐘和8分鐘的.

【解答】（1）要使經(jīng)濟(jì)損失最少，就要使總停產(chǎn)的時間最短即可，顯然先修復(fù)時間短，讓機(jī)器盡快恢復(fù)

運轉(zhuǎn)，所以按照6、8、11、17、31分鐘順序修復(fù)，即按照。-A-C-E-B的順序，

故選：②；

（2）一名修理工修理6分鐘、11分鐘和17分鐘共需34分鐘，另一名修理工修理8分鐘和31分鐘共

需39分鐘，五臺機(jī)器總停產(chǎn)時間為：

（6X3+11X2+17X1）+（8X2+31X1）=104（分鐘），

104X10=1040（元）.

故答案為：1040.

【點評】本題考查了推理與論證，主要結(jié)合有理數(shù)的混合運算，找出方案是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025春?松江區(qū)校級月考）如圖所示，扇形。43從圖①無滑動繞著點A旋轉(zhuǎn)到圖②（/。'49=90°）

的位置，再由圖②緊貼直線運動到圖②，已知/。=60°,04=2（結(jié)果保留it）.

（1）求由圖①到圖②點。所運動的路徑長；

（2）點。所走過的路徑與直線/圍成的面積是多少？

【考點】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；扇形面積的計算.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；與圓有關(guān)的計算；運算能力；推理能力.

【答案】（1）m

10

（2）——7T.

3

【分析】（1）點。的運動路徑是以A為圓心，為半徑，圓心角為90°的弧，根據(jù)弧長公式即可求

解；

（2）如圖，找出點。的完整運動路徑是由三段組成，分別求出面積即可求解.

【解答】解：（1）由圖①到圖②：L=Jx2仃=Jx2兀x2=TT.

(2)如圖,

24

2

S-X-兀

長彷--

37T3

11

242

S--r--X-兀

27T27T

4

--+2-

=s長方形+s半37T7T7T

答：點O所走過的路徑與直線I圍成的面積是可7T.

【點評】本題考查軌跡，旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的點的路徑問題，重點考查了弧長公式，掌握弧長公式，并能找出點

的運動路徑是解題的關(guān)鍵.

17.(2025?射陽縣一模)已知尸1(xi,yi),Pi(%2,”)，其中xi<x2.

［實踐操作］(1)若Pi,尸2是拋物線y=/-2x上的點，下列命題正確的有①③.

①若|xi-1|>應(yīng)-1|,則y\>yi

②若|xi-1|>應(yīng)-1|.則yi<j2

③若|尤1-1|=應(yīng)-1|.則yi—yi

④若|xi--1|.則yi>J2

［實踐思考］(2)若尸I,P2是拋物線y=o?+bx+c(a>0)上的點，對稱軸為直線x=J

若陽-t\>\xi~t\,yi>y2;若|xi-/|=|%2-t\,”=>2;若|xi-t\<\x2-t\,則y\<yi.

［實踐應(yīng)用］(3)在(2)的條件下，

①若該拋物線的對稱軸為直線x=l,當(dāng)xi,尤2為何值時，yi="=c；

②若對于xi+無2<3,都有yi<y2,求r的取值范圍.

【考點】命題與定理；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力.

【答案】(1)①③；

(2)>,=><；

(3)①n=0,X2=2；

②〈宗

【分析】（1）根據(jù)拋物線圖象性質(zhì)，可得出結(jié)果；

（2）做法同（1）；

（3）①當(dāng)yi="時，有|xiT|=|尤2T|,所以尤1=0,X2=2；

②根據(jù)拋物線的性質(zhì)列出不等式求解.

【解答】解：（1）.??拋物線開口向上，對稱軸為x=l,

...距對稱軸越近，函數(shù)值就越小，距對稱距離相等，函數(shù)值就相等，

故正確命題為：①③，

故答案為：①③；

（2）由拋物線的性質(zhì)得：|xi_t\>\xi-t\,yi>y2；若|xi-r|=|x2-r|,yi=y2；若|xi-4<|尤2-f|,則yi

故答案為：>,=,v；

（3）①當(dāng)x=0時，y—c,1-0=2-1,

所以％1,X2的值分別為：0,2；

②?.,yi<y2,貝1J|xi-[V]x2-t\,

（XI-￡）2<（X2-￡）2,

即（XI-X2）（X1+X2-2t）VO,

Vxi-X2<0,

.'.X1+X2-2/>0,即尤1+X2>2/,

VXI+X2<3,

【點評】本題考查了命題與定理，掌握二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.（2025?開州區(qū)一模）學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小慶進(jìn)行了拓展性探究.她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一組

對邊與同一條對角線所組成的角的平分線，那么這兩條角平分線截另一對角線所得的線段被對角線的交

點平分.其解決思路是通過證明對應(yīng)線段所在的兩個三角形全等得出結(jié)論.請根據(jù)她的思路完成以下作

圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，作NC3D的平分線，交AC于點尸.（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，在中，對角線AC,BD交于點O,平分NAO3交AC于點E,BF平分/CBD

交AC于點?

求證：OE=OF.

證明：：四邊形A3。是平行四邊形,

J.AD//BC,OQ=①0B,

,ZADB=ZCBD.

又平分NAOB,BF平分NCBD,

11

ZEDO=今Z.ADB,②NFBO=4CBD.

：./EDO=ZFBO.

又：/EO￡)=③/FOB,OD=OB,

：./\EOD^/\FOB(ASA).

：.OE=OF.

小慶再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形一條對角線的兩端點作兩條平行線，這兩條平行線截另一對角線

所得的線段均有此特征.請你依照題意完成下面命題：

過平行四邊形一條對角線的兩端點作兩條平行線，這兩條平行線截另一對角線所得的線段④被對角線

的交點平分.

【考點】命題與定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；作圖一

復(fù)雜作圖.

【專題】多邊形與平行四邊形；尺規(guī)作圖；推理能力.

【答案】OB,ZFBO,ZFOB,被對角線的交點平分.

【分析】依據(jù)題意，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD〃2C,OB=OD,所以/ADB=/CBD,再根據(jù)

角平分線的定義得到//8。=今/匿。，ZEDO=^ZADB,則可判斷△E。。g△FOB.所以O(shè)E=OF；

類似可證明過平行四邊形一條對角線的兩端點作兩條平行線，這兩條平行線截另一對角線所得的線段被

對角線的交點平分.

【解答】證明：如圖，

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,①OD=OB,

/.ZADB=ZCBD,

又；8F平分/C2￡),DE^-^-ZADB,

：.ZEDO=ZFBO,

又；NEOD=③//08,0D=0B,

：./\E0D^/\F0B(ASA),

：.OE=OF.

由題意，過平行四邊形一條對角線的兩端點作兩條平行線，這兩條平行線截另一對角線所得的線段④被

對角線的交點平分.

【點評】本題主要考查了命題：任何一個命題非真即假.要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論

證.也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì).

19.(2025?石家莊模擬)如圖1筒車是我國古代利用水利驅(qū)動的灌溉工具，筒車上均勻分布著若干個盛水

筒.如圖2,筒車。。按逆時針方向轉(zhuǎn)動，與水面分別交于A、B,且43=4百小，筒車的軸心。距離

水面的高度OC長為2〃z.

圖1圖2

(1)求筒車。。的半徑；

(2)盛水桶尸從剛浮出水面繞到離水面最高點時，求它走過的路徑長.

【考點】軌跡；垂徑定理的應(yīng)用.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）連接04根據(jù)勾股定理即可解決問題；

（2）利用銳角三角函數(shù)求出NC04=6O°,再根據(jù)弧長公式即可解決問題.

【解答】解：（1）如圖，連接

圖1圖2

'：AB=4V3,0C1AB,

：.AC=2V3,

在RtZ\AC。中，0C=2,AO^^O^+AC2,

：.A0=J22+（2百/=4,

答：筒車。。的半徑為4%；

（2）由（1）可得tan/COa=近=遮，

：.ZCOA=60°,

盛水桶尸從剛浮出水面繞到離水面最高點時，它走過的路徑長為人。一,、兀X4=-Ttm.

1803

【點評】本題考查軌跡，垂徑定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理.

20.（2025春?運城月考）教材呈現(xiàn)：如圖是人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第50頁的部分內(nèi)容.

我們知道，角的平分線上的點到“按照叫證明命題、

角的兩邊的距離相等，到角的兩邊的

的步驟自己證一

距離相等的點是否在角的平分線上呢？

證這個結(jié)論。

利用三角形全等，可以得到角的內(nèi)部

到角的兩邊的距離相等的點在角的平

圖①圖②

(1)定理證明：請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“角平分線的判定定理”完整的證明過程.

已知：尸爪LOA,PELOB,垂足分別是分、E,且求證：0C平分/AOB(或者0C是

NA08的平分線)證明過程：

(2)定理應(yīng)用：如圖②，ZB=ZC=90°,E是BC的中點，平分NAOC.求證：AE是/。AB的

平分線.

【考點】命題與定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】(1)詳見解析；

(2)詳見解析.

【分析】(1)根據(jù)題干找出已知條件和結(jié)論，再結(jié)合圖片用符號語言描述，并證明即可；

(2)運用角平分線的性質(zhì)和判定證明即可.

【解答】(1)解:已知：PDLOA,PELOB,垂足分別是。、E,且

求證：OC平分/AO8(或者OC是N40B的平分線)，

證明過程：

'：PD±OA,PELOB.

：.ZPDO=ZPEO,

在RtAPDO和RtAPEO中，

(OP=OP(公共詡,

tPD=PE

:.RtAPDO咨RtAPEO(HL).

:./DOP=NEOP,

：.OC^ZAOB的平分線.

故答案為：PD±OA,PELOB,垂足分別是。、E,且尸￡)=PE；0c平分NAOB(或者0c是NA03

的平分線).

(2)證明：如圖，過點E作跖_LAD于R

平分NA0C,ZC=90°,

：?EC=EF,

???E是5C的中點，

???EB=EC,

：.EF=BE,

又???/B=90°,

：.EBLAB,

'：EFLAD,

???AE是ND48的平分線.

【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)和判定，掌握這兩個定理是解題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.有理數(shù)的乘法

(1)有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.

(2)任何數(shù)同零相乘，都得0.

(3)多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇

數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正.②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,積就為0.

(4)方法指引：

①運用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘.

②多個因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號當(dāng)先，這樣做使運算既準(zhǔn)確又簡單.

2.平方根

(1)定義：如果一個數(shù)的平方等于。，這個數(shù)就叫做。的平方根，也叫做。的二次方根.

一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根.

(2)求一個數(shù)。的平方根的運算，叫做開平方.

一個正數(shù)。的正的平方根表示為“6”，負(fù)的平方根表示為“-聲”.

正數(shù)a的正的平方根，叫做。的算術(shù)平方根，記作份.零的算術(shù)平方根仍舊是零.

平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；。的平方根是0