二次函數(shù)壓軸之角度問(wèn)題 歸納練-2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)

二次函數(shù)壓軸之角度問(wèn)題歸納練-2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)備考

1.如圖，拋物線y=m/+(4+3)尤_(6根+9)與無(wú)軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,已知8(3,0).

(1)求機(jī)的值和直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)P為拋物線上一點(diǎn)，若SNBCMSAABC，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)。為拋物線上一點(diǎn)，若NACQ=45。，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

2.如圖，已知二次函數(shù)》=--+法+。的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(T,0),3(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，求△BCD的面積；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使=若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.如圖1,拋物線y=ax2_4Qx+0交1軸正半軸于A,B兩點(diǎn),交y軸正半軸于C,且。8=0。=3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)G在直線8c上，若空=好，直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo);

GD2

(3)將拋物線向上平移加個(gè)單位，交BC于點(diǎn)M,N(如圖2),若NMON=45。，求機(jī)的值.

4.如圖①拋物線y=ax2+bx+4(存0)與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A(-1,0),B(4,0),點(diǎn)C三點(diǎn).

(2)點(diǎn)。(3,加)在第一象限的拋物線上，連接8C,8D試問(wèn)，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,

滿足NPBC=/DBC?如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)M在拋物線上，當(dāng)以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直

接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).

5.如圖，己知直線AB：，=履+24+4與拋物線〉=；/交于人、B兩點(diǎn)，

(1)直線AB總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)C,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C坐標(biāo)；

(2)當(dāng)上=-工時(shí)，在直線AB下方的拋物線上求點(diǎn)P,使AABP的面積等于5；

2

(3)若在拋物線上存在定點(diǎn)D使/ADB=90。，求點(diǎn)D到直線AB的最大距離.

6.如圖，己知二次函數(shù)y=a？+2x+c的圖象與x軸交于A3兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),

點(diǎn)”為拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)E為A3中點(diǎn).

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)若在直線3C上方的拋物線上存在點(diǎn)Q,使得=求點(diǎn)。的坐標(biāo).

7.如圖，拋物線、=62+法+3(°工0)與x軸分別交于點(diǎn)A(-1,O),8(3,0),與〉軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)。(2,㈤在第一象限的拋物線上，連接2C,試問(wèn)，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線是否存在一點(diǎn)P,滿足

NPBC=NDBC?如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)明理由；

m2n

(3)存在正實(shí)數(shù)"？，?(加<"),當(dāng)mVxV”時(shí)，恰好滿足----<—-<-求"?，〃的值.

m+3y+2n+3

Q

8.如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形0nBe是平行四邊形，經(jīng)過(guò)A(-2,0),B,C三點(diǎn)的拋物線>="2+區(qū)+§

(a<0)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為。，其頂點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E.

(1)求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

3

(2)已知R是拋物線上的點(diǎn)，使得AAOR的面積是平行四邊形OABC的面積的了，求點(diǎn)R的坐標(biāo)；

4

(3)已知尸是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，滿足在直線上存在唯一的點(diǎn)。，使得NPQE=45。，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

備用圖

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、=取2+法+。(。*0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(3,6),與y軸交于點(diǎn)B(0,3),

圖①圖②

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①所示，直線AB交拋物線于點(diǎn)E,連接BC、CE,求△BCE的面積；

(3)如圖②所示，在對(duì)稱(chēng)軸AC的右側(cè)作NACD=30。交拋物線于點(diǎn)D,求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；并探究：在，軸上

是否存在點(diǎn)Q,使NCQD=60。？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-6)的拋物線y=1x?+bx+c與x軸相交于B(-2,0),C兩點(diǎn).

(1)求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)將(1)中求得的拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線yi,若

新拋物線yi的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；

(3)設(shè)點(diǎn)M在y軸上，ZOMB+ZOAB=ZACB,直接寫(xiě)出AM的長(zhǎng).

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

11.已知拋物線過(guò)點(diǎn)A(-4,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(-2,-1).

(1)求這個(gè)拋物線的解析式.

(2)點(diǎn)B在拋物線上，且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1,點(diǎn)P在x軸上方拋物線上一點(diǎn)，且/PAB=45。，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)點(diǎn)M在x軸下方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線AN交拋物線于點(diǎn)D.連結(jié)MD交兩坐標(biāo)

軸于E、F點(diǎn).求證：OE=OF.

12.拋物線)=說(shuō)2+反一3。經(jīng)過(guò)人(-1,。)、C(0,-3)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)已知點(diǎn)D(m,-m-l)在第四象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)D，的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，連結(jié)BD,問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使/PCB=/CBD,若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.如圖，拋物線y=&_6x+c交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.直線y=-％+5經(jīng)過(guò)點(diǎn)氏C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸/與直線相交于點(diǎn)尸，連接ACAP,判定的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)在直線上是否存在點(diǎn)使AAf與直線的夾角等于NACB的2倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.如圖1,已知：拋物線＞=加+法+,過(guò)點(diǎn)(1,0)、(4,3)、(5,8),交x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)、B(C在B左邊)，交V軸

于點(diǎn)A.

(1)求拋物線的解析式；

(2)。為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，ZABD=ZCAB+ZABC,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,/:y=履-3左+7(左NO)交拋物線于兩點(diǎn)(M,N不與C,B重合)，直線/C,NC分別交y軸于

點(diǎn)/，點(diǎn)J,試求此時(shí)O/.Q/是否為定值？如果是，請(qǐng)求出它的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線、=爐+/+以。＜0)的頂點(diǎn)為A,且與y軸的交點(diǎn)為B,

過(guò)點(diǎn)B作3C〃x軸交拋物線于點(diǎn)C(-4,-4),在CB延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D,使=連接OC,OD,AC和AD.

(1)求拋物線的解析式；

(2)試判斷四邊形ADOC的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得/POC=45。.若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

《二次函數(shù)壓軸之角度問(wèn)題歸納練-2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)備考》參考答案

【分析】（1）求出A,B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法計(jì)算即可；

（2）做點(diǎn)A關(guān)于8C的平行線44，聯(lián)立直線A《與拋物線的表達(dá)式可求出片的坐標(biāo)，設(shè)出

直線4片與y軸的交點(diǎn)為G,將直線8c向下平移,平移的距離為GC的長(zhǎng)度，可得到直線乙鳥(niǎo)，

聯(lián)立方程組即可求出P；

（3）取點(diǎn)Q,連接C0,過(guò)點(diǎn)A作AOLC。于點(diǎn)￡>,過(guò)點(diǎn)。作分軸于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)C作

CELDF于點(diǎn)E,得直線C。對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為y=即可求出結(jié)果；

【詳解】（1）將3（3,0）代入、=如2+（/+3卜一（6機(jī)+9）,

化簡(jiǎn)得加2+帆=0,則根=0（舍）或加=—1,

m=—l,

得：^=-x2+4x-3,則C（0,-3）.

設(shè)直線5C對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,

將見(jiàn)3,0）、。（0,-3）代入可得_3=6，解得k=l，

則直線8C對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3.

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作A片〃2C,設(shè)直線4片與y軸的交點(diǎn)為G,將直線BC向下平移GC個(gè)

單位，得到直線鳥(niǎo)鳥(niǎo)，

答案第1頁(yè)，共34頁(yè)

由(1)得直線BC的解析式為y=x-3,A(1,O),

直線AG的表達(dá)式為y=xT,

y=x—1

聯(lián)立

y=-X2+4X-3

Ijy—1

解得：(舍)，或

[y=on

4(2,1),

由直線AG的表達(dá)式可得G(-1,O)，

：.GC=2,CH=2,

直線P3P2的表達(dá)式為>=尤-5,

(3)如圖，取點(diǎn)。，連接C0,過(guò)點(diǎn)A作AOLCQ于點(diǎn)D,

過(guò)點(diǎn)。作，x軸于點(diǎn)/，過(guò)點(diǎn)C作CE_L。尸于點(diǎn)E,

：.AD=CD,

答案第2頁(yè)，共34頁(yè)

又丁ZA￡)C=90°,

???ZADF+Z.CDE=90°,

NCDE+NDCE=90。,

：.ZDCE=ZADFf

又ZE=ZAFD=90°f

：.ACDE^ADAF,則AF=D石，CE=DF.

^DE=AF=a,

VOA=lfOF=CE,

CE=DF=a+1.

由OC=3,貝!］。尸=3—a,即a+l=3—a,解之得，a=l.

所以。(2,—2),又C(0,-3),

可得直線CD對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為y=；x-3,

設(shè)根?加一3),代入y=-x'4x-3,

1217

得一"2-3=-〃?-+4根-3,—m--m-2+4m,m2——m=0,

222

又wiwO,則加=g.所以

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵.

2

2.(1)y=-x+2x+3；(2)3；(3)存在，Pi(2,3),P?(4,-5)

【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法將4(-L0),3(3,0)代入kTZ+桁+C,即可求解；

(2)先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，運(yùn)用配方法將拋物線

解析式化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)。作軸交直線3c于點(diǎn)E,求得DE,利

用SBCD=SBDE+SCDE,即可求得答案；

(3)先求出點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再根據(jù)

互相平行的兩直線的關(guān)系求出與BC平行的直線A6的解析式，聯(lián)立拋物線解析式即可求解.

【詳解】解：(1)；二次函數(shù)，=一/+6尤+。的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),

J-l—6+c=0

1-9+36+c=0

答案第3頁(yè)，共34頁(yè)

解得:

，拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3；

(2)在y=-x?+2x+3中，令x=0時(shí)，得：y=3,

：.C(0,3),

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,

,:B(3,0),C(0,3),

\3m+n=0

解得:

直線BC的解析式為y=-X+3,

y=-Y+2x+3=-(x-1)2+4,

：.D(1,4),

過(guò)點(diǎn)。作DELx軸交直線3c于點(diǎn)E,

：.E(1,2),

，DE=4—2=2,

(3)拋物線上存在點(diǎn)P,使4MB=ZABC,

①當(dāng)點(diǎn)尸是拋物線上與點(diǎn)C對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)時(shí)，則有ZR4B=ZABC,

:點(diǎn)C(0,3)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),

4(2,3),

答案第4頁(yè)，共34頁(yè)

②當(dāng)直線尸A〃3C時(shí)，則有"4B=ZABC,

V直線BC的解析式為y=-X+3,

/.直線AP的解析式中一次項(xiàng)系數(shù)為-1,

設(shè)與平行的直線A鳥(niǎo)的解析式為y=-x+〃z,

將A(-1,0)代入，得：1+〃/=0,

解得：m=—l,

...直線AP2的解析式為產(chǎn)-X-1,

y=-x-l

聯(lián)立拋物線解析式得:

y——%2+2x+3

解得:(舍去),

￡(4,-5).

綜上所述，Pi(2,3),尸2(4,-5).

V2

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，配方

法，三角形面積，互相平行的兩直線的關(guān)系等，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，利用待定系

數(shù)法求函數(shù)解析式等相關(guān)知識(shí)，靈活運(yùn)用方程思想和分類(lèi)討論思想是解題關(guān)鍵.

2

3.(1)y=x-4x+3；(2)&(2,1),G,(16,-13)；(3)

【詳解】試題分析：(1)把8(3,0),C(0,3),代入、=辦2一4辦+6,解方程組即可.

⑵直線8C:y=-x+3,設(shè)點(diǎn)G(租,-m+3),根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，列出式子，求出機(jī)的值.

(3)如圖2中，將40cM繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△08G.首先證明MN2:CM^BN2,設(shè)

答案第5頁(yè)，共34頁(yè)

x),N(x[,%)，則肱y2=[五(々—石)]2=2@+%)2—4中力設(shè)平移后的拋物線的

cy=-x+3

解析式為y=x—4x+3+科由｛,_入2_4工+3+加消去>得至3%+m=0,由

玉+工2=3

=m

.,推出必=兀2，%=不"、N關(guān)于直線丁二%對(duì)稱(chēng)，所以CM=5N,設(shè)

%+M=3一一

入2+%=3?

CM=BN=a,貝!jMN=30-2a,利用勾股定理求出。以及MN的長(zhǎng)，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系,

列出方程即可解決問(wèn)題.

試題解析：(1)：。5=。。=3,

B(3,0),C(0,3),代入y=ox?-4ox+b,

Z?=3a=l

得J-⑵+6=。，解得屋,

拋物線的解析式為y=x2-4x+3.

(2)直線BC：y=-x+3,設(shè)點(diǎn)G(m,-機(jī)+3),

頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為：(2,-1),

OGy/5

而一了，

/.4OG2=5GD2,

/.4^m2+(m-3)2]=5[(m-2)2+(m-4)2

;,取=2,叫=16.

?.5(2,1)6(16,-13).

(3)如圖2中，將40cM繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△OBG.

答案第6頁(yè)，共34頁(yè)

ZMON=45°,

：.ZMOC+ZNOB=ZNOB+ZBOG=45°,

：.ZMON=ZGON=45°,'/ON=ON,OM=OG,

???△ONM之△ONG,

:?MN=NG,

ZNBG=ZNBO+ZOBG=45°+45°=90°,

:.NgBN^+BG2,

設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=N_4x+3+M,M（xi,yi）,N（歷，”）,

2

則MN=［逝（々-石）］2=2［&+%）2-4^2］,

設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=/一4x+3+m,

y=一無(wú)+3

由{,2,°消去y得至|］一一3》+加=0,

y=x'-4x+3+m,

尤1+%=3

XjX2=m、

■?{c，推出%=%，

尤1+%=3

x2+y2=3.

M、N關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，所以CM=3N,設(shè)CM=BN=a,則MN=3后-2a,

(3A/2—2a)2=ai+a~,；.a=3A/5-3(負(fù)根已經(jīng)舍棄)，

:.MN=6-3叵

(6-3>/2)2=2(32-4m),

77J=|(A/2-1).

3195391139521

4.⑴y=-N+3x+4；(2)存在.尸(——，一).⑶卬——，——)M式一,——))

416242424

【分析】(1)將A,B,C三點(diǎn)代入y=ax?+bx+4求出a,b,c值，即可確定表達(dá)式；

(2)在y軸上取點(diǎn)G,使CG=CD=3,構(gòu)建△DCBgZiGCB,求直線BG的解析式，再求

直線BG與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)即為P點(diǎn)，

(3)根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，利用平移的性質(zhì)列出方程求解，分情況討論.

【詳解】解:如圖：

(1):拋物線y=ax?+bx+4(a#0)與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A(-1,0),B(4,0),點(diǎn)C

答案第7頁(yè)，共34頁(yè)

三點(diǎn).

，拋物線的解析式為y=-x2+3x+4.

(2)存在.理由如下：

325

y=-x2+3x+4=-(x----)2+—.

,24

??,點(diǎn)D(3,m)在第一象限的拋物線上，

???m=4,AD(3,4),VC(0,4)

VOC=OB,.*.ZOBC=ZOCB=45°.

連接CD,???CD〃x軸，

.\ZDCB=ZOBC=45°,

???NDCB=NOCB,

在y軸上取點(diǎn)G,使CG=CD=3,

再延長(zhǎng)BG交拋物線于點(diǎn)P,在^DCB和^GCB中，CB=CB,NDCB=NOCB,CG=CD,

.?.△DCB^AGCB(SAS)

???NDBC=NGBC.

設(shè)直線BP解析式為yBP=kx+b(k/)),把G(0,1),B(4,0)代入，得

k=-J,b=l,

?'?BP解析式為yBP=-：x+l.

yBP=-(x+1,y=-x2+3x+4

當(dāng)y=yBP時(shí)，-；x+l=-x2+3x+4,

答案第8頁(yè)，共34頁(yè)

3

解得XL*X2=4（舍去），

5391139521

(3)Mj(--,—)M2(―,-■—)Ml,,1)理由如下，如圖

3

B(4,0),C(0,4),拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線光=萬(wàn)，

3

設(shè)N(Q,n),M(m,-m2+3m+4)

第一種情況：當(dāng)MN與BC為對(duì)邊關(guān)系時(shí)，MN〃BC,MN=BC,

35

4--=0-m，/.m=—

22

39

-m2+3m+4=：-----,

4

.八乙539.

3

或0--=4-m,

2

.11

..m=一

2

39

-m2+3m+4=-----

4

第二種情況：當(dāng)MN與BC為對(duì)角線關(guān)系，MN與BC交點(diǎn)為K,則K（2,2）,

3

.—+m

,,2_=2

2

,5

??m=一

2

21

...-m2+3m+4=T

…，521

..M3(-,—)

綜上所述，當(dāng)以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為

53939、“，521

陷(-]，-])M27千（2彳）

答案第9頁(yè)，共34頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與圖形的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題,

平行四邊形的性質(zhì)，方程思想及分類(lèi)討論思想是解答此題的關(guān)鍵.

5.(1)(-2,4)；(2)(-2,2)或(1,1)；(3)2君.

【詳解】試題分析：(1)要求定點(diǎn)的坐標(biāo)，只需尋找一個(gè)合適x,使得y的值與k無(wú)關(guān)即可.

(2)只需聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，就可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo).設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a,運(yùn)用

割補(bǔ)法用a的代數(shù)式表示△APB的面積，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a的方程,從而求出a的值，

進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)設(shè)點(diǎn)A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t,從條件/ADB=90。出發(fā)，可構(gòu)造k型相似,

從而得到m、n、t的等量關(guān)系，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系就可以求出t,從而求出點(diǎn)D的坐

標(biāo).由于直線AB上有一個(gè)定點(diǎn)C,容易得到DC長(zhǎng)就是點(diǎn)D到AB的最大距離，只需構(gòu)建

直角三角形，利用勾股定理即可解決問(wèn)題.

試題解析：(1)?.,當(dāng)x=-2時(shí)，y=(—2)左+2k+4=4,

直線AB：y=kx+2k+4必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-2,4).

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,4).

(2)k=—,

2

直線AB的解析式為,=-?+3.

答案第10頁(yè)，共34頁(yè)

y=——x+3x=-3c

JDx=2

聯(lián)立｛/,解得：｛9或｛

12y=—y=2

y=y2

9一

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3,不），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,2）.

2

如答圖1,過(guò)點(diǎn)P作PQ〃y軸，交AB于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)A作AMLPQ,垂足為M,過(guò)點(diǎn)B作

BNXPQ,垂足為N.

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a,則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為a.

aa

??yP=~?yQ=--+3.

?,點(diǎn)P在直線AB下方，.**PQ="=~~a+^~~a2?

*,*AA/+NB—a—（—3）+2-a=5,

2

S&APB=S^PQ+S^PQ=^PQ-AM+^PQ-BN=^PQ-（AM+BN）=^-^a+3-^a\5=5,

2a

整理得：tz+4Z-2=0，解得：i=-2,a2=1.

i7

當(dāng)a=—2時(shí)，yp=-\-2）=1.此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2,2）.

2

當(dāng)a=l時(shí)，yP=1l=|.此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,1）.

符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2,2）或（1,1）.

圖1

(3)如答圖2,過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線EF,作AEXEF,垂足為E,作BF±EF,垂足為F.

答案第11頁(yè)，共34頁(yè)

圖2

VAEXEF,BF±EF,AZAED=ZBFD=90°.

ZADB=90°,JZADE=90°-ZBDF=ZDBF.

AEED

VZAED=ZBFD,ZADE=ZDBF,AAAED^ADFB.——=——.

DFFB

設(shè)點(diǎn)A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n>t,

則點(diǎn)A、B、D的縱坐標(biāo)分別為g根，

11

22=12一12

AE=yA~yE=2m3，BF=%-yF_n~t,ED—Xjy-—t-m.DF=xF-xDn-t

—-----------=-；--------：-,化簡(jiǎn)得：mn-￥(m^-n)t+t2+4=0.

22

:點(diǎn)A、B是直線AB：y=^+2左+4與拋物線交點(diǎn)，

...in、n是方程fcr+2左+4=即--2履一4左一8=0兩本艮.m+n=2k,mn=Tk-8.

/,-4^-8+2fo+?+4=0,BPt2+2kt-4k-4=0,即?—2)?+2%+2)=0.

At1=2,t2=-2k-2(舍).

，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).

如答圖3,過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線DG,

過(guò)點(diǎn)C作CGLDG,垂足為G,

:點(diǎn)C(-2,4),點(diǎn)D(2,2),，CG=4-2=2,DG=2-(-2)=4.

VCGXDG,DC=VGC2+DG2=A/22+42=720=275.

過(guò)點(diǎn)D作DHLAB,垂足為H,如答圖3所示，

答案第12頁(yè)，共34頁(yè)

圖3

.-.DH<DC.：.DH<2y/5.

：.當(dāng)DH與DC重合即DCJ_AB時(shí)，

點(diǎn)D到直線AB的距離最大，最大值為26.

?1?點(diǎn)D到直線AB的最大距離為2小.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.因式分解法解一元二次方程；3.根與系數(shù)的關(guān)系；4.勾股定理;

5.相似三角形的判定和性質(zhì)；6.分類(lèi)思想的應(yīng)用.

6.（l）y=-x2+2x+3

⑵。。，4）

【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；

（2）求出點(diǎn)B坐標(biāo)，可得△Q8C是等腰直角三角形，即得NA8C=NOCB=45。，得到

NQCB=90。，過(guò)點(diǎn)C作CQL3C交拋物線于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)。作QGIy軸于點(diǎn)G,可得

NGCQ=45。,得到一GCQ是等腰直角三角形，即得CG=QG,設(shè)Q（q,-/+24+3）,則

G（0,-+2q+3）,pj-CG=—q2+2^+3—3=—q1+2q,GQ=q,進(jìn)而得至!J-/+2q=q,

解方程即可求解；

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和

性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解:把A（-1,0）、C（0,3）代入產(chǎn)辦2+2x+c得，

fu-2+c=0

[c=3

\a=-1

解得.,

[c=3

二次函數(shù)的解析式為>=--+2工+3；

答案第13頁(yè)，共34頁(yè)

(2)解：當(dāng)y=0時(shí)，一/+2%+3=0,

解得再二一1,9=3,

???5(3,0),

：.OB=OC=3,

???△O3C是等腰直角三角形，

???ZABC=ZOCB=45°,

,.?NQCB=2ZABC,

.??ZQCB=90°,

如圖，過(guò)點(diǎn)C作交拋物線于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作QGIy軸于點(diǎn)G,則

ZQCB=ZQGC=90°,

：.NGCQ=180°-ZQCB-ZOCB=180?！?0°-45°=45°,

???.GCQ是等腰直角三角形，

:.CG=QG,

設(shè)以4，-/+24+3),貝UG(0,-/+2q+3),

CG——q2+2q+3—3——/+2q,GQ=q,

??一q2+2q—q,

解得4=0(不合，舍去)或4=1,

.,.(2(1,4).

7.(1)y=-x2+2x+3；(2)存在,尸；(3)m=6,n=2

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法解答即可；

(2)由OC=OB可得NO3c=NOCB=45。，連接CD,如圖，則易得CD//x軸，進(jìn)一步即

得/DCB=NOCB,在了軸上取點(diǎn)G,使CG=CD,并延長(zhǎng)BG交拋物線于點(diǎn)尸，然后根據(jù)

答案第14頁(yè)，共34頁(yè)

三角形全等即可證明求出直線8尸解析式后與拋物線解析式聯(lián)立即可求出

P點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)由已知可變形得由yV4可得9V4,于是可得相的范圍，進(jìn)而可確定

nmm

\<m<n,從而可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)x〃時(shí)，y-nr+2m+3,當(dāng)x=〃時(shí)，y

2

g^=-n+2n+3,于是可得關(guān)于相、w的方程，解方程并結(jié)合題意即得加、”的值.

【詳解】解：⑴把點(diǎn)解TO),8(3,0)代入拋物線y=af+法+3(awO),

a—Z?+3=0[〃=—1

得:9a+3b+3=0'解得]b=2

二.拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

(2)存在，理由如下：

：y=-丁+2x+3=-(X-1)?+4,點(diǎn)D(2,加)在第一象限的拋物線上,

m=3,。(2,3),

?/C(0,3),

???OC=OB,

：.ZOBC=Z.OCB=45°,

連接CD,如圖，則CD//X軸，

：.ZDCB=ZOBC=45°,

:./DCB=/OCB,

在＞軸上取點(diǎn)G,使CG=CD=2,并延長(zhǎng)5G交拋物線于點(diǎn)尸,

則ADCB之AGC網(wǎng)&IS),

：./DBC=/GBC,

答案第15頁(yè)，共34頁(yè)

\b=l1

設(shè)直線融解析式為：尸把GQ1）,陽(yáng),。）代入得：次+83解得：k.，b八,

直線“解析式為y=—;x+1,

2

x=3

…?(舍去)'

11

Ji=-z-

(3)由、=-爐+2*+3=-(1)2+4可得：y<4,

,,,,m,2n

*.*0<m<n,當(dāng)根KxK〃時(shí)，恰A好---------------

m+3y+2〃+3

.n+3y+2m+3日口66

n2mnm

/.—<4,即m2』>1,

m2

l<m<n,

:拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=l,且開(kāi)口向下，

...當(dāng)wiVxw”時(shí)，y隨x的增大而減小，

??當(dāng)》一”時(shí),y最大值=-tn"+2m+3,當(dāng)x—n日寸,y最小值=—〃~+2〃+3?

—=-n2+2〃+3①

n

—=-m2+2m+3(2)

m

將①整理，得/_2"一3〃+6=0,變形得：n2(H-2)-3(n-2)=0,即(〃-2)(儲(chǔ)一3)=0.

*.*n>1,n-2=0,〃2一3二0,

解得：&=2,=—A/3（舍去），%=6,

同理，由②解得：叫=2（舍去），網(wǎng)=-石（舍去），g=g；

綜上所述，m=6,n=2.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性

質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)、難度較大，屬于試

卷壓軸題，其中在,軸上取點(diǎn)G,使CG=CD,構(gòu)造三角形全等是解第（2）小題的關(guān)鍵，

熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、靈活應(yīng)用分解因式法解方程是解第（3）小題的關(guān)鍵.

答案第16頁(yè)，共34頁(yè)

8.(1)y=--x12+3—x+—；(2)(1+^/^,7)或非,彳)或--)或(1

333333

-屈,--)；(3)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,-)或(1,3)或(1,-3).

32

b

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及點(diǎn)A坐標(biāo)可得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線41,可得-白

2a

Q

=1,把點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線不等式可得0=4°-26+1，解方程組求出“、b的值即可得答

案；

(2)根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)軸方程及點(diǎn)A坐標(biāo)可得點(diǎn)。坐標(biāo)，根據(jù)△ADR的面積是平行四邊形

OABC的面積的彳可得出點(diǎn)R的縱坐標(biāo),代入拋物線解析式可求出點(diǎn)R橫坐標(biāo),即可得答案；

(3)作APEQ的外接圓R,根據(jù)圓周角定理可得/PRE=90。，可得△PRE為等腰直角三角

形，由在直線上存在唯一的點(diǎn)。，使得/PQE=45?？傻?。R與直線ATO相切，可得

根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸可得點(diǎn)M坐標(biāo)，即可得出DE、DE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求出OW

的長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)P(l,2機(jī))，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得尸”=HE=HR=機(jī)，即可得出R

(1+m,m),利用以知磯)=必加氏。+54加7法+$1)理可求出山的值，即可得點(diǎn)尸坐標(biāo)；根

據(jù)。E=ME可得/MOE=45。，可得點(diǎn)/符合題意，過(guò)點(diǎn)。作。fUDM交對(duì)稱(chēng)軸于憶可得

ZFDE=45°,可得點(diǎn)/符合題意，根據(jù)即可求出點(diǎn)尸坐標(biāo)，綜上即可得答案.

【詳解】(1)VA(-2,0),四邊形。42c是平行四邊形，

：.BC//OA,BC=OA=2,

:拋物線與y軸交于點(diǎn)8,

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線無(wú)=手=1,則尤=-3=1①，

22a

O

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0=4a-2b+-?,

------1

聯(lián)立①②得2a,

4a-2/?+-=0

I3

1

a=—

解得；3，

b=-

[3

19Q

2

...拋物線的表達(dá)式為：尸-jx+jx+|;

(2)VA(-2,0),拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,

點(diǎn)。(4,0)；

答案第17頁(yè)，共34頁(yè)

,3

???AADR的面積是口O48C的面積的了，

4

**?—xADx|yR|=—xOA^OB則—x6x|yR|=-x2x—,

24243

,,4

解得：yR=±~,

41284

當(dāng)產(chǎn)1時(shí)，一§必+—%+—=—

333

解得：%=i+E%2=1-,

或及石，

**?Ri(1+^5,~)(1—1),

41284

當(dāng)產(chǎn)-彳時(shí)，一1/+—%+—=——,

333

解得：XJ=1+A/13,X2=l-\/13,

***R3（1+A/T3,—耳）或Rz（l—y/13,~~）

綜上所述：點(diǎn)R的坐標(biāo)為（1+百，§）或（1-百，§）或（,-§）或（1-,

3

（3）作4PEQ的外接圓R,過(guò)點(diǎn)R作RH±ME于點(diǎn)H,

'：ZPQE=45°,

:.NPRE=90。,

,:RP=RE,

...△PRE為等腰直角三角形，

:直線上存在唯一的點(diǎn)Q,

：.。氏與直線相切，

：.RQ±MD,

???拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線下1,

19R

當(dāng)兀=1時(shí)y=--+-+-=3,

333

???點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,3),

9：D(4,0),

???ME=3,ED=4-1=3,

MD=SJDE2+ME2=372，

答案第18頁(yè)，共34頁(yè)

設(shè)點(diǎn)尸（1,2m）,則PH=HE=HR=m,則圓R的半徑為近機(jī)，則點(diǎn)R（1+m,m）,

?/SAMED=SAMRD+SAMRE+SADRE,即4xME,ED=1xMDxRQ+；x￡￡）.yR+1xME'RH,

；X3X3=；X3&X07〃+Jx4x7"+；x3xm,

3

解得in=-,

4

ZMDE=45°,

點(diǎn)P與點(diǎn)/重合時(shí)，符合題意，即P（l,3）,

過(guò)點(diǎn)。作。fUMZ）,交對(duì)稱(chēng)軸于凡則/EDE=45。，符合題意,

：.EF=DE=3,

點(diǎn)尸坐標(biāo)為（1,-3）,

；?點(diǎn)P坐標(biāo)為（1,-3）,

一3

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,彳）或（1,3）或（1,-3）.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的

答案第19頁(yè)，共34頁(yè)

性質(zhì)并靈活運(yùn)用分類(lèi)討論的思想是解題關(guān)鍵.

9.(1)y=/+2X+3；(2)27；(3)D點(diǎn)坐標(biāo)為。(3+3班,一3),存在，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(0,

3若)或(0,-3百)

【分析】(1)通過(guò)設(shè)頂點(diǎn)式，再用待定系數(shù)法求解即可；

(2)先求出AB的解析式，進(jìn)而求出E的坐標(biāo)，從而利用割補(bǔ)法計(jì)算面積即可；

(3)作DG垂直于對(duì)稱(chēng)軸，在HCDG中求解即可得到D的坐標(biāo)，此時(shí)以A為圓心，AC

為半徑作圓弧，與y軸交于點(diǎn)Q,則滿足NCQD=60。，從而在M-AQO中計(jì)算即可得到結(jié)

果.

【詳解】(1):拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(3,6),

/.設(shè)拋物線解析式為y=a(x-3>+6,

將B(0,3)代入可得。=-；,

/.^=-1(x-3)2+6,gpy=-1x2+2x+3.

(2)設(shè)直線AB：y=kx+3,

將A(3,0)代入上式并解得k=-l,

直線AB：y=-尤+3.

y=-x+3、y=——f+2x+3,彳導(dǎo)——%2+2x+3=—x+3,

解得X=0,9=9,

AE(9,-6),

,6x36x(9-3)

?,^\BCE=+S/=27.

'AACE=-22

(3)設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為9-卜2+21+3),

過(guò)D作對(duì)稱(chēng)軸的垂線，垂足為G,

答案第20頁(yè)，共34頁(yè)

圖②

貝ijDG=t-3,CG=6—（-；f2+2r+3）=g』-2f+3,

ZACD=30。，；.2DG=DC,

在RtACGD中，CG=QDG,

V3a-3）=1z2-2r+3,

.?/=3+36或t=3（舍）

；.D（3+3若，-3）,

；.AG=3,GD=35

連接AD,在RtAADG中，

AD=y/AG2+GD2=6,

；.AD=AC=6,ZCAD=120°,

在以A為圓心、AC為半徑的圓與y軸的交點(diǎn)為Q點(diǎn),

此時(shí)，ZCQD=|ZCAD=6O°,

設(shè)Q（0,m）,AQ為0A的半徑，

AQ2=QA2+QO2=9+m2,

：.AQ2=AC2,

.,.9+nr=36,

m=或—3A/3，

綜上所述：Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3A/3）或（0,-36）.

答案第21頁(yè)，共34頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，熟練求解函數(shù)解析式并進(jìn)一步求解交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵,

同時(shí)靈活構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.(1)拋物線的解析式：y=1x2-2x-6,頂點(diǎn)D(2,-8)；(2)3<m<8.(3)AM的長(zhǎng)為

4或2.

【詳解】試題分析：(1)該拋物線的解析式中只有