第2章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 章末測試（基礎）解析版

第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式章末測試（基礎）

第I卷（選擇題）

一、單選題（每題5分，8題共40分）

1.（2022?江蘇?高一單元測試）若。力,c為實數(shù)，且。<萬<0,則下列命題正確的是（）

‘OOellbaCD0

A.ac1<be1B.C.—>—D.a2>ab>b1

abab

【答案】D

【解析】對于A,當。=0時，ac2=bc2=0,A錯誤；

對于B,當。=-2,6=-1時，-=-1,7=-1,此時B錯誤；

albab

對于C,因為。<6<0,所以廿<片，ab>0,又..也-巴=匕士<。,C錯誤；

ababab

對于D,Qa<b<0,.\a-b<0,/.a2-ab=a[a-b）>0,ab-b2

>ab>b2,D正確.故選：D.

2.（2022?陜西）“a>6>0”是“q>1”的（）

b

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】由。>6>0,得:>1,反之不成立，如。=-2,b=-l,滿足：>1,但是不滿足。>b>0,

bb

故七>b>0”是畔>1”的充分不必要條件.故選：B

b

13

3.（2022?全國?高一期末）已知a>0*>0,a+b=l,則>=—+；■的最小值是（）

ab

A.7B.2+73C.4D.4+2有

【答案】D

【解析】因為。>0力>。,“+6=1,所以>=,+3=（“+3口+3]=4+?+的24+2）。?的=4+24，

當且僅當2=當即b=可時，等號成立.結合。+人=1可知，當二1,6=三3時一,y有最小值4+26.

ab22

故選：D.

4.（2022?浙江?高三學業(yè)考試）不等式土二<。的解集為（）

x+2

A.{x\x>l}B.{x\x<-2]

C.{x\-2<x<l]D.{x\x>l^x<-2]

【答案】C

【解析】由題意，工<0等價于（xT）（x+2）<0,解得—2<x<l,

所以不等式二<0的解集為{x|-2<x<l}.故選：C.

5.（2022?全國?高三專題練習）已知實數(shù)羽丫滿足-44x-yW-l,-l<4x-y<5,則9x-y的取值范圍是

（）

A.[-7,26]B.[-1,20]

C.[4,15]D.[1,15]

【答案】B

n—m

x=-------

385

[解析]^m=x-y,=4x-y,貝5,則z=9x—y=一九——m,

nn—4m33

y=--------

3

5520884085

——m<——,又?..一1(〃(5,/.一一<-n<——,-l<z=9x-y=-n——m<20,

33333333

故選：B.

6.（2022?浙江?太湖高級中學高二學業(yè)考試）玉溪某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元,

若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為￡天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)

O

準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產(chǎn)產(chǎn)品

A.60件B.80件C.100件D.120件

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，該生產(chǎn)x件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和是800+*弓=800+：￡

OO

這樣平均每件的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和為/口）=竺1￡800x

----+—（X為正整數(shù)）

Xx8

由基本不等式,得"+嬴2序=2°當且僅當空小即時，/⑺取得最小值,

;.x=8O時，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小故選：B

7.（2022?全國?專題練習）若a>0,b>0,且a+6=4,則下列不等式恒成立的是（)

ab2ab

C.y[ab>2D.—z--z-<—

a2+b28

【答案】D

【解析】由a>0,b>0,且。+6=4,可得"4（等）2=4,

當且僅當。=6=2時，等號成立，

對于A中，由所以A錯誤；

ab4

對于B中，-1+11=^a+b=44>1,所以B錯誤；

ababab

對于C中，由QZ?44,可得所以C錯誤；

對于D中，^￡±^1>（￡±^）2=4,所以6+〃22><4=8,

22

所以」vW：,所以D正確.

故選：D.

8.（2022?黑龍江）已知二次方程2爐+狽+3=0的一個根為1,則另一個根為（）

A.-B.士C.2D.4

42

【答案】A

11

【解析】設另一根為無，由韋達定理可知，（21，即天=:，故選：A.

Ixx=—二一4

24

二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）

9.（2022?全國?高三專題練習）已知不等式以2+法+C〉。的解集為卜則下列結論正確的是

（）

A.a>0B.b>0C.c>0D.a+b+c>Q

【答案】BCD

【解析】對A,,??不等式內(nèi)2+法+c>0的解集為

故相應的二次函數(shù)>=62+廄+。的圖象開口向下，

即avO,故A錯誤；

對B,C,由題意知：2和-g是關于x的方程62+如+0=0的兩個根，

c1b13

貝!J有_=2x（——）=-l<0,——=2+（——）=->0,

a2a22

Xa<o,故6>0,c>0,故B,C正確；

c

對D,,/—=-1,:.a+c=O,

a

X*/Z?>0,.,.a+b+c>0,故D正確.故選：BCD.

10.（2022?云南?會澤縣實驗高級中學校高一開學考試）若不等式依2-6x+c>0的解集是則下列選

項正確的是（）

A.a<0B.力<0且c>0

C.a+Z?+c>0D.不等式ax?一5+。<。的解集是R

【答案】AB

【解析】由題意，不等式加-法+c〉0的解集是（T2）,

-1+2=-

可得T，2是方程62一灰+0=0的兩個根，所以"，且a<o,所以A正確；

-1x2=-

.a

又由6=a,c=-2a,所以6<0,c>0,所以B正確；

當x=-l時，止匕時a+b+c=O,所以C不正確；

把6=a,c=—2a代入不等式依？一cx+6<0,可得ax?+2ax+a<0，

因為a<0,所以Y+2x+l>0,即（x+l）2>0,此時不等式的解集為{X|XHT},

所以D不正確.故選：AB.

11.（2022?山東?德州市第一中學）對于實數(shù)a,b,c,下列說法正確的是（）

則,<。

A.若〃〉Z?〉0,B.若a>>，貝1」at?2/c2

ab7

C.若a〉O>b,則ab<a2D.右c>a>b,貝!J

c—ac-b

【答案】ABC

【解析】對于A,丁y=：在（。,+8）上單調(diào)遞減，...當a>/?>0時，—<g，A正確;

對于5,當。=0時，ac2=bc2=0；當cw。時，c2>0,貝lja>匕時，ac2>be2;

綜上所述：若a>b,貝卜02之兒2,3正確；

對于C,若a>O>b,則必vO,a?〉。，ab<a2。正確;

對于。，若c=0,則上-=-1,一]=T，不滿足上>占，。錯誤.故選：ABC.

c-ac-bc—ac—b

12.(2022?江蘇?宿遷中學)下列命題為真命題的是()

A.若a<b,則

B.^-<-<0,則-工

abab

c.若關于x的不等式依2+"+2>0的解集為{尤I-g<x<g},則a+b=-10

D.若a>0力>0,則“a+b48”是“必<16”的必要不充分條件

【答案】BC

【解析】A：〃=一2</?=1時/>。2,錯誤；

B：a---(b--)=(a-b)-(—--)=(a-b)+——-=(tz-/?)(l+-),

abababab

ffi]—<-<0,貝!JZ?<Q<0,i^a-b>Q,ab>Q,

ab

所以°_工_屹一;)>0,即-!，正確；

abab

a<0

b111[a=-12

C：由題設<——=--+T=7，可得<7c，故。+〃=一10,正確；

a326[b=2

2111

[a326

D：當o=2,Z?=8時而a+bW8不成立，必要性不成立，錯誤.故選：BC

第n卷(非選擇題)

三、填空題(每題5分，4題共20分)

3

13.(2022?廣東?深圳外國語學校)若%>-1,則％+\的最小值是___________.

x+1

【答案】273-1

【解析】因為%>-1,所以犬+1>。，所以％H-------=x+l-\-------12^/3—1,

x+1x+1

當且僅當、+l=—7即x=g-1時，取等號成立.故x+5的最小值為2君-1,故答案為：2g-1

x+1x+1

x—2

14.(2022?上海?模擬預測)不等式工―22的解集是_______.

X—1

【答案】[0,1)

【解析】原不等式可化為號-。即告4。，所以『

故OWx<l,所以原不等式的解集為。1).故答案為：［0,1).

15.(2022?四川省內(nèi)江市第六中學高一開學考試)已知關于x的不等式(/-4)/+(°+2)尤-120的解集是空

集，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】”2,|)

【解析】由題意知(標-4卜2+g+2)x-l<0恒成立，當“=-2時，不等式化為-1<0,顯然恒成立；當a?2

a2-4<0

即-2<a］,綜上實數(shù)。的取值范圍是［-2,§,故答案填［一斗.

時，則｛/八2，/2八c

(a+2)+4(a?-4)<0

16.(2022?湖南?益陽市箴言中學高一開學考試)已知關于x的二次方程/+2,加+2加+1=0,若方程有兩根,

其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(L2)內(nèi)，則優(yōu)的取值范圍是.

【答案】(-《，-焉).

0Z

【解析】

設f(x)=x2+2mx+2m+l,問題轉化為拋物線f(x)=x2+2mx+2m+l與x軸的交點分別在

'f(0)=2irH-l<0

、.,f(-1)=2>0“，51

區(qū)間(-1,。)和(1,2)內(nèi)，則1，解得--<m<--,

f(1)=4nH-2<062

f(2)=6/5〉0

故m的范圍是(-4，-A),故答案為(一■!，-1).

6262

四、解答題(17題10分，其余每題12分，6題共70分)

19

17.(2022.湖南?寧鄉(xiāng)市教育研究中心高一期末)正數(shù)x,y滿足一+—=1.

%y

⑴求孫的最小值；

⑵求x+2y的最小值.

【答案】⑴36；(2)19+6夜

1911919

【解析】(1)由1=上+'之2］匕三得知之36,當且僅當一=一,即％=2,y=18時取等號，

故盯的最小值為36.

(2)由題意可得％+2y=(x+2y)(L2=19+幺+把之19+2)生甚=19+6四,

y)%y\y

2vQx

當且僅當上=一，即9/=2;/時取等號，

xy

故》+2丫的最小值為19+60.

18.(2022?全國?高一專題練習)己知關于x的一元二次方程〃4+(2〃工+1卜+加+2=0有兩個不相等的實數(shù)

根巧，巧.

(1)求機的取值范圍；

(2)若可飛=°，求方程的兩個根.

13

【答案】(1)用且加W。；(2)石=。，x2=——.

【解析】(1)??,關于犬的一元二次方程m2+(2m+1)尤+m+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，

1

二?△〉0且機w0,即(2m+1)-4xmx(m+2)>0Mm^0,解得：相<工且機w0.

⑵：關于x的一元二次方程:加+(2〃7+1b+根+2=。有兩個不相等的實數(shù)根毛，々，二國一=%二，

m

?77-L9

???石.%=0,???'三=0,解得：m=-2,經(jīng)檢驗：機=-2是分式方程的解，

m

3

2

.?.當機=_2時，方程為：-2X-3X=0,解得：玉=0,x2=--.

19.(2022?山東濱州.高二期中)已知函數(shù)/(%)=2mx2+4mx+1.

⑴若存在xc[l,3],使得不等式/(x)<0成立，求機的取值范圍；

49

⑵若m>0,/(x)<0的解集為SM,求一+：的最大值.

ab

125

【答案】⑴加4一.(2)~

【解析】(1)原問題等價于％4L3]時，<0,

當機=0時，顯然不成立；

當相>0時，由于/(X)的對稱軸為x=-l,

所以=Al)=6m+lV0,即加4一9,不合題意；

O

當機<0時，由于的對稱軸為x=—l,

所以/。）由=△3）=30m+140,即加（一]

綜上所述，"74-焉；

⑵因為旭>0,/(尤)<0的解集為(a,b),

所以/(x)=。有兩個不同的實根a1,即是方程2爾2+4如+1=0的兩個不同實根,

所以。+6=-2,。6=」一>0,所以同為負數(shù)，

2m

49If49(a+b)=/[113+竺+14b9a254Q

所以一十+<-l13+2.?，當且僅當上二1,即

ab2b2a2ab2aab

7

OIQAQ

"-白,6=-3時等號成立，所以的最大值為一三

1313ab2

20.(2022?重慶?高一期末)從下面所給三個條件中任意選擇一個，補充到下面橫線處，并解答.

條件一、YxwR,42+x)=/(2-x)；

條件二、方程〃x)=0有兩個實數(shù)根冷血,為+巧=4；

條件三、VxeT?,/(x)<f(2).

已知函數(shù)為二次函數(shù)，/(-D=-6,/(0)=-1,.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式;

⑵若不等式f(x)+kxV0對Vxe(0,+與恒成立，求實數(shù)上的取值范圍.

【答案】(1)選擇條件一、二、三均可得/(X)=-X2+4X-1(2)(-CO,-2]

【解析】

(1)選條件一：設/(尤)=。尤2+陵+。(。彳0)因為\/%€氏，〃2+x)=/(2-x),所以“X)的對稱軸為x=2,

/(-l)=a-&+c=-6a=-1

因為/(-1)=一6/(0)=-1,所以/(O)=c=-l解得<b=4,所以/(%)=*+4%-1

c=-l

-A=2

2a

選條件二：設/(X)=Q%2+bx+c(Q。0)

因為方程〃%)=0有兩個實數(shù)根西，龍2，為+4=4,

所以“X)的對稱軸為x=2,

因為/(—D=-6,/(0)=-1,

/(-l)=a-b+c=-6a=-1

所以f(O)=c=-l,解得vb=4,

b「c=-1

----=2

2a

所以/(%)=_彳2+4x—1

選條件三：設f(x)=ax2+bx+c(aw0)

因為VxeR,f(x)<f(2),

所以〃x）的對稱軸為x=2,

因為f(T)=-6,/(0)=-l,

/(-l)=a-&+c=-6fl=-1

所以/(O)=c=-l，解得6=4,

、2a

所以/(x)=_12+4JC—1

(2)\,f(x)+kx<0

feeVf-4x+1對Vxe(0,+oo)恒成立

:.k<x-4*+l=x+,一4對Vxe(0,+co)恒成立

XX

?.?元+122當且僅當x=l時取等號，

/.)t<|x+--4I=-2

IX(n

所求實數(shù)k的取值范圍為(-*-2].

21.(2022?湖南?高一課時練習)解下列一元二次不等式:

⑴2元2_2岳+1>0;

(2)%2+x-l<0;

(3)-3X2+5X-4>0;

(4)(2X-1)2<4；

(5)(x+l)(x+2)v(x+l)(2—x)+l；

(6)(3x+2)(x+2)>4.

【答案】(1)Q)X〈爸★⑶0⑷卜小V

(5)<T；\⑹+<_［或X>0}

【解析】⑴二次方程2/-2岳+1=0有二重根，x,=x2=^~

貝U不等式2——2缶+1>0的解集為〈小片2)

-1-75-1+A/5

⑵二次方程Y+x-1=0有二根,

貝u不等式/+無一1<。的解集為，x二^15<x<—1+>/5

~2~

(3)不等式一3尤2+5元一420可化為3--5x+4<0

由(一5)2-4x3x4=-23<0可知，二次方程3--5x+4=0無根,

則不等式3X2-5X+4<0的解集為0

故不等式-3尤2+5X-4N0的解集為0

(4)不等式(2x-1)?<4可化為4X2-4X-3<0