2025上海中考數(shù)學(xué)一模匯編：解直角三角形的應(yīng)用（學(xué)生版+解析版）

專(zhuān)題07解直角三角形的應(yīng)用（解答題22題）

1.（2025?上海松江?一模）圖1是一款高清視頻設(shè)備.圖2是該設(shè)備放置在水平桌面上的示意圖，54垂直

于水平桌面/,垂足為點(diǎn)A,點(diǎn)C處有一個(gè)攝像頭.經(jīng)測(cè)量，AB=42厘米，8C=30厘米，ZABC=121°.

（1）求攝像頭C到桌面/的距離；

（2）如果攝像頭可拍攝的視角NDCE=37。，且CD=CE,求桌面上可拍攝區(qū)域的寬度（OE的長(zhǎng)）.

（參考數(shù)據(jù)：sin370=0.6，cos37°=0.8,tan37°=0.75.）

2.（2025?上海靜安?一模）舞獅文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，其中高樁舞獅是一項(xiàng)集體育與藝術(shù)于一體的競(jìng)技活動(dòng)，也被

廣泛應(yīng)用于各種慶典活動(dòng)，成為傳承中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要載體（如圖①所示）.在舞獅表演中，梅花樁

AB.CD、EF垂直于地面，且3、D、尸在一直線(xiàn)上（如圖②所示）.如果在樁頂C處測(cè)得樁頂A和樁頂E的

仰角分別為35。和47。，且樁與所樁的高度差為1米，兩樁的距離所為2米.

E

圖-①圖-②

（1）舞獅人從A跳躍到C,隨后再跳躍至E,所成的角NACE=_。；

⑵求樁A3與樁CD的距離BD的長(zhǎng).（結(jié)果精確到0.01米）

3.（2025?浦東新區(qū)一模）上海世博文化公園的雙子山是近期游客的熱門(mén)打卡地.某校實(shí)踐小組利用所學(xué)知

識(shí)測(cè)量雙子山主峰的高度,,并利用課外時(shí)間完成了實(shí)地測(cè)量.下面是兩個(gè)方

案的示意圖及測(cè)量數(shù)據(jù).

方案二：測(cè)量高鷺D,仰角a,仰角0.

測(cè)量項(xiàng)目CDaP

方案一10m12°11.5°

方案二1.3m12°11.7°

任務(wù)一：請(qǐng)選擇其中一種方案，求出雙子山主峰48的高度（結(jié)果保留1位小數(shù)）.參考數(shù)據(jù)見(jiàn)下表:

三角比角度sincostancot

12°0.2080.9780.2134.705

11.5°0.1990.9800.2044.915

11.7°0.2030.9790.2074.829

任務(wù)二：上海世博文化公園官網(wǎng)上顯示：雙子山主峰的高度為48米.請(qǐng)你用一句話(huà)簡(jiǎn)單說(shuō)明你求出的高

度與48米不一致的原因：

4.（2025?上海奉賢?一模）桔槨（gao）是古代漢族的一種農(nóng)用工具，也是一種原始的汲水工具，它的工作原

理基于杠桿原理，通過(guò)一根豎立的支架加上一根杠桿，當(dāng)中是支點(diǎn)，末端懸掛一個(gè)重物，前段懸掛水桶.當(dāng)

人把水桶放入水中打滿(mǎn)水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提拉至所需處.這種工具可以省

力地進(jìn)行汲水，減輕勞動(dòng)者的勞動(dòng)強(qiáng)度.

如圖所示，線(xiàn)段0M代表固定支架，點(diǎn)。、點(diǎn)C分別代表重物和水桶，線(xiàn)段3"AC是無(wú)彈力、固定長(zhǎng)度

的麻繩，繩長(zhǎng)AC=3米，木質(zhì)杠桿AB=6米.

圖1圖2

⑴當(dāng)水桶C的位置低于地面0.5米（如圖1所示），支架與繩子9之間的距離是1.6米，且cotB=0.75,

求這個(gè)桔棒支架的高度；

（2）向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如圖2所示），求此時(shí)重物。相對(duì)于（1）中的位置下降的高度.

5.(2025?上海青浦?一模)圖1是某商場(chǎng)地下車(chē)庫(kù)的出入口，車(chē)輛出入時(shí)，通常情況下只需升起“出口”或“入

口”的道閘.特殊情況，兩個(gè)道閘也可以同時(shí)升起.圖2是其示意圖，道閘升起過(guò)程中對(duì)邊始終保持平行(如

圖中升起的道閘EPQ由)，升起的最高點(diǎn)不超過(guò)頂部CD.矩形門(mén)的高AD=3.6米，寬4?=6.6米.矩形閘機(jī)

的寬AH=3W=0.3米，矩形道閘的寬FG=EP=1米，道閘底部距地面AB的高度FH=EW=0.2米.頂點(diǎn)

G、M、P在同一條直線(xiàn)上，邊MG=PQ,邊MN與QR之間的縫隙可以忽略不計(jì).

出口入口

圖1

(1)求道閘升起的最大角的正切值;

(2)一輛高為1.8米、寬為1.9米的小貨車(chē)想進(jìn)入這個(gè)地下車(chē)庫(kù)，是否需要同時(shí)升起兩個(gè)道閘？請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.(2025?上海徐匯?一模)小杰在學(xué)習(xí)了“特殊銳角的三角比”后，認(rèn)為30。,45。,60。的三角比不必死記硬背,

只需利用一副三角板就可推導(dǎo)出30。,45。,60。的三角比，相信大家都有這個(gè)共識(shí)；小杰在這個(gè)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,

他利用一副特制的三角板，研究推導(dǎo)出了15。，75。的三角比.

cot30°-cot45°

(1)計(jì)算:

tan600+2sin30°

(2)小杰的一副特制的三角板，如圖1,在RtAABC和RtADEF中,ZB=ZE=90°,

A^30°,XD=45°,DE=AC=2：小杰的想法是：將Rt^ABC和RtZXDE尸的邊DE和AC重合，拼接成如

圖2所示的四邊形A5CP.請(qǐng)利用圖2,求sinl5。和tan75。的值.

7.（2025?上海黃浦?一模）某校初三學(xué)生開(kāi)展主題為“測(cè)量校園內(nèi)樹(shù)木高度的方案設(shè)計(jì)”的數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活

動(dòng).

甲、乙、丙三位同學(xué)制作出一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)高儀.取兩根小木條釘在一起，使它們互相垂直,其中木條長(zhǎng)40cm,

木條C￡＞長(zhǎng)60cm,￡）5長(zhǎng)20cm（接頭處忽略不計(jì)）.為了便于校正豎直位置，在點(diǎn)＜8處懸掛一個(gè)鉛垂，如

圖1所示，這樣就制作出一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)高儀.

DBC

圖1圖2

任務(wù)：測(cè)量校園內(nèi)某棵大樹(shù)的高度（樹(shù)頂端M與樹(shù)根部N的距離）.

工具：簡(jiǎn)易測(cè)高儀、卷尺（如圖2所示）.

要求：測(cè)量得到的長(zhǎng)度用字母。，b,c…表示.

第一次實(shí)踐

甲手持測(cè)高儀，c端朝上。端朝下，從測(cè)高儀的點(diǎn)A經(jīng)過(guò)點(diǎn)C望向樹(shù)頂端調(diào)整人到樹(shù)的距離，

實(shí)踐

使得點(diǎn)M恰好與點(diǎn)C、A在一條直線(xiàn)上，然后標(biāo)記鉛垂線(xiàn)的下端剛好接觸地面的點(diǎn)E的位置，如圖

操作

3所示.

獲取數(shù)乙負(fù)責(zé)測(cè)量，得到點(diǎn)8到地面的垂直距離5E=acm,還需要測(cè)量得

到的相關(guān)數(shù)據(jù)有：—.

示意據(jù)

圖

3解決問(wèn)利用得到的數(shù)據(jù)表示樹(shù)的高度：

題MN=__________cm.

反思：這種方法需要能夠一直走到大樹(shù)的底下，有時(shí)因?yàn)橛姓系K物，無(wú)法走到大樹(shù)底下.于是三位同學(xué)討

論如果不走到大樹(shù)底下也可以測(cè)量出大樹(shù)的高度，經(jīng)過(guò)討論得到第二種測(cè)量方案，具體如下：

第二次實(shí)踐

實(shí)甲重復(fù)第一次實(shí)踐操作，然后將測(cè)高儀的。端朝上C端朝下，從測(cè)高儀的點(diǎn)A經(jīng)過(guò)點(diǎn)D望向樹(shù)頂端

踐M,向后走調(diào)整人到樹(shù)的距離，使得點(diǎn)〃恰好與點(diǎn)。、A在一條直線(xiàn)上，然后標(biāo)記鉛垂線(xiàn)的下端剛好

操接觸地面的點(diǎn)F的位置.丙提醒甲注意：兩次測(cè)量時(shí)點(diǎn)8到地面的垂直距離保持不變；點(diǎn)E、E和樹(shù)

作根部N三點(diǎn)要保持在同一直線(xiàn)上，如圖4所示.

獲取數(shù)點(diǎn)到地面的垂直距離乙還需要測(cè)量得到的相關(guān)

示23E=acm,

據(jù)數(shù)據(jù)有：_________.

圖

解決問(wèn)

TEF利用得到的數(shù)據(jù)表示樹(shù)的高度.（寫(xiě)出求解過(guò)程）

4題

8.（2025?上海金山?一模）如圖，VABC和都是直角三角形紙片，/^=/0=90。且丫川。和"）上萬(wàn)不

相似.其中=AC=b,DE=m,DF=n（n>b>a>m）.是否存在經(jīng)過(guò)銳角頂點(diǎn)的一條直線(xiàn)，能把

VABC和ADEF分割成兩個(gè)三角形，使分割得的兩個(gè)三角形中有一個(gè)三角形（記這個(gè)三角形的面積為S）與

沒(méi)有分割的三角形相似.

（1）如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出你的分割方案（只要寫(xiě)出一個(gè)方案即可），并證明方案的正確性;

（2）按照你寫(xiě)出的分割方案，求出S的值（可以用?；?或加或”的代數(shù)式表示）.

9.（2025?上海嘉定?一模）火車(chē)作為我國(guó)重要的交通運(yùn)輸形式之一，其軌道的平順性和穩(wěn)定性直接影響列車(chē)

的運(yùn)行安全.我國(guó)目前軌道檢測(cè)的主要方法是機(jī)械檢測(cè)，通過(guò)使用機(jī)械傳感器和無(wú)損檢測(cè)設(shè)備（包括激光

三角位移傳感器、超聲波傳感器等）來(lái)測(cè)量軌道的各種參數(shù)（幾何尺寸、軌距、高差和曲率），從而判斷軌

道是否有損傷或缺陷.某?？苿?chuàng)活動(dòng)小組率先就“激光三角位移計(jì)”這一設(shè)備開(kāi)展了學(xué)習(xí)與探究:

建立模型

10.（2025?上海閔行?一模）如圖，一種遮陽(yáng)傘的截面由主傘骨0A和03、支傘骨G0和DM以及傘柄OH組

成，傘柄垂直于地面且平分/AO3,04=03=/厘米，OC=Or＞=（Q4,Oa=/z厘米.使

用遮陽(yáng)傘時(shí)，可以通過(guò)調(diào)節(jié)點(diǎn)M在傘柄上的位置來(lái)確定NAO3的大小.當(dāng)點(diǎn)C、M,。三點(diǎn)在同一直

線(xiàn)上時(shí)，遮陽(yáng)傘完全打開(kāi)，此時(shí)NAO3達(dá)到最大為150。.（參考數(shù)據(jù)：sin75°=#+一，cos75。=逸二2,

44

tan75o=2+g,計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）

⑴當(dāng)。4=03=120厘米，

i）在遮陽(yáng)傘完全打開(kāi)時(shí)，求A、B之間的距離.

ii）在傘打開(kāi)的過(guò)程中（/403從0。變到150。），點(diǎn)M上升了_____厘米.

（2）設(shè)的度數(shù)為2打（0＜夕＜75。），在平行的太陽(yáng)光照射下，遮陽(yáng)傘能遮住的地面所長(zhǎng)為（用式

子表示）；如果想通過(guò)只改變一個(gè)條件來(lái)增大遮陽(yáng)傘遮住地面取的長(zhǎng)，你的建議是

11.(2025?上海普陀?一模)如圖，已知小河兩岸各有一棟大樓A3與C。，由于小河阻礙無(wú)法直接測(cè)得大樓C。

的高度.小普同學(xué)設(shè)計(jì)了如下的測(cè)量方案：將激光發(fā)射器分別置于地面點(diǎn)E和點(diǎn)尸處，發(fā)射的兩束光線(xiàn)都

經(jīng)過(guò)大樓頂端A,并分別投射到大樓CD最高一層CG的頂端C和其底部G處，并測(cè)得EF=6m,

ZAEB=26.6°,ZAFB=22.6°.(點(diǎn)。、B、E、尸在同一水平線(xiàn)上)

(1)小普同學(xué)發(fā)現(xiàn)，根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)就能測(cè)出大樓的高度，試求出大樓A3的高度；

(2)為了能測(cè)得大樓C。的高度，小普同學(xué)又獲信息：這兩棟大樓每層的高度都相同，大樓A3共有五層.據(jù)

此信息能否測(cè)得大樓CD的高度？如果可以，試求出大樓CD的高度；如果不可以，說(shuō)明理由.

(參考數(shù)據(jù)：sin22.6°,cos22.6°?—,tan22.6°?—,sin26.6°?—,cos26.6°tan26.6°?)

131312552

12.（2025?上海崇明?一模）九年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組用航拍無(wú)人機(jī)進(jìn)行測(cè)高實(shí)踐.如圖，無(wú)人機(jī)從地面的中

點(diǎn)C處豎直上升20米到達(dá)。處，測(cè)得實(shí)驗(yàn)樓頂部E的俯角為55。，綜合樓頂部廠(chǎng)的俯角為37。，已知實(shí)驗(yàn)樓

BE高度為8米，且圖中點(diǎn)AB、C、D、E、尸在同一平面內(nèi)，求綜合樓AF的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin37°x0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75；sin55°~0.82,cos55°?0.57,cot55°?0.70,精確至U0.1

米.）

D

13.（2025?上海楊浦?一模）定義：如圖1,已知點(diǎn)Q、R是/MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)。尸2=。。。尺時(shí)，稱(chēng)點(diǎn)尸是線(xiàn)段QR的最佳視野點(diǎn).如圖2,某商業(yè)廣場(chǎng)上安裝了一塊巨型

顯示屏A3,點(diǎn)A到水平地面的距離AC為5米，在水平地面CO的E處有一個(gè)自動(dòng)扶梯EP,點(diǎn)A、B、C

在同一直線(xiàn)上.已知自動(dòng)扶梯跖的坡度是1:2,點(diǎn)E到點(diǎn)C的距離是10米.

圖1圖2

（1）當(dāng)行人行走在水平地面CE時(shí)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)//恰好是屏幕A3的最佳視野點(diǎn)，且從點(diǎn)〃測(cè)得點(diǎn)B的仰角為

60°.求A3的長(zhǎng)；（忽略行人的高度）

（2）在（1）的條件下，如果要在自動(dòng)扶梯EP上找到屏幕AB的最佳視野點(diǎn)，有人說(shuō)“最佳視野點(diǎn)就是屏幕A3

的垂直平分線(xiàn)與阱的交點(diǎn)”.你同意這個(gè)說(shuō)法嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.（忽略行人的高度）

14.（2025?上海虹口?一模）根據(jù)以下素材，完成任務(wù).

素

材參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,6m1.73.

4

（1）求圖3中，淋浴噴頭手柄與固定器的連接處點(diǎn)A到地

任務(wù)一

面的距離AE.

問(wèn)

（2）爸爸洗完澡后，不改變固定器的位置（即AE不變），

題

把淋浴噴頭的“調(diào)整角”0調(diào)整至60。，然后小明進(jìn)淋浴房洗

解澡.①小明發(fā)現(xiàn)水流無(wú)法噴在他的“舒適噴淋點(diǎn)”處，請(qǐng)通過(guò)

任務(wù)二

決計(jì)算說(shuō)明理由；②下降固定器（將固定器下降后的位置記為

點(diǎn)A）后，小明發(fā)現(xiàn)水流可以噴在他的“舒適噴淋點(diǎn)”處，求

此時(shí)固定器下降的距離A4'（精確到cm）.

15.（2025?上海寶山?一模）為了方便居民出入小區(qū)，小區(qū)業(yè)委會(huì)決定對(duì)大門(mén)口的一段斜坡進(jìn)行改造.原坡

面是矩形ABC。（如圖1）,AB=4米，AD=2米，斜坡A3的坡角為30。.計(jì)劃將斜坡A3改造成坡比為1:2.5

的斜坡AE（如圖2所示）,坡面的寬度AD不變.

圖1

（1）求改造后斜面底部延伸出來(lái)的部分（BE）的長(zhǎng)度;

（2）改建這條斜坡需要多少立方米的混凝土材料？

16.(2025?上海長(zhǎng)寧?一模)如圖是某地下車(chē)庫(kù)的剖面圖，某綜合實(shí)踐小組將無(wú)人機(jī)放在坡道起點(diǎn)A處，讓

無(wú)人機(jī)飛到點(diǎn)。處，與底板欹平行，測(cè)得AD=1L6米，此時(shí)在點(diǎn)。處又測(cè)得坡道45上的點(diǎn)C的俯角

為26.6。.接著讓無(wú)人機(jī)飛到點(diǎn)E處，DEJ.AD,CE與底板旗平行，測(cè)得。E=L8米.

P._________________________

(1)求坡道A3的坡度;

(2)已知地面QA、地下車(chē)庫(kù)的頂板FG都與底板BR平行且它們到底板BR的距離相等，無(wú)人機(jī)從點(diǎn)A飛到點(diǎn)P

處，APA.AD,測(cè)得AP=16.4米，此時(shí)在點(diǎn)P處測(cè)得點(diǎn)P的俯角為45。，在不考慮其他因素的前提下，有

一輛高度為3米的貨車(chē)能否進(jìn)入該地下車(chē)庫(kù)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(參考數(shù)據(jù)：sin26.6°~0.45,cos26.6°?0.89,tan26.6°?0.5)

專(zhuān)題07解直角三角形的應(yīng)用(解答題22題)

1.(2025?上海松江?一模)圖1是一款高清視頻設(shè)備.圖2是該設(shè)備放置在水平桌面上的示意圖，取垂

直于水平桌面/,垂足為點(diǎn)A,點(diǎn)C處有一個(gè)攝像頭.經(jīng)測(cè)量，AB=42厘米，3C=30厘米，ZABC=127°.

圖1圖2

(1)求攝像頭C到桌面/的距離；

(2)如果攝像頭可拍攝的視角=37。，且C￡>=CE,求桌面上可拍攝區(qū)域的寬度(DE的長(zhǎng)).

(參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75.)

【答案】(1)攝像頭C到桌面/的距離是60cm

(2)桌面上可拍攝區(qū)域的寬度為40cm

【分析】本題主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)，構(gòu)造直角三角形，正

確運(yùn)用銳角三角函數(shù)的計(jì)算及相似三角形的判定的方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

CF

(1)過(guò)點(diǎn)C作過(guò)點(diǎn)B作斯，CH,垂足分別為點(diǎn)H、尸，可得NCB尸=37。，由sin/CBB=力；

BC

可算出CF=18cm,由CH=B+〃R=60cm即可求解；

(2)過(guò)點(diǎn)。作r>M_LCE,垂足為M,則有tan/DCM=2^=3,設(shè)DW=3笈，CM=43貝!ICD=CE=53

CM4

EM=k,DE=Mk,再證△CHES^ME,由相似三角形的性質(zhì)可得左=4而，由

DE=Mk=710x4^/10=40cm即可求解.

【詳解】(1)解：過(guò)點(diǎn)。作CH，/,過(guò)點(diǎn)3作5尸，CH,垂足分別為點(diǎn)“、F,

-.-ZABC=1270fZABF=90°,

CF

,/sin^CBF=----,BC=30cm,

BC

CF—BCsinACBF=30xsin37°=30x0.6=18cm,

,/AB=HF=42cm,

:.CH=CF-^HF=60cm.

答：攝像頭。到桌面/的距離是60cm.

(2)解：過(guò)點(diǎn)。作。垂足為

vZDCW=37°,tanZDCM=^=-,

CM4

設(shè),DM=3k,CM=4k,則CD=CE=5左，EM=k,DE=y/10k,

/CHE=/DME=90°,NCEH=NDEM,

ACHESmME,

.DMCH3k_60

DECE左5k

解得：k=4M,

DE=yfwk=710x4A/10=40cm,

答：桌面上可拍攝區(qū)域的寬度為40cm.

2.（2025?上海靜安?一模）舞獅文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，其中高樁舞獅是一項(xiàng)集體育與藝術(shù)于一體的競(jìng)技活動(dòng)，

也被廣泛應(yīng)用于各種慶典活動(dòng)，成為傳承中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要載體（如圖①所示）.在舞獅表演中，梅

花樁AB、CD、垂直于地面，且3、D、尸在一直線(xiàn)上（如圖②所示）.如果在樁頂C處測(cè)得樁頂A和

樁頂E的仰角分別為35。和47。，且A3樁與跖樁的高度差為1米，兩樁的距離段'為2米.

⑴舞獅人從A跳躍到C,隨后再跳躍至E,所成的角ZACE=_。；

（2）求樁AB與樁CD的距離的長(zhǎng).（結(jié)果精確到0.01米）

【答案】⑴98

⑵0.65米

【分析】本題主要考查仰俯角解直角三角形的運(yùn)用，理解并掌握解直角三角形的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)仰俯角，平角為180。即可求解；

（2）過(guò)點(diǎn)C作肱V〃班分別交AB、EF于點(diǎn)、M、N,則四邊形BDCN、BFNM、DFNC都是矩形,

設(shè)==x米，則CN=（2—x）米，在Rt^AMC中，由函數(shù)函數(shù)的計(jì)算tan/ACM=d"，得到

CM

EN

AM=CMtanZACM=xtan35°,在RtZkCEN中，tm/ECN=——,得至！J

CN

￡^=C7V-tanZEC7V=（2-x）-tan47°,由EF—=/1M=1,即可求解.

【詳解】（1）解：在樁頂。處測(cè)得樁頂A和樁頂E的仰角分別為35。和47。，

??.NACE=180°-35°-47°=98°,

故答案為：98；

（2）解：過(guò)點(diǎn)C作跖V〃/,分別交AB、EF于點(diǎn)M、N,

?,AB1BF,CD工BF,EFLBF,

.-.AB//CD//EF,

???四邊形5DCM、BFNM、D7WC都是矩形,

BD=CM,MN=BF,DF=CN,BM=NF,

設(shè)==x米，貝（JQV=（2-x）米，

在RtZXAMC中，tanZACM=^~,

CM

:.AM=CM-tanZACM=x-tan35°,

EN

在RtZXCEN中，tanZECN=——,

CN

,?.EN=CNtmZECN=（2-x）?tan47。，

-EF-AB=EN-AM=1,

（2-x）?tan470-x-tan35°=1,

左號(hào)口2tan470-1八”,、1八

解得，尤=,4…2°65（米），

tan47+tan35

答：樁A3與樁C。的距離5。的長(zhǎng)約為0.65米.

3.（2025?浦東新區(qū)一模）上海世博文化公園的雙子山是近期游客的熱門(mén)打卡地.某校實(shí)踐小組利用所

學(xué)知識(shí)測(cè)量雙子山主峰的高度，他們?cè)O(shè)計(jì)了兩個(gè)測(cè)量方案，并利用課外時(shí)間完成了實(shí)地測(cè)量.下面是兩

個(gè)方案的示意圖及測(cè)量數(shù)據(jù).

方案一：測(cè)量距離7D,仰角a,仰角仇方案二：測(cè)量高鷺口仰角a.仰角民

測(cè)量項(xiàng)目CDap

方案一10m12°11.5°

方案二1.3m12°11.7°

任務(wù)一：請(qǐng)選擇其中一種方案，求出雙子山主峰AB的高度(結(jié)果保留1位小數(shù)).參考數(shù)據(jù)見(jiàn)下表:

三角比角度sincostancot

12°0.2080.9780.2134.705

11.5°0.1990.9800.2044.915

11.7°0.2030.9790.2074.829

任務(wù)二：上海世博文化公園官網(wǎng)上顯示：雙子山主峰的高度為48米.請(qǐng)你用一句話(huà)簡(jiǎn)單說(shuō)明你求出的

高度與48米不一致的原因：.

【分析】(1)選擇方案一，設(shè)長(zhǎng)尤米，根據(jù)a的正切值表示出的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)P的正切值為相

等關(guān)系列出方程求解即可；選擇方案二，設(shè)BC為x米，根據(jù)B的正切值表示出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)a

的正切值為相等關(guān)系列出方程求解即可；

(2)可從測(cè)量的角度出發(fā)回答問(wèn)題.

【解答】解：(1)選擇方案一：

由題意得：AB_LBDf

.,.ZB=90°,

設(shè)8C長(zhǎng)工米，則5。長(zhǎng)(x+10)米，

VZa=12°,

「?A8=x?tana仁0.213元米，

VZP=11.5°,

：.(x+10)-tanll.5°=0.213%,

即0.204(x+10)=0.213x,

角軍得：了心226.67,

二?A”48.3米；

選擇方案二：

由題意得：ZAED=ZABC=90°.

設(shè)5C為％米，則QE為x米.

VP=11.7°,

A￡=x?tanp心0.207%米，

Va=12°,

.*.AB=x*tana^0.213x米，

由題意得：8E=CZ）=1.3米,

.,.0.207x+1.3=0.213x,

解得:x-216.67,

.\AB^46.2米.

（2）測(cè)量有誤差（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用.應(yīng)用所給角的正切值表示出相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度或得到能解決問(wèn)題

的相等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

4.（2025?上海奉賢?一模）桔棒（ga。）是古代漢族的一種農(nóng)用工具，也是一種原始的汲水工具，它的工作

原理基于杠桿原理，通過(guò)一根豎立的支架加上一根杠桿，當(dāng)中是支點(diǎn)，末端懸掛一個(gè)重物，前段懸掛水

桶.當(dāng)人把水桶放入水中打滿(mǎn)水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提拉至所需處.這種工

具可以省力地進(jìn)行汲水，減輕勞動(dòng)者的勞動(dòng)強(qiáng)度.

如圖所示，線(xiàn)段代表固定支架，點(diǎn)。、點(diǎn)C分別代表重物和水桶，線(xiàn)段8。、AC是無(wú)彈力、固定長(zhǎng)

度的麻繩，繩長(zhǎng)AC=3米，木質(zhì)杠桿=6米.

圖1圖2

（1）當(dāng)水桶C的位置低于地面0.5米（如圖1所示），支架。M與繩子之間的距離是1.6米，且

cotB=0.75,求這個(gè)桔槨支架的高度；

（2）向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如圖2所示），求此時(shí)重物D相對(duì)于（1）中的位置下降的高度.

【答案】（1）4.9米

⑵0.55米

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作ANLW于點(diǎn)N,利用余切函數(shù)的定義，平行線(xiàn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，

勾股定理，余弦函數(shù)，解直角三角形的即可.

（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)C作CPLOM于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)。作OK,3D于點(diǎn)K,則PM=0.6

米，四邊形ACPQ是矩形，解直角三角形解答即可.

【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)A作⑷于點(diǎn)N,

圖1

BH3

cotB==0.75=—,OH=1.6,

OH4

3

.-.BH=1.6x-=1.2（米），

4

??BO=^BH2-^OH2=2（米），

nBH3

cosB=-----=—,

OB5

：OM//BD,AB=6米，

.-.ZB=ZAON,OA=AB-OB=4^:,

3

ON=OAcosZAON=4x-=2.4米，

設(shè)AC與地面的交點(diǎn)為G,

貝|GC=0.5米，四邊形AG肱V是矩形,

：.MN=AG,

???AC=3米，

.?.AG=2.5米，

：.OM=ON+MN=ON+AG=2.5+2A=4.9^.

(2)解：如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AQ，?！庇邳c(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)C作CPJ_OM于點(diǎn)P,

過(guò)點(diǎn)。作OKLBD于點(diǎn)K,

圖2

則9=0.6米，四邊形ACPQ是矩形,

尸。=AC=3米，

OM=4.9米，

OQ=OM-PQ-MP=13^z,

OQ1.313

cosZAOQ=

OA-T-40

???OM//BD,

ZB=ZAOQ,

nBK13

cosB==——,

OB40

13

??.5K=O5cos5=2x——=0.65米，

40

3

根據(jù)（l）得3H=1.6x—=1.2（米），

4

??.此時(shí)重物。相對(duì)于（1）中的位置下降的高度為1.2-0.65=0.55米.

【點(diǎn)睛】本題考查了余切函數(shù)，余弦函數(shù)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握三

角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?上海青浦?一模）圖1是某商場(chǎng)地下車(chē)庫(kù)的出入口，車(chē)輛出入時(shí)，通常情況下只需升起“出口”

或“入口”的道閘.特殊情況，兩個(gè)道閘也可以同時(shí)升起.圖2是其示意圖，道閘升起過(guò)程中對(duì)邊始終保

持平行（如圖中升起的道閘“Q禺），升起的最高點(diǎn)不超過(guò)頂部矩形門(mén)的高AD=3.6米，寬AB=6.6

米.矩形閘機(jī)的寬AH=3W=0.3米，矩形道閘的寬/G=EP=1米，道閘底部距地面A3的高度

FH=￡W=0.2米.頂點(diǎn)G、M、Q、P在同一條直線(xiàn)上，邊MG=PQ,邊MN與。R之間的縫隙可以忽

略不計(jì).

出口

（1）求道閘升起的最大角的正切值;

（2）一輛高為1.8米、寬為1.9米的小貨車(chē)想進(jìn)入這個(gè)地下車(chē)庫(kù)，是否需要同時(shí)升起兩個(gè)道閘？請(qǐng)說(shuō)明理

由.

4

【答案】⑴]

（2）需要同時(shí)升起兩個(gè)道閘，理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用：

(1)設(shè)道閘/GMN升起的最高點(diǎn)為點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段CD上時(shí)，道閘升起的角最大.延長(zhǎng)

FG交CD于點(diǎn)、在RtAMCR中，勾股定理求出“白一正切的定義求出tanNGM。]=黑，平行線(xiàn)

的性質(zhì)，MgljZMGM,=ZNFNt=AGM{D{,即可得出結(jié)果；

(2)設(shè)只升起一個(gè)道閘/GMN,當(dāng)最高點(diǎn)在線(xiàn)段C。上時(shí)，在線(xiàn)段6V上取車(chē)寬印=1.9(米)，過(guò)

點(diǎn)￥作XZ_LAB,交,FN\于x,垂足為Z,交NF于點(diǎn)丫，在Rt^XYF中，求出XV的值，進(jìn)而求出XZ

的值，與車(chē)高進(jìn)行比較即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：設(shè)道閘FGMN升起的最高點(diǎn)為點(diǎn)加1,當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段C。上時(shí)，道閘升起的角NMGM]

最大.延長(zhǎng)尸G交C。于點(diǎn)。.根據(jù)題意，可知:

GMX=GM=1（AB-2AH）=1（6.6-2x0.3）=3（米）.

GDi=DN-GH=36-12=24（米）.

在RtaMiGA中,

MR='GM；-GD；=A/32-2.42=1.8（米）,

GD、2.44

/.tanZGMD=

11雨1.83,

?.?MG//FN//CD,

/MGM、=/NFN]=/GMQi.

4

tanAMGMX=tanZNFN,=tan/GMR=-.

4

即道閘升起的最大角的正切值為1.

(2)設(shè)只升起一個(gè)道閘/GMN,當(dāng)最高點(diǎn)Mi在線(xiàn)段C。上時(shí),

在線(xiàn)段方N上取車(chē)寬}W=1.9(米)，過(guò)點(diǎn)丫作交FN、于X,垂足為Z,交Nb于點(diǎn)Y.則

YZ=FH=0.2（米），YF=FN-YN=3-1.9=1A（米）.

GMX//FN],GM//FN,

.../'FN=ZM.GM,

在RMXEF中，

22

-：XY=tanZNFN,?KF=tanZM1GMYF=—（米）,

2225

:.XZ=XY+YZ=0.2+—=—（米）.

1515

?.?車(chē)高1.8米=奈27米〉/?5米，

???只起一個(gè)道閘，小轎車(chē)不能通過(guò).

二需要同時(shí)升起兩個(gè)道閘.

6.（2025?上海徐匯?一模）小杰在學(xué)習(xí)了“特殊銳角的三角比”后，認(rèn)為30。,45。,60。的三角比不必死記硬

背，只需利用一副三角板就可推導(dǎo)出30。,45。,60。的三角比，相信大家都有這個(gè)共識(shí)；小杰在這個(gè)認(rèn)識(shí)的

基礎(chǔ)上，他利用一副特制的三角板，研究推導(dǎo)出了15。，75。的三角比.

wcot30°-cot45°

"：tan600+2sin30°

⑵小杰的一副特制的三角板，如圖1,在和RtADE尸中，NB=NE=90°,

，4=30。，/￡>=45。,。￡=4。=2：小杰的想法是：將Rt^ABC和RtADEF的邊。E和AC重合，拼接成

如圖2所示的四邊形ABCF.請(qǐng)利用圖2,求sinl5°和tan75°的值.

【答案】⑴2-6

⑵正正，2+石

4

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，解直角三角形:

(1)將特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)過(guò)點(diǎn)B分別作FG_L3c于點(diǎn)G、FHLAB于點(diǎn)、H,解直角三角形，求出的長(zhǎng)，證

明ACG尸三AABC,求出PG,3G的長(zhǎng)，在RMM中，利用三角函數(shù)進(jìn)行求解即可.

_A/3-1_\/3-1/T

【詳解】(1)原式一二二一百1一2W；

2

(2)過(guò)點(diǎn)尸分別作FG,3c于點(diǎn)G、FHLAB于點(diǎn)H,

砥D)

：Klj：

BC(￡)6

圖2

在R^ABC中，ZB=90°,ABAC=30°,AC=2,

AB=AC-cos30°=2x^=V3,BC=AC-sin30°=2x1=1,

22

在Rt^DEF中，NDEF=90°,NEDF=45°,DE=2,

EF=￡>￡.tan45°=2x1=2,DF=DE=272,

cos45°

?/ZGCA=90°+ZGCF=90°+ZCAB

:"GCF=/CAB

又:ACGFAABC

X^B=ZG=90\CF=AC

/.△CGF=^ABC

：.CG=AB=6,FG=BC=\

BG=BC+CG=y[3+X

ZG=ZB=ZBHF=90°

???四邊形3GFH是矩形，

BH=GF=1,HF=BG=^+1,

:.AH=AB-BH=y13-l

在中，ZAHF=90°,NHAF=NBAC+NCAF=75°

ZAFH=15°

sinl50"=&k%^,tan75°=坦=^^1=2+6

AF~2A/24AH73-1

7.（2025?上海黃浦?一模）某校初三學(xué)生開(kāi)展主題為“測(cè)量校園內(nèi)樹(shù)木高度的方案設(shè)計(jì)”的數(shù)學(xué)綜合與實(shí)

踐活動(dòng).

甲、乙、丙三位同學(xué)制作出一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)高儀.取兩根小木條釘在一起，使它們互相垂直，其中木條長(zhǎng)

40cm,木條CD長(zhǎng)60cm,長(zhǎng)20cm（接頭處忽略不計(jì)）.為了便于校正豎直位置，在點(diǎn)3處懸掛一

個(gè)鉛垂，如圖1所示，這樣就制作出一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)高儀.

A

DBC

圖1圖2

任務(wù)：測(cè)量校園內(nèi)某棵大樹(shù)MN的高度（樹(shù)頂端M與樹(shù)根部N的距離）.

工具：簡(jiǎn)易測(cè)高儀、卷尺（如圖2所示）.

要求：測(cè)量得到的長(zhǎng)度用字母a,b,c...表示.

第一次實(shí)踐

實(shí)

甲手持測(cè)高儀，C端朝上。端朝下，從測(cè)高儀的點(diǎn)A經(jīng)過(guò)點(diǎn)C望向樹(shù)頂端調(diào)整人到樹(shù)的

踐

距離，使得點(diǎn)M恰好與點(diǎn)C、A在一條直線(xiàn)上，然后標(biāo)記鉛垂線(xiàn)的下端剛好接觸地面的點(diǎn)E

操

的位置，如圖3所示.

作

獲取數(shù)乙負(fù)責(zé)測(cè)量，得到點(diǎn)8到地面的垂直距離BE=acm,還

示

據(jù)需要測(cè)量得到的相關(guān)數(shù)據(jù)有：—.

解決問(wèn)利用得到的數(shù)據(jù)表示樹(shù)的高度：

圖3:LJr

題MN=_________cm.

反思：這種方法需要能夠一直走到大樹(shù)的底下，有時(shí)因?yàn)橛姓系K物，無(wú)法走到大樹(shù)底下.于是三位同學(xué)

討論如果不走到大樹(shù)底下也可以測(cè)量出大樹(shù)的高度，經(jīng)過(guò)討論得到第二種測(cè)量方案，具體如下:

第二次實(shí)踐

實(shí)甲重復(fù)第一次實(shí)踐操作，然后將測(cè)高儀的。端朝上C端朝下，從測(cè)高儀的點(diǎn)A經(jīng)過(guò)點(diǎn)。望向

踐樹(shù)頂端向后走調(diào)整人到樹(shù)的距離，使得點(diǎn)M恰好與點(diǎn)。、A在一條直線(xiàn)上，然后標(biāo)記鉛垂

操線(xiàn)的下端剛好接觸地面的點(diǎn)尸的位置.丙提醒甲注意：兩次測(cè)量時(shí)點(diǎn)B到地面的垂直距離保持

作不變；點(diǎn)E、尸和樹(shù)根部N三點(diǎn)要保持在同一直線(xiàn)上，如圖4所示.

獲取數(shù)點(diǎn)到地面的垂直距離乙還需要測(cè)量

示BBE=acm,

斗.據(jù)得到的相關(guān)數(shù)據(jù)有：__________.

圖牛￡*

1解決問(wèn)利用得到的數(shù)據(jù)表示樹(shù)MN的高度.(寫(xiě)出求解過(guò)

4題程)

【答案】第一次實(shí)踐需要測(cè)量得到的相關(guān)數(shù)據(jù)有：NE=bcm,MN的高度：MN=(a+b+40)cm.第二

次實(shí)踐需要測(cè)量得到的相關(guān)數(shù)據(jù)有：EF=ccm,MN=(c+a)cm,過(guò)程見(jiàn)解析.

【分析】第一次實(shí)踐，由3C=AB=40cm,50=20cm,ABVCD,AHLMN,得至()物/=4/,

進(jìn)而得到MV=NE+40+q,即可求解，

第二次實(shí)踐，設(shè)MW=AH=x,由tan/RAg=g,得到片打=2無(wú)，由4"一A"=A4=4臺(tái)=跖，得

至|Jx=c,即可求解，

本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題意正確列式.

【詳解】解：由題意可知8C=AB=40cm,50=20cm,ABVCD,

tanZCAB=1,

?:AH1MN,

?.MH=AH,

BE=a,

：.MN=MH+HN=AH+BE=HB+AB+BE=NE+4Q+a,

第一次實(shí)踐需要測(cè)量得到的相關(guān)數(shù)據(jù)有：NE=bcm,

利用得到的數(shù)據(jù)表達(dá)樹(shù)腦V的高度：MN=(a+b+40)cm.

第二次實(shí)踐需要測(cè)量得到的相關(guān)數(shù)據(jù)有：EF=ccm,

解決問(wèn)題：設(shè)MH-AH=x,

由題意可知5C=AB=40cm,BD=20cm,ABLCD,

/.tanNCAB=1,tanZDlAiBl=g,

?；AH1MN,

A

；.AH=MH=x,tanZD^Bj=-

A

:.A^H=2x,

-.\H-AH=AA=B,B=EF,

■?■2x—x=c,

.-.x=c

：.MN=(^c+a)cm.

8.（2025?上海金山?一模）如圖，VABC和砂都是直角三角形紙片，/4=/。=90。且丫45<7和4￡尸

不相似.其中AB="，AC=b,DE=m,DF=nCn>b>a>m）.是否存在經(jīng)過(guò)銳角頂點(diǎn)的一條直線(xiàn)，

能把VABC和△詆分割成兩個(gè)三角形，使分割得的兩個(gè)三角形中有一個(gè)三角形（記這個(gè)三角形的面積

為S）與沒(méi)有分割的三角形相似.

（1）如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出你的分割方案（只要寫(xiě)出一個(gè)方案即可），并證明方案的正確性;

（2）按照你寫(xiě)出的分割方案，求出S的值（可以用?；蜇盎驒C(jī)或九的代數(shù)式表示）.

【答案】（1）存在，見(jiàn)解析

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形：

（1）根據(jù)銳角的正切值可以得到tan/￡）￡F>tan3>tanC>tanP,故過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)交邊于點(diǎn)G,使

得/DEG=NB,即可；

（2）根據(jù)相似的性質(zhì)，求出DG的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：存在，分割方案：（答案不唯一）如圖：

過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)交邊。尸于點(diǎn)G,使得ND￡G=N3,

證明：ZA=ZD=90°,AB=a,AC=b,DE=m,DF=n,

hanin

tanB=—,tanC=—,tanZDEF=—,tanF=—,

abmn

n>b>a>m,

11bdm

/.—>—>—>一即tan/DEF>tanB>tanC>tanF,

mabn

:.ZE>ZB>ZC>ZF,

???NA=ND=90。，NDEG=/B,

「△ABCs/\DEG；

(2)SABCSADEG

.AB_AC

'~DE~~DGy

AB=a,AC=b,DE=m,

OG=也

a

bmbm2

:.S=-DEDG=-m----=-----.

22a2a

9.（2025?上海嘉定?一模）火車(chē)作為我國(guó)重要的交通運(yùn)輸形式之一，其軌道的平順性和穩(wěn)定性直接影響

列車(chē)的運(yùn)行安全.我國(guó)目前軌道檢測(cè)的主要方法是機(jī)械檢測(cè)，通過(guò)使用機(jī)械傳感器和無(wú)損檢測(cè)設(shè)備（包

括激光三角位移傳感器、超聲波傳感器等）來(lái)測(cè)量軌道的各種參數(shù)（幾何尺寸、軌距、高差和曲率），

從而判斷軌道是否有損傷或缺陷.某?？苿?chuàng)活動(dòng)小組率先就“激光三角位移計(jì)”這一設(shè)備開(kāi)展了學(xué)習(xí)與探

究：

激光三角位移計(jì)是由半導(dǎo)體激光向目標(biāo)物照射激光，聚集目標(biāo)物反射的

閱讀概光，并在光接收元件上成像.一旦離目標(biāo)物的距離發(fā)生改變，聚集反射

述光的角度也會(huì)改變，成像的位置也隨之改變.可以通過(guò)成像的位移來(lái)計(jì)

算物體實(shí)際的移動(dòng)距離.

③①

被測(cè)量物體從初始位置移動(dòng)到最終位置，需要測(cè)量的是參考平面與目標(biāo)

測(cè)量平面的距離，也就是圖中點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的距離.假設(shè)激光通過(guò)

如圖，直線(xiàn)W〃直線(xiàn)4〃直線(xiàn)，2，直線(xiàn)MN垂直于/］和4，垂足分別

探究（1）設(shè)MN=m,請(qǐng)用含加和a的式子表示點(diǎn)N到直線(xiàn)跖VT的距離.

探究（2）已知MM=5,OM'=23,OM=132,求MN的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到個(gè)

位,sinax0.8,cosa?0.6,cota?0.75)

【答案】(1)“COS"(2)60

【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，

是解題的關(guān)鍵：

(1)過(guò)點(diǎn)N作射于點(diǎn)8,對(duì)頂角結(jié)合同角的余角相等，得到田=g，解直角三角形MBN,

求出的長(zhǎng)即可；

(2)作N'D〃MZV,交W于點(diǎn)。，解直角三角形證明△DON's.ON,列出比例式進(jìn)行求

解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)、N作NBLM'M于點(diǎn)、B,則：NNBM=90°,ZCMB=a,

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