平面向量試題及答案VIP

平面向量試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(2,x)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x\)的值為（）A.1B.2C.3D.42.向量\(\vec{a}=(3,4)\)的模\(\vert\vec{a}\vert\)為（）A.5B.6C.7D.83.若\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec=(-1,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)等于（）A.0B.1C.-1D.24.已知\(\vec{a}=(2,-3)\)，\(\vec=(-1,2)\)，則\(\vec{a}+\vec\)為（）A.\((1,-1)\)B.\((3,-5)\)C.\((1,1)\)D.\((-3,5)\)5.向量\(\vec{a}=(m,1)\)與\(\vec=(3,m)\)共線且方向相同，則\(m\)的值為（）A.\(\sqrt{3}\)B.\(-\sqrt{3}\)C.\(\pm\sqrt{3}\)D.36.已知\(\vert\vec{a}\vert=3\)，\(\vert\vec\vert=4\)，且\(\vec{a}\)與\(\vec\)夾角為\(60^{\circ}\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)為（）A.6B.\(6\sqrt{3}\)C.12D.\(12\sqrt{3}\)7.若\(\vec{a}=(x,1)\)，\(\vec=(4,x)\)，且\(\vec{a}\)與\(\vec\)共線，則實數(shù)\(x\)的值是（）A.2B.-2C.\(\pm2\)D.08.已知向量\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec=(m,4)\)，且\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(m\)的值為（）A.8B.-8C.2D.-29.向量\(\vec{a}=(3,-1)\)，\(\vec=(-1,2)\)，則\(3\vec{a}-2\vec\)等于（）A.\((11,-7)\)B.\((9,-6)\)C.\((7,-6)\)D.\((11,6)\)10.若\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-2,-4)\)，\(\vert\vec{c}\vert=\sqrt{5}\)，且\((\vec{a}+\vec)\cdot\vec{c}=\frac{5}{2}\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec{c}\)的夾角為（）A.\(30^{\circ}\)B.\(60^{\circ}\)C.\(120^{\circ}\)D.\(150^{\circ}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于平面向量的說法正確的是（）A.若\(\vec{a}\parallel\vec\)，\(\vec\parallel\vec{c}\)，則\(\vec{a}\parallel\vec{c}\)B.若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，且\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)C.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)D.\(\vert\vec{a}\vert^2=\vec{a}^2\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec=(-2,m)\)，\(\vec{c}=(-1,2)\)，則（）A.若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m=4\)B.若\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(m=1\)C.若\(\vec{a}\)與\(\vec{c}\)夾角為鈍角，則\(m\lt-\frac{1}{2}\)D.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{5}\)3.設(shè)向量\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec=(-1,3)\)，\(\vec{c}=(2,1)\)，且\((\vec{a}-\lambda\vec)\perp\vec{c}\)，則\(\lambda\)的值可以是（）A.-1B.0C.1D.24.已知向量\(\vec{a}=(2,-1)\)，\(\vec=(-1,m)\)，\(\vec{c}=(-1,2)\)，若\((\vec{a}+\vec)\parallel\vec{c}\)，則\(m\)的值為（）A.-1B.1C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)5.下列向量中，與向量\(\vec{a}=(1,-\sqrt{3})\)平行的向量有（）A.\((-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\)B.\((-1,\sqrt{3})\)C.\((2,-2\sqrt{3})\)D.\((\sqrt{3},-1)\)6.已知向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則下列條件中能使\(\vec{a}\perp\vec\)的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=0\)B.\(x_1x_2+y_1y_2=0\)C.\(\vert\vec{a}+\vec\vert=\vert\vec{a}-\vec\vert\)D.\(\vec{a}^2+\vec^2=(\vec{a}-\vec)^2\)7.已知向量\(\vec{a}=(3,-4)\)，則與\(\vec{a}\)同向的單位向量\(\vec{e}\)為（）A.\((\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)B.\((-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)C.\(\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}\)D.\(\frac{\vec{a}}{5}\)8.設(shè)向量\(\vec{a}=(2,1)\)，\(\vec=(1,-2)\)，則（）A.\(\vec{a}+\vec=(3,-1)\)B.\(\vec{a}-\vec=(1,3)\)C.\(\vec{a}\cdot\vec=0\)D.\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec\vert\)9.已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)滿足\(\vert\vec{a}\vert=2\)，\(\vert\vec\vert=1\)，且\(\vec{a}\cdot\vec=1\)，則（）A.\(\vec{a}\)與\(\vec\)夾角為\(60^{\circ}\)B.\((\vec{a}-2\vec)\perp\vec\)C.\(\vert\vec{a}+\vec\vert=\sqrt{7}\)D.\(\vec{a}\)在\(\vec\)方向上的投影為\(1\)10.已知向量\(\vec{m}=(x,1)\)，\(\vec{n}=(1,2)\)，且\(\vec{m}\perp\vec{n}\)，則（）A.\(x=-2\)B.\(\vert\vec{m}\vert=\sqrt{5}\)C.\(\vec{m}\cdot\vec{n}=0\)D.與\(\vec{m}\)同向的單位向量為\((-\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5})\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.零向量與任意向量平行。（）2.若\(\vec{a}\cdot\vec\gt0\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)夾角為銳角。（）3.向量\(\vec{a}=(1,2)\)與\(\vec=(2,4)\)是相等向量。（）4.若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)。（）5.若\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec\vert\)，則\(\vec{a}=\vec\)。（）6.向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec\)方向上的投影是一個向量。（）7.若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則存在唯一實數(shù)\(\lambda\)，使\(\vec=\lambda\vec{a}\)。（）8.\((\vec{a}\cdot\vec)\vec{c}=\vec{a}(\vec\cdot\vec{c})\)。（）9.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}=0\)或\(\vec=0\)。（）10.兩個向量的夾角范圍是\([0,\pi]\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec=(-1,2)\)，求\(\vec{a}+2\vec\)。答案：先計算\(2\vec=2(-1,2)=(-2,4)\)，則\(\vec{a}+2\vec=(2,3)+(-2,4)=(2-2,3+4)=(0,7)\)。2.已知\(\vec{a}=(1,-1)\)，\(\vec=(2,1)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec\)及\(\vert\vec{a}\vert\)。答案：\(\vec{a}\cdot\vec=1\times2+(-1)\times1=2-1=1\)；\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\)。3.已知向量\(\vec{a}=(3,-2)\)，\(\vec=(m,6)\)，且\(\vec{a}\parallel\vec\)，求\(m\)的值。答案：因為\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(3\times6-(-2)\timesm=0\)，即\(18+2m=0\)，解得\(m=-9\)。4.已知\(\vert\vec{a}\vert=3\)，\(\vert\vec\vert=4\)，\(\vec{a}\)與\(\vec\)夾角為\(60^{\circ}\)，求\((\vec{a}+2\vec)\cdot\vec{a}\)。答案：\((\vec{a}+2\vec)\cdot\vec{a}=\vec{a}^2+2\vec\cdot\vec{a}=\vert\vec{a}\vert^2+2\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\cos60^{\circ}=9+2\times3\times4\times\frac{1}{2}=9+12=21\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論向量平行與垂直在平面幾何中的應(yīng)用。答案：向量平行可用于證明線線平行、判斷相似圖形等，比如通過向量平行關(guān)系證明三角形中位線平行于底邊。向量垂直能證明線線垂直，在證明直角三角形、矩形等圖形性質(zhì)時常用，利用向量垂直的數(shù)量積為0來判斷邊的垂直關(guān)系。2.探討如何利用向量解決物理中的力與位移問題。答案：力和位移都可看作向量。求合力時用向量加法法則，如平行四邊形法則。計算力做的功，就是力向量與位移向量的數(shù)量積。通過向量運(yùn)算能準(zhǔn)確分析物體在多個力作用下的位移及做功情況，為解決實際物理問題提供有效方法。3.說說平面向量基本定理的意義和作用。答案：平面向量基本定理表明平面內(nèi)任一向量都能用一組基底向量線性表示。意義在于建立了向量與實數(shù)的聯(lián)系，作用是將復(fù)雜向量問題轉(zhuǎn)化為基底向量的線性運(yùn)算，方便進(jìn)行向量的加、減、數(shù)乘等運(yùn)算，是向量運(yùn)算和應(yīng)用的基礎(chǔ)。4.討論向量的模與向量夾角的關(guān)系在實際問題中的體現(xiàn)。答案：在實際中，如在力的合成與分解問題里，向量的模代表力的大小，向量夾