數列知識點歸納及例題分析

《數列》知識點歸納及例題分析數列的概念：歸納通項公式：注重經驗的積累例1.歸納下列數列的通項公式：(1)0，-3,8，-15,24，.......(2)21,211,2111,21111,......與的關系：注意：強調分開，注意下標；與之間的互化（求通項）例2：已知數列的前項和，求.數列的函數性質：單調性的判定與證明：定義法；函數單調性法最大（?。╉梿栴}：單調性法；圖像法數列的周期性：（注意與函數周期性的聯(lián)系）例3：已知數列滿足，，求.等差數列與等比數列1.等比數列與等差數列基本性質對比（類比的思想，比較相同之處和不同之處） 等差數列等比數列定義（是常數，…）（是常數，且，，…）通項公式推廣：推廣：求和公式中項公式（）（）重要性質1、等和性：（）（第二通項公式）及3、從等差數列中抽取等距離的項組成的數列是一個等差數列。如：（下標成等差數列）成等差數列是等差數列1、等積性：（）（第二通項公式）及3、從等比數列中抽取等距離的項組成的數列是一個等比數列。如：（下標成等差數列）4、成等比數列。（僅當公比且為偶數時，不成立）等價條件1.定義：an－an－1＝d(n≥2)是等差數列2.等差中項：2an＋1＝an＋an＋2是等差數列3.通項公式：（為常數）是等差數列4.前項和：（為常數）是等差數列1.定義：(n≥2)是等比數列2.等比中項：是等比數列3.通項公式：（且為常數）是等比數列4.前項和：（且為常數）是非常數列的等比數列聯(lián)系真數等比，對數等差；指數等差，冪值等比。例題：例4（等差數列的判定或證明）：已知數列{an}中，a1＝eq\f(3,5)，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，數列{bn}滿足bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)．(1)求證：數列{bn}是等差數列；(2)求數列{an}中的最大項和最小項，并說明理由．(1)證明∵an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，bn＝eq\f(1,an－1).∴n≥2時，bn－bn－1＝eq\f(1,an－1)－eq\f(1,an－1－1)例10在數列中，，，則.例11設的等比中項，則a+3b的最大值為2.例12若數列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,…,前100項之和為0,則θ的值為（）例13△ABC的三內角成等差數列,三邊成等比數列,則三角形的形狀為__等邊三角形_數列求和：（1）倒序相加法如：已知函數，求_________（2）錯位相減法：其中{}是等差數列，是等比數列。（3）裂項相消法：形如（4）拆項分組法：形如，如：，，練習：1、數列，，，···，的前n項和為（B）A．B．C．D．2、數列前項和．3、數列的通項公式為，則S100＝_________________。4、設，且，則．65、設，關于的函數，若，則數列前項的和________．答案：．解答：，，所以．四、求數列通項式（1）公式法：，，等（2）累加法：形如或，且不為常數（3）累乘法：形如且不為常數（4）待定系數法：形如,其中)型（5）轉換法：已知遞推關系解題思路：利用變化（1）已知；（2）已知猜想歸納法（慎用）練習：考點三：數列的通項式1、在數列中，前n項和，則通項公式_______________3、已知數列的前n項和，則_______________4、已知數列，，，則5、在數列中，（），則＝.6、如果數列滿足，則________________7、滿足，，則=_______8、已知數列的首項，且，則通項公式9、若數列滿足，則通項公式 10、如果數列的前n項和，那么這個數列的通項公式是（D） A． B． C． D．五、數列應用題：等差數列模型1、一種設備的價格為450000元，假設維護費第一年為1000元，以后每年增加1000元，當此設備的平均費用為最小時為最佳更新年限，那么此設備的最佳更新年限為。30年2、在一次人才招聘會上，有甲、乙兩家公司分別公布它們的工資標準：甲公司：第一年月工資數為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；乙公司：第一年月工資數為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎上遞增5%.設某人年初同時被甲、乙公司錄取，試問：（1）若該人打算連續(xù)工作年，則在第年的月工資收入分別是多少元？（2）若該人打算連續(xù)工作10年，且只考慮工資收入的總量，該人應該選擇哪家公司？為什么？(精確到1元)解：（1）設在甲公司第年的工資收入為元，在乙公司第年的工資收入為元則，（2）設工作10年在甲公司的總收入為，在甲公司的總收入為由于，所以該人應該選擇甲公司.等比數列模型例從社會效益和經濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產業(yè)，根據計劃，本年度投入萬元，以后每年投入將比上一年度減少，本年度當地旅游業(yè)收入估計為萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上一年增加。（1）設年內（本年度為第一年）總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元，寫出、的表達式；（2）至少經過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？（精確到整數）參考解答：（1）（2）解不等式，得，至少經過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.2017年高考題選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）(2017年新課標Ⅰ)記為等差數列的前項和．若，，則的公差為（） 2.(2017年新課標Ⅱ卷理)我國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座層塔共掛了盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的倍，則塔的頂層共有燈（）盞盞盞盞(2017年新課標Ⅲ卷理)等差數列的首項為，公差不為．若成等比數列，則前項的和為（） (2017年浙江卷)已知等差數列的公差為，前項和為，則“”是“”的（）充分不必要條件 必要不充分條件充分必要條件 既不充分也不必要條件(2017年新課標Ⅰ)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列其中第一項是，接下來的兩項是，再接下來的三項是，是（） 二、填空題（將正確的答案填在題中橫線上）6.(2017年北京卷理)若等差數列和等比數列滿足，=_______.7.(2017年江蘇卷)等比數列的各項均為實數，其前項和為，已知，則=_______________．(2017年新課標Ⅱ卷理)等差數列的前項和為，，，則．9.(2017年新課標Ⅲ卷理)設等比數列滿足，則__．三、解答題（應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）10.(2017年新課標Ⅱ文)已知等差數列前項和為，等比數列前項和為（1）若，求的通項公式；（2）若，求.11.(2017年新課標Ⅰ文)記為等比數列的前項和，已知（1）求的通項公式；（2）求，并判斷是否成等差數列。12.(2017年全國Ⅲ卷文)設數列滿足（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和；13.(2017年天津卷文)已知為等差數列，前項和為，是首項為的等比數列，且公比大于，．（1）求和的通項公式；（2）求數列的前項和．14.(2017年山東卷文)已知是各項均為正數的等比數列,且.（1）求數列的通項公式；（2）為各項非零等差數列,前項和,已知,求數列前項和15.(2017年天津卷理)已知為等差數列，前項和為，是首項為的等比數列，且公比大于，,，.（1）求和的通項公式；（2）求數列的前項和.16.(2017年北京卷理)設和是兩個等差數列，記，其中表示這個數中最大的數．（1）若，，求的值，并證明是等差數列；（2）證明：或者對任意正數，存在正整數，當時，；或者存在正整數，使得是等差數列．(2017年江蘇卷)對于給定的正整數，若數列滿足：對任意正整數總