大一線代期末試題及答案VIP

大一線代期末試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.二階行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(\vertA\vert=0\)，則（）A.\(A\)的列向量組線性無關(guān)B.\(A\)的行向量組線性無關(guān)C.\(A\)不可逆D.\(A\)是零矩陣3.向量組\(\vec{\alpha}_1=(1,0,0),\vec{\alpha}_2=(0,1,0),\vec{\alpha}_3=(0,0,1)\)的秩為（）A.1B.2C.3D.04.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=0\)D.\(A-B=0\)5.若\(A\)是\(3\)階方陣，\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert\)的值為（）A.4B.8C.16D.326.齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充分必要條件是（）A.\(A\)的行向量組線性相關(guān)B.\(A\)的列向量組線性相關(guān)C.\(A\)的行向量組線性無關(guān)D.\(A\)的列向量組線性無關(guān)7.設(shè)\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，\(A^\)是\(A\)的伴隨矩陣，則\((A^)^{-1}\)等于（）A.\(\frac{1}{\vertA\vert}A\)B.\(\vertA\vertA\)C.\(\frac{1}{\vertA\vert}A^\)D.\(\vertA\vertA^\)8.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)的特征值為（）A.1,1B.2,2C.1,2D.0,09.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(E\)為\(n\)階單位矩陣，若\(A^2-A-2E=0\)，則\((A-E)^{-1}\)等于（）A.\(A-2E\)B.\(A+2E\)C.\(\frac{1}{2}(A-2E)\)D.\(\frac{1}{2}(A+2E)\)10.若向量\(\vec{\alpha}=(1,k,2)\)與向量\(\vec{\beta}=(2,-1,1)\)正交，則\(k\)的值為（）A.4B.3C.2D.1二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于矩陣運算正確的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（\(AB=BA\)時）C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.\(A(B+C)=AB+AC\)2.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(Ax=b\)為非齊次線性方程組，則（）A.若\(r(A)=r(A|b)=n\)，則方程組有唯一解B.若\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，則方程組有無窮多解C.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，則方程組無解D.若\(r(A)=n\)，則方程組有解3.向量組\(\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_s\)線性相關(guān)的充分必要條件是（）A.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\vec{\alpha}_1+k_2\vec{\alpha}_2+\cdots+k_s\vec{\alpha}_s=0\)B.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示C.向量組的秩小于\(s\)D.向量組中任意兩個向量線性相關(guān)4.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量C.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)D.\(r(A)=r(B)\)5.以下關(guān)于可逆矩陣的性質(zhì)正確的是（）A.可逆矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣可逆B.可逆矩陣的逆矩陣可逆C.兩個可逆矩陣的乘積可逆D.可逆矩陣的伴隨矩陣可逆6.設(shè)\(A\)是\(n\)階實對稱矩陣，則（）A.\(A\)的特征值都是實數(shù)B.屬于\(A\)不同特征值的特征向量正交C.存在正交矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)為對角矩陣D.\(A\)一定可逆7.下列哪些矩陣是初等矩陣（）A.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\3&0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)8.對于\(n\)階方陣\(A\)，以下說法正確的是（）A.若\(A\)可相似對角化，則\(A\)有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量B.若\(A\)有\(zhòng)(n\)個不同的特征值，則\(A\)可相似對角化C.若\(A\)的特征值都是單根，則\(A\)可相似對角化D.若\(A\)是實對稱矩陣，則\(A\)可相似對角化9.設(shè)\(\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}\)為向量，\(k\)為實數(shù)，則下列運算正確的有（）A.\(\vec{\alpha}+\vec{\beta}=\vec{\beta}+\vec{\alpha}\)B.\(k(\vec{\alpha}+\vec{\beta})=k\vec{\alpha}+k\vec{\beta}\)C.\((\vec{\alpha}+\vec{\beta})+\vec{\gamma}=\vec{\alpha}+(\vec{\beta}+\vec{\gamma})\)D.\(k(l\vec{\alpha})=(kl)\vec{\alpha}\)10.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\vec{x}\)是對應(yīng)的特征向量，則（）A.\(A\vec{x}=\lambda\vec{x}\)B.\((A-\lambdaE)\vec{x}=0\)C.\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)D.對于任意非零常數(shù)\(k\)，\(k\vec{x}\)也是\(A\)對應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)、\(B\)為方陣，且\(AB=BA\)，則\((A+B)(A-B)=A^2-B^2\)。（）2.若向量組\(\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3\)線性相關(guān)，則\(\vec{\alpha}_1\)一定能由\(\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3\)線性表示。（）3.方陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的列向量組線性相關(guān)。（）4.若\(A\)為可逆矩陣，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)也可逆。（）5.相似矩陣一定有相同的秩。（）6.齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解，則\(A\)的列向量組線性無關(guān)。（）7.若\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，則\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值。（）8.對矩陣\(A\)施行初等行變換，不改變\(A\)的列向量組的線性相關(guān)性。（）9.若\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)等價，則\(A\)與\(B\)相似。（）10.實對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量一定正交。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的充分必要條件。答：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充分必要條件是\(\vertA\vert\neq0\)，此時\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^\)。2.什么是向量組的極大線性無關(guān)組？答：向量組中一個部分組，若它線性無關(guān)，且向量組中任意向量都可由該部分組線性表示，則這個部分組就是向量組的極大線性無關(guān)組。3.簡述相似矩陣的定義。答：設(shè)\(A\)、\(B\)都是\(n\)階方陣，若存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)，則稱\(A\)與\(B\)相似。4.簡述實對稱矩陣的性質(zhì)。答：實對稱矩陣特征值為實數(shù)；不同特征值對應(yīng)的特征向量正交；一定可相似對角化，即存在正交矩陣\(P\)使\(P^{-1}AP\)為對角陣。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論線性方程組\(Ax=b\)解的情況與系數(shù)矩陣\(A\)和增廣矩陣\((A|b)\)秩的關(guān)系。答：當(dāng)\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)），方程組有唯一解；當(dāng)\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，有無窮多解；當(dāng)\(r(A)\ltr(A|b)\)，方程組無解。2.討論矩陣可相似對角化的條件。答：\(n\)階方陣\(A\)可相似對角化的充分必要條件是\(A\)有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量。若\(A\)有\(zhòng)(n\)個不同特征值或\(A\)是實對稱矩陣，則\(A\)可相似對角化。3.討論向量組線性相關(guān)性與向量組秩的關(guān)系。答：向量組線性相關(guān)時，其秩小于向量組中向量的個數(shù)；向量組線性無關(guān)時，其秩等于向量組中向量的個數(shù)。秩是極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)。4.討論伴隨矩陣\(A^\)與矩陣\(A\)的關(guān)系。答：\(AA^=A^A=\vertA\vertE\)。當(dāng)\(A\)可逆時，\(A^=\vertA\vertA^{-1}\)。且\(r(A^)=n\)（\(r(A)=n\)），\(r(A^)=1\)（\(r(A)=n-1\)），\(r(A^)=0\)（\(r(A