安徽省合肥市示范中學(xué)2025屆高三下學(xué)期5月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè) 數(shù)學(xué)試題（含解析）

安徽省合肥市示范中學(xué)2025屆高三下學(xué)期5月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則（

）A．4 B． C． D．4．已知空間中兩條直線，無(wú)公共點(diǎn)，則“直線，與平面所成的角相等”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．有4位同學(xué)到書(shū)店購(gòu)買課外書(shū)，每人購(gòu)買一本，根據(jù)需求，書(shū)店有5種書(shū)適合4位同學(xué)購(gòu)買，那么4位同學(xué)恰好購(gòu)買了3種書(shū)的購(gòu)買方法有（

）A．240種 B．360種 C．480種 D．500種6．設(shè)雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線在第一象限交于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．7．已知，其中，若，，，則的范圍為（

）A． B． C． D．8．已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都等于3，點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作平面，若平面平面，則平面截正四棱錐的截面面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．有一組樣本數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，現(xiàn)去除其中的兩個(gè)數(shù)據(jù)，去除的兩個(gè)數(shù)據(jù)記為和，則下列一定正確的是（

）A．若，則極差不變 B．若，則第75百分位數(shù)不變C．若，則平均數(shù)不變 D．若，則中位數(shù)不變10．已知實(shí)數(shù),滿足,,，則下列正確的是（

）A． B． C． D．11．已知，，且當(dāng)時(shí)，則下列正確的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C． D．三、填空題12．已知向量，，若，則.13．已知點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上，，則的最大值為.14．已知，若，則的范圍為.四、解答題15．在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足.（1）求角；（2）已知面積為，為7，求邊上中線長(zhǎng).16．如圖，三棱錐中，，，，平面平面，是中點(diǎn)，且滿足.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.17．某城市推廣垃圾分類，設(shè)置智能回收箱（方式）和傳統(tǒng)垃圾桶（方式）．統(tǒng)計(jì)顯示，60%的居民選擇方式，選擇方式，若垃圾被正確分類，則垃圾被回收，不用填埋．智能回收箱的正確分類率為，錯(cuò)誤分類后需人工處理，人工處理可將錯(cuò)誤分類垃圾的40%重新正確分類，其余直接填埋；傳統(tǒng)垃圾桶的正確分類率為75%，錯(cuò)誤分類后直接填埋．（1）求垃圾最終被填埋的概率；（2）若某噸垃圾被填埋，求其最初通過(guò)傳統(tǒng)垃圾桶投放的概率；（3）現(xiàn)有一噸垃圾要整體處理，設(shè)為其處理成本（單位：元），正確分類無(wú)需成本，人工處理成本為200元，填埋成本為500元.求的分布列及數(shù)學(xué)期望．18．已知拋物線：，過(guò)拋物線焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），已知線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)為.（1）求拋物線方程；（2）點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，位于，兩點(diǎn)之間且與，兩點(diǎn)不重合.若直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，其中點(diǎn)在點(diǎn)的上方.（i）是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ii）求線段長(zhǎng)度最小值.19．已知函數(shù)（1）證明不等式：；（2）記，證明：；（3）已知，證明：.

參考答案1．【答案】A【詳解】由題得，，或，則，故選A．2．【答案】D【詳解】，則，故選D．3．【答案】C【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，設(shè)公比為，且，，則，又因?yàn)椋?故選C.4．【答案】B【詳解】如圖所示：在正方體中，令直線，，下底面為平面，顯然“直線，與平面所成的角相等”，但是“”不成立；由線面角的定義可知：若“”，則“直線，與平面所成的角相等”成立；即“直線，與平面所成的角相等”是“”的必要不充分條件，故選B5．【答案】B【詳解】首先選出3種書(shū)，有種選法，再將4位同學(xué)分成的三組，有種選法，最后將種書(shū)分配給三組同學(xué)，有種分配的方法，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有種購(gòu)買方法.故選B6．【答案】C【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則，又，所以，由直線的斜率為，所以，結(jié)合得，，在中，由余弦定理得，整理得，，解得或（不合題意舍去），故選C．7．【答案】D【詳解】定義域?yàn)?，因，根?jù)的函數(shù)圖象以及圖象變換可畫(huà)出的函數(shù)圖象，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)又，則，，則，即，則，因，則，得，則，故的范圍為.故選D8．【答案】C【詳解】點(diǎn)是的重心，，過(guò)作交于，并延長(zhǎng)交于，過(guò)作，過(guò)作，如圖四邊形為截面，∵點(diǎn)是的重心，，∴，∴，，，，四邊形為等腰梯形，故面積為.故選C.9．【答案】ACD【詳解】樣本數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，現(xiàn)去除其中的兩個(gè)數(shù)據(jù)，去除的兩個(gè)數(shù)據(jù)記為和，當(dāng)，則或，所以極差為不變，A選項(xiàng)正確；若，則，數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，，第75百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)，數(shù)據(jù)1，3，4，5，6，7，8，10，，則第75百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以第75百分位數(shù)改變了，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，當(dāng)，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則平均數(shù)不變，C選項(xiàng)正確；原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，當(dāng)，設(shè)，，新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則中位數(shù)不變，D選項(xiàng)正確；故選ACD.10．【答案】AD【詳解】對(duì)不等式進(jìn)行變形化簡(jiǎn)得：，設(shè).求導(dǎo)得：.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.由，且函數(shù)單調(diào)遞增，可得，即.對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以平方可得?A正確.對(duì)于選項(xiàng)B：取反例，當(dāng)時(shí)，，滿足題意.而，所以B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C：取反例，當(dāng)時(shí)，計(jì)算選項(xiàng)C的左邊為，右邊，此時(shí)，C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D：令，求導(dǎo)得，可以看出該導(dǎo)數(shù)在上小于0.所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)?，所以，所?由前面可知，所以，所以選項(xiàng)D正確.故選AD.11．【答案】BCD【詳解】∵，∴，即，兩式相乘，∵，∴，即，∴，所以函數(shù)周期為6，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，又，故B正確；∵，∴除以6余數(shù)為5，故，故C正確，由題知，，代入可求，∴，故D正確，故選BCD.12．【答案】【詳解】∵，，∴，解得.13．【答案】【詳解】橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，長(zhǎng)半軸，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑為1，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，又，，所以.14．【答案】【詳解】由題可得：則注意到，則注意到，則，.注意到，則.則或，則或，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，.綜上可得：的范圍是.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ磉吇堑美萌切蝺?nèi)角和定理可得即因?yàn)樗裕匆驗(yàn)?，所?（2）由得①由得②由①②得由，得.16．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【詳解】（1）連接，因?yàn)?，是中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且面，，所以面，又因?yàn)槊?，所以，由，又，，得；?）由（1）知，，，兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)，分別是面和面的法向量，二面角記為，由，令，得，得是面的一個(gè)法向量，由，令，得，得是面的一個(gè)法向量，所以，所以，故二面角的正弦值為.17．【答案】（1）0.154（2）（3）分布列見(jiàn)解析，95【詳解】（1）記為事件“垃圾按照方式分類”，為事件“垃圾最終被填埋”，則．（2）由題意得，．（3）由題意，的可能取值為0，200，500，700，且，，，，故分布列如下：02005007000.810.0360.10.054．18．【答案】（1）（2）（i）存在點(diǎn)；（ii）4【詳解】（1）解：由題意，可得方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程，整理得，所以，所以，拋物線方程為.（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以由（1）可得，.設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在點(diǎn)的上方，所以，直線,令，可得，同理.（i）延長(zhǎng)交準(zhǔn)線于，可