2025年新高二數(shù)學(xué)（人教A版暑假銜接）新課預(yù)習-3.3 拋物線（教師版）-新高二暑假銜接VIP

3.3拋物線【劃重點】1．掌握拋物線的定義及其焦點、準線的概念.2．會求簡單的拋物線方程．3．掌握拋物線的幾何性質(zhì).4．會求一些與拋物線有關(guān)的軌跡方程問題.5．掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問題．【知識梳理】知識點一拋物線的定義1．定義：平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l(不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡．2．焦點：定點F.3．準線：定直線l.知識點二拋物線的簡單幾何性質(zhì)標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點坐標Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)頂點坐標O(0,0)離心率e＝1通徑長2p知識點三和拋物線有關(guān)的軌跡方程根據(jù)定義，可以直接判定一個動點的軌跡是拋物線，求動點的軌跡方程．知識點四直線和拋物線1．直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點個數(shù)決定于關(guān)于x的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的個數(shù)，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個數(shù)．當k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；若Δ＝0，直線與拋物線有一個公共點；若Δ<0，直線與拋物線沒有公共點．當k＝0時，直線與拋物線的軸平行或重合，此時直線與拋物線有1個公共點．2．拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為2p.3．拋物線的焦點弦過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的一條直線與它交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).【例題詳解】一、求拋物線的標準方程例1(1)已知點是拋物線的焦點，是上的一點，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義即可求解.【詳解】由拋物線的定義可知，，所以．故選：C.(2)已知拋物線C與雙曲線有相同的焦點，且頂點在原點，則拋物線C的方程是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的方程可求得其焦點坐標，從而可設(shè)拋物線的方程，利用焦點和雙曲線焦點相同，求得參數(shù)值，即得答案.【詳解】由已知可知雙曲線的焦點為,故設(shè)拋物線方程為，則，故，所以拋物線方程為,故選:D.(3)已知拋物線過點，則拋物線的標準方程為．【答案】或【分析】由于點在第四象限，所以拋物線的開口向右或向下，然后設(shè)出拋物線方程，將點的坐標代入可求出，從而可得拋物線方程【詳解】∵拋物線過點，且點在第四象限，∴拋物線的開口向右或向下．若開口向右，則設(shè)方程為，∵過點，∴，∴拋物線的標準方程為；若開口向下，則設(shè)方程為，∵過點，∴，∴拋物線的標準方程為．綜上，拋物線的標準方程為或．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知點為拋物線：上一點，且點到軸的距離比它到焦點的距離小3，則（

）A．3 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】由拋物線的定義可知點到焦點的距離等于它到準線的距離，可得，從而得出答案.【詳解】由題得，拋物線的準線方程為，由拋物線的定義可知，點到焦點的距離等于它到準線的距離，所以點到軸的距離比它到準線的距離小3，于是得，所以．故選：B【點睛】本題考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.(2)以橢圓的左焦點為焦點的拋物線的標準方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓和拋物線的幾何意義求解即可.【詳解】由橢圓可得，所以左焦點坐標為，所以以為焦點的拋物線的標準方程為，故選：C.(3)已知拋物線的準線是圓與圓的公共弦所在的直線，則拋物線的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出兩個圓的公共弦所在的直線方程，再求出拋物線方程作答.【詳解】將兩圓、的方程相減得：，顯然圓的圓心到直線距離1小于其半徑2，圓的圓心到直線距離小于其半徑，因此直線是圓與圓的公共弦所在的直線，即拋物線的準線，所以拋物線的標準方程為：.故選：C二、拋物線定義的應(yīng)用例2(1)已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，若到直線的距離為7，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為點到準線的距離為，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【詳解】由拋物線的焦點為，準線方程為，如圖，因為點在上，且到直線的距離為，可得到直線的距離為，即點到準線的距離為，根據(jù)拋物線的定義，可得點到焦點的距離等于點到準線的距離，所以.故選：B(2)已知拋物線的焦點為，為拋物線上一個動點，，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用拋物線的定義，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】由題意可知拋物線的焦點坐標為，準線的方程為，過作于，由拋物線定義可知，所以，則當共線時取得最小值，所以最小值為．故選：B．(3)已知拋物線的焦點為F，點P在C上，若點，則周長的最小值為（

）．A．13 B．12 C．10 D．8【答案】A【分析】由拋物線的定義結(jié)合三點共線取得最小值.【詳解】，故,記拋物線的準線為，則：，記點到的距離為，點到的距離為，則.故選：A.

(4)若拋物線C：上的一點到焦點的距離為，到軸的距離為3，則.【答案】2【分析】由拋物線的定義可得，解之即可求得.【詳解】拋物線C：上的一點到焦點的距離為，該點到準線的距離為.又該點到軸的距離為3，，解之可得或，又.故答案為：.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知點P是拋物線上的動點，點P在y軸上的射影是點M，已知點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由題意求得拋物線的準線和焦點，再利用拋物線的定義即可求得的最小值.【詳解】因為拋物線的方程為，所以拋物線的準線：，焦點，不妨設(shè)在準線：上的射影為，又，如圖，所以.故選：A..(2)設(shè)拋物線的焦點為F，l為準線，P為C上一動點，則點P到準線l的距離和點P到直線的距離之和的最小值為（

）A．4 B．3 C． D．【答案】A【分析】過點，作與直線垂直，垂足為，結(jié)合拋物線的定義可知.結(jié)合圖象可知，當共線時，距離和取得最小值，根據(jù)點到直線的距離，即可得出答案.【詳解】由已知，可得，過點P作，垂足為.由拋物線的定義，點到準線的距離等于點到焦點的距離.過點，作與直線垂直，垂足為，則，當三點共線，且點位于線段上時，等號成立.此時的最小值等于點到直線的距離.故選：A.三、拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用例3(1)（多選）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（

）A．開口向左 B．焦點坐標為 C．準線為 D．對稱軸為軸【答案】AD【分析】根據(jù)拋物線標準方程依次判斷選項即可得到答案.【詳解】對選項A，，開口向左，故A正確；對選項B，，焦點為，故B錯誤；對選項C，，準線方程為，故C錯誤；對選項D，，對稱軸為軸，故D正確.故選：AD(2)已知拋物線上一點到其準線及對稱軸的距離分別為3和，則（

）A．2 B．2或4 C．1或2 D．1【答案】B【解析】由題意，得到，結(jié)合拋物線方程，即可求出結(jié)果.【詳解】因為拋物線上一點到其準線及對稱軸的距離分別為3和，所以，即，代入拋物線方程可得，整理得，解得或.故選：B.(3)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，M為C上一點，若，則的面積為（

）A． B． C．8 D．【答案】A【分析】先根據(jù)定義求出點的橫坐標，將其代入拋物線方程，求出點的縱坐標，進而求出面積.【詳解】由可得拋物線的焦點，準線方程為，由拋物線焦半徑公式知，將代入，可得，所以的面積為，故選：A．跟蹤訓(xùn)練3(1)等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點，OA⊥OB，則△AOB的面積是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p2【答案】B【詳解】因為拋物線的對稱軸為x軸，內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性知，直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45°.由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y2＝2px))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2p，,y＝2p，))不妨設(shè)A，B兩點的坐標分別為(2p，2p)和(2p，－2p)．所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×4p×2p＝4p2.(2)邊長為1的等邊三角形AOB，O為坐標原點，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點且過A，B的拋物線方程是()A．y2＝eq\f(\r(3),6)x B．y2＝－eq\f(\r(3),3)xC．y2＝±eq\f(\r(3),6)x D．y2＝±eq\f(\r(3),3)x【答案】C【詳解】設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．又Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取點A在x軸上方)，則有eq\f(1,4)＝±eq\f(\r(3),2)a，解得a＝±eq\f(\r(3),6)，所以拋物線方程為y2＝±eq\f(\r(3),6)x.故選C.(2)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點，若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為eq\r(3)，則拋物線的焦點坐標為()A．(2,0) B．(1,0)C．(8,0) D．(4,0)【答案】B【詳解】因為eq\f(c,a)＝2，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝4，于是b2＝3a2，則eq\f(b,a)＝eq\r(3)，故雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.而拋物線y2＝2px(p>0)的準線方程為x＝－eq\f(p,2)，不妨設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(3)p,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(3)p,2)))，則|AB|＝eq\r(3)p，又三角形的高為eq\f(p,2)，則S△AOB＝eq\f(1,2)·eq\f(p,2)·eq\r(3)p＝eq\r(3)，即p2＝4.因為p>0，所以p＝2，故拋物線焦點坐標為(1,0)．四、和拋物線有關(guān)的軌跡問題例4(1)動點滿足方程，則點M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】根據(jù)軌跡方程所代表的意義和拋物線的定義可得答案.【詳解】由得，等式左邊表示點和點的距離，等式的右邊表示點到直線的距離，整個等式表示的意義是點到點的距離和到直線的距離相等，且點不在直線上，所以其軌跡為拋物線.故選：D.(2)設(shè)圓與y軸交于A，B兩點（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點P到A的距離等于P到l的距離，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意分別求得，的坐標與切線，再根據(jù)拋物線的定義即可求得動點的軌跡方程．【詳解】因為圓與軸交于，兩點（在的上方），所以，，又因為過作圓的切線，所以切線的方程為，因為動點到的距離等于到的距離，所以動點的軌跡為拋物線，且其焦點為，準線為，所以的軌跡方程為．故選：A.跟蹤訓(xùn)練4已知動圓M與直線相切，且與定圓C：外切，那么動圓圓心M的軌跡方程為.【答案】【分析】根據(jù)動圓與直線相切，且與定圓C：外切，可得動點到的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程．【詳解】解：方法一：由題意知，設(shè)，則，，解得.方法二：由題意知，動點M到的距離比到的距離多1，則動點M到的距離與到的距離相等，根據(jù)拋物線的定義，為準線，為焦點，設(shè)拋物線為，，，故.故答案為：.五、直線與拋物線的位置關(guān)系例5(1)已知過拋物線的焦點，且傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，則（

）A．32 B． C． D．8【答案】A【分析】由題意可得直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程得，由韋達定理可得，再根據(jù)拋線的定義即可得答案.【詳解】解：因為拋物線，所以，，所以直線的方程為，由，得，顯然，設(shè)則有，所以，由拋物線定義可知.故選：A.(2)（多選）已知拋物線的焦點為F，過焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點（其中點A在x軸上方），則（

）A．B．弦AB的長度最小值為lC．以AF為直徑的圓與y軸相切D．以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切【答案】ACD【分析】由弦長公式計算可得選項A、B；C、D選項，可以利用圓的性質(zhì)，圓心到直線的距離等于半徑判定直線與圓相切.【詳解】

由題，焦點，設(shè)直線,聯(lián)立，，，同理可得，，，故A選項正確；，故弦AB的長度最小值為4，B選項錯誤；記中點，則點M到y(tǒng)軸的距離為，由拋物線的性質(zhì)，，所以以AF為直徑的圓與y軸相切，故C選項正確；，記中點，則點N到拋物線的準線的距離，故以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切，D選項正確.故選：ACD.【點睛】結(jié)論點睛：拋物線的焦點弦常見結(jié)論：設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

(1)(2)弦長(α為弦AB的傾斜角)．(3)以弦AB為直徑的圓與準線相切．(4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長度等于2p，通徑是過焦點最短的弦．(5)（定值）.(6)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.(3)已知拋物線：的焦點為，過點作的一條切線，切點為，則的面積為【答案】【分析】求出切點坐標后可求的面積.【詳解】過點作的一條切線，該切線的斜率必定存在，可設(shè)為，則切線方程為：，由可得即，所以，故，所以，而，故的面積為.

故答案為：跟蹤訓(xùn)練5(1)已知命題p：，命題q：直線與拋物線有兩個公共點，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消元后利用判別式為正可求的范圍，故可得正確的選項.【詳解】由和可得，整理得到：，因為直線與拋物線有兩個不同的交點，故，故，故命題q成立能推出命題p成立；反之，若，取，此時僅有一個實數(shù)根，故此時直線與拋物線僅有一個不同的交點，故命題p成立不能推出命題q成立，故p是q的必要不充分條件，故選：B.(2)（多選）設(shè)F為拋物線C：的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】求得直線AB的方程，代入拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求解可判斷CD；利用數(shù)量積的定義計算可判斷B；由拋物線的定義求解可判斷A．【詳解】拋物線C的焦點為，所以直線AB的方程為，將代入，整理得，設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系得，故D錯誤；，故C錯誤；，故B正確；由拋物線的定義可得，故A正確.故選：AB．【課堂鞏固】1．過點，且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)拋物線方程為，代入點的坐標，即可求出的值，即可得解；【詳解】解：依題意設(shè)拋物線方程為，因為拋物線過點，所以，解得，所以拋物線方程為；故選：C2．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線交拋物線于兩點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，作出拋物線與直線AB的圖像，利用拋物線的定義將曲線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為曲線上的點到準線的距離，借助幾何圖形可判斷直線AB的傾斜角，從而可得答案．【詳解】如圖，當點在第一象限時，過點分別向準線作垂線，垂足為，作，垂足為，則軸，設(shè)，則，，由拋物線的定義得，則有，在中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，，，∴，于是直線l的傾斜角為，斜率．當點在第四象限時，根據(jù)拋物線的對稱性可得斜率為.故選：D．3．若動點到點的距離等于它到直線的距離，則點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義求得正確答案.【詳解】依題意，動點到點的距離等于它到直線的距離，所以的軌跡為拋物線，，所以點的軌跡方程為.故選：D4．已知直線和直線，拋物線上一動點到直線和距離之和的最小值是（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義可得動點到直線和直線的距離之和的最小值為焦點到直線的距離加1，由點到直線的距離公式計算可得選項.【詳解】由題可知是拋物線的準線，設(shè)拋物線的焦點為，則，所以動點到的距離等于到的距離加1，即動點到的距離等于.所以動點到直線和直線的距離之和的最小值為焦點到直線的距離加1，即其最小值是.

故選：D5．拋物線的焦點為F，點，P為拋物線上的動點，則的最小值為（

）A． B．3 C．2 D．【答案】A【分析】利用拋物線定義，結(jié)合圖形可解.【詳解】如圖，過點P作PH垂直于準線，垂直為H，根據(jù)拋物線的定義，所以當A，P，H三點共線時最小，此時.故選：A．

6．拋物線上一點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出與平行且與相切的直線方程，從而與之間的距離即為上一點到直線距離的最小值，利用點到直線距離公式求出即可.【詳解】設(shè)直線與相切，聯(lián)立與得：，由，得：，則直線為，故與之間的距離即為上一點到直線距離的最小值，由兩平行線間距離公式得：.故選：A7．在平面直角坐標系xOy中，拋物線上點到焦點的距離為3，則焦點到y(tǒng)軸的距離為（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】C【分析】由拋物線的性質(zhì)可求得，從而可得焦點坐標.【詳解】拋物線的準線方程為：，由拋物線的性質(zhì)可知：點到焦點的距離等于到準線的距離，即，得，拋物線方程為，則焦點坐標為，焦點到y(tǒng)軸的距離為2.故選：C8．已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線交于點，與拋物線的一個交點為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作，根據(jù)共線向量可確定為中點，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可求得，根據(jù)拋物線定義可求得，進而得到.【詳解】由拋物線方程知：，，設(shè)準線與軸交于點，作，垂足為，，為中點，又，，由拋物線定義知：，.故選：C.9．（多選）已知拋物線的焦點在直線上，則拋物線的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】分焦點在軸，軸上進行討論，根據(jù)條件求出即可【詳解】由于焦點在直線上，則當焦點在y軸上時，令，所以焦點坐標為：，設(shè)方程為，由焦點坐標知，所以拋物線的方程為：當焦點在x軸上時，令，所以焦點坐標為：，設(shè)方程為，由焦點坐標知，所以拋物線的方程為：，故選：BC.10．（多選）已知拋物線的焦點為是拋物線上一個動點，點，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．過點與拋物線有唯一公共點的直線有2條C．的最小值為D．點到直線的最短距離為【答案】AD【分析】先求出拋物線的焦點坐標和準線方程，根據(jù)該拋物線的性質(zhì)逐項分析.【詳解】由拋物線方程知：，焦點坐標為，準線方程為：；對于A，表示點M到焦點F的距離，等于M點到準線的距離，即，正確；對于B，如圖：過A點有和y軸與拋物線C有一個交點，錯誤；對于C，當M點在AF的連線上時，最小，錯誤；對于D，設(shè)，由點到直線距離公式得，當時，d最小，，正確；故選：AD.11．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，則．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義到焦點的距離等于到準線的距離計算可得.【詳解】拋物線的準線方程為，因為點在拋物線上，且，所以，解得.故答案為：12．已知為拋物線上的動點，為拋物線的焦點，點，則周長的最小值為.【答案】7【分析】設(shè)拋物線的準線為，過作于，過作于，由拋物線的性質(zhì)可將的周長轉(zhuǎn)化為，由圖可知當三點共線時，取得最小值，從而可求得答案.【詳解】當時，，所以點在拋物線內(nèi)，由，得焦點為，準線為，過作于，過作于，則，所以的周長為，由圖可知當三點共線時，取得最小值，此時的最小值為，因為，所以的最小值為7，即的周長的最小值為7，故答案為：7

13．若點滿足方程，則點P的軌跡是．【答案】拋物線【分析】根據(jù)軌跡方程所代表的意義判斷點的軌跡滿足曲線的定義.【詳解】由得，等式左邊表示點和點的距離，等式的右邊表示點到直線的距離.整個等式表示的意義是點到點的距離和到直線的距離相等，其軌跡為拋物線.故答案為：拋物線14．已知拋物線的焦點為F，點M（3，6），點Q在拋物線上，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義可求出結(jié)果.【詳解】拋物線的準線方程為，過作準線的垂線，垂足為，則，所以.當且僅當與準線垂直時，取等號.所以的最小值為.

故答案為：.15．分別求符合下列條件的拋物線方程:(1)頂點在原點,以坐標軸為對稱軸,且過點;(2)頂點在原點,以坐標軸為對稱軸,焦點到準線的距離為.【答案】(1)或(2)或或或【分析】（1）由題意方程可設(shè)為或,將代入求解即可;（2）根據(jù)拋物線的定義焦點到準線的距離為,即,寫出拋物線方程即可.【詳解】（1）由題意,方程可設(shè)為或,將點的坐標代入,得或,∴或,∴所求的拋物線方程為或.（2）由焦點到準線的距離為,可知,∴所求拋物線方程為或或或.16．已知拋物線的焦點在直線上(1)求拋物線的方程(2)設(shè)直線經(jīng)過點，且與拋物線有且只有一個公共點，求直線的方程【答案】(1)(2)的方程為、、【分析】（1）求得點的坐標，由此求得，進而求得拋物線的方程.（2）結(jié)合圖象以及判別式求得直線的方程.【詳解】(1)拋物線的焦點在軸上，且開口向上，直線與軸的交點為，則，所以，拋物線的方程為.(2)當直線的斜率不存在時，直線與拋物線只有一個公共點.那個直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，，解得或.所以直線的方程為或.綜上所述，的方程為、、.【課時作業(yè)】1．若拋物線上的點到其焦點的距離是點到軸距離的3倍，則等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】由拋物線的定義得出，將點坐標代入方程可得．【詳解】由題意，，，則，解得故選：D2．若拋物線（）上一點到其焦點的距離為2，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用焦半徑公式解方程算出即可獲解.【詳解】∵拋物線上的點到焦點的距離為2，∴，即，則，∴，則.故選：D.3．已知拋物線的焦點為，直線與該拋物線交于A，B兩點，則（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得拋物線的方程，從而可得坐標，從而得到.【詳解】因為拋物線的焦點為，則，所以拋物線方程為，設(shè)，不妨令，則可得，即，所以.故選:D4．已知拋物線的焦點為F，點P在拋物線上且縱坐標為4，則（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【分析】利用拋物線的定義求解即可.【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，點P在拋物線上，等于點P到準線的距離，點P縱坐標為4，則.故選：C5．過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A，B點，，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)，和拋物線的定義得到，，然后根據(jù)，得到直線的傾斜角為，即可得到，最后將點坐標代入拋物線方程中求即可.【詳解】過點，作準線的垂線，交準線與，，過點作，交與點，因為，所以，又因為，所以，，，在直角三角形中，，，所以，即直線的傾斜角為，所以，將點坐標代入拋物線方程中可得，解得或（舍去）.故選：C.6．已知拋物線的焦點到其準線的距離為是拋物線上一點，若，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】由拋物線的焦點坐標求得，設(shè)在準線上的射影為，利用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化后易得最小值．【詳解】由焦點到其準線的距離為得；設(shè)在準線上的射影為如圖,則，當且僅當共線時取得等號．所以所求最小值是4．故選：D．7．是拋物線的焦點，點，為拋物線上一點，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線定義有，數(shù)形結(jié)合判斷其最小值.【詳解】由題設(shè)，拋物線焦點，準線為，故，如上圖：，僅當共線且在兩點之間時等號成立.故選：C8．若點，在拋物線上，是坐標原點，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的面積求得邊長，根據(jù)角度求得點的坐標，代入拋物線方程求得的值.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長為，則，解得．根據(jù)拋物線的對稱性可知，且，設(shè)點在軸上方，則點的坐標為，即，將代入拋物線方程得，解得，故拋物線方程為．故選：A9．已知拋物線C：的焦點為F，A是C上一點，O為坐標原點，若，則的面積為（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】利用題目所給的條件，計算出A點的坐標可得答案.【詳解】依題意作下圖：

設(shè)，，所以，可得，由，解得，所以，所以.故選：A.10．過拋物線的焦點且斜率為的直線交拋物線于、兩點，拋物線的準線為，于，于，則四邊形的面積為（

）A．32 B． C．64 D．【答案】D【分析】設(shè)直線AB的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立整理得，求得，及，，，由面積公式求得四邊形的面積得選項.【詳解】解：由拋物線得其焦點，設(shè)直線AB的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，整理得，即，解得，所以，所以，，，所以四邊形的面積為，故選：D.11．（多選）已知拋物線的焦點到準線的距離為2，則（

）A．焦點的坐標為B．過點恰有2條直線與拋物線有且只有一個公共點C．直線與拋物線相交所得弦長為8D．拋物線與圓交于兩點，則【答案】ACD【分析】先求出拋物線方程，對選項逐一判斷即可.【詳解】由題可知拋物線方程為對于A，焦點的坐標為，故A正確對于B，過點有拋物線的2條切線，還有，共3條直線與拋物線有且只有一個交點，故B錯誤對于C，，弦長為，故C正確對于D，，解得（舍去），交點為，有，故D正確故選：ACD12．（多選）已知拋物線C的方程為，焦點為F，且過點，直線l：，點P是拋物線C上一動點，則（

）A．B．的最小值為2C．點P到直線l的距離的最小值為2D．點P到直線l的距離與到準線的距離之和的最小值為【答案】ABD【分析】對于A，根據(jù)拋物線方程直接求解，對于B，設(shè)點，然后表示出，結(jié)合拋物線的性質(zhì)可求出其最小值，對于C，設(shè)過點P且與直線l平行的直線為：，代入拋物線方程化簡，由判別式等于零可求出，再利用兩平行線間的距離公式可求得結(jié)果，對于D，由拋物線的性質(zhì)可得點P到直線l的距離與到準線的距離之和的最小值就是點到直線l的距離.【詳解】∵拋物線C過點，則，∴，∴拋物線C的方程為，則焦點的坐標為，故選項A正確；設(shè)點，，則，故選項B正確；設(shè)過點P且與直線l平行的直線為：，與拋物線方程聯(lián)立得，令，解得，∴：，此時兩直線間的距離為，∴點P到直線l距離的最小值為，故選項C錯誤；∵點P到直線l的距離與到準線的距離之和大于等于點到直線l的距離，∴點P到直線l的距離與到準線的距離之和的最小值為點到直線l的距離為，故D選項正確，故選：ABD．13．已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點，點是拋物線上一點，到準線的距離為，且，則拋物線的方程為.【答案】【分析】根據(jù)拋物線的幾何意義結(jié)合三角形種的關(guān)系求解即可【詳解】依題意可得