2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第三章　進(jìn)階篇　不等式恒(能)成立問(wèn)題　進(jìn)階3　端點(diǎn)效應(yīng)VIP

進(jìn)階3端點(diǎn)效應(yīng)端點(diǎn)效應(yīng)法是一種必要性探路法，是指對(duì)某些與函數(shù)有關(guān)的恒成立問(wèn)題，通過(guò)選取函數(shù)定義域內(nèi)的某些特殊值，先得到一個(gè)必要條件，初步獲得參數(shù)的范圍，再在該范圍內(nèi)進(jìn)行討論，或去驗(yàn)證其充分性，進(jìn)而得到參數(shù)的準(zhǔn)確范圍的方法.1.如圖(1)，如果連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，f(x)≥0恒成立，則f(a)≥0且f(b)≥0.2.一階端點(diǎn)效應(yīng)：如圖(2)，如果連續(xù)函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)恰好為零，則當(dāng)x≥x0時(shí)，f(x)≥0成立的一個(gè)必要條件為端點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值f'(x0)≥0.因?yàn)槿绻鹒'(x0)<0，那么函數(shù)會(huì)在x0右側(cè)的一個(gè)小區(qū)間內(nèi)先單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)f(x)在x≥x0時(shí)不恒為非負(fù)值，不滿(mǎn)足要求，如圖(3).這個(gè)方法把某個(gè)區(qū)間上函數(shù)的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)，這就是端點(diǎn)效應(yīng).類(lèi)似地，如果連續(xù)函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)恰好為零，當(dāng)x>x0時(shí)，f(x)<0成立的一個(gè)必要條件為x0處的導(dǎo)數(shù)值f'(x0)<0.3.二階端點(diǎn)效應(yīng)：如圖(4)，如果連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上，f(x)≥0恒成立，且f(a)＝0，f'(a)＝0，則f″(a)≥0.端點(diǎn)效應(yīng)的核心思想是必要性探路，充分性護(hù)航.我們?cè)诮鉀Q一類(lèi)恒成立問(wèn)題時(shí)，可以利用端點(diǎn)處需滿(mǎn)足的必要條件縮小參數(shù)的取值范圍，而往往得到的范圍即為所求，再去做充分性論證即可.題型一一階端點(diǎn)效應(yīng)例1設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf'(x)，x≥0，其中f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f(x)≥ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解依題意，f'(x)＝1由于g(x)＝xf'(x)，x≥0，即g(x)＝x1＋x，而f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax1＋令F(x)＝ln(1＋x)－ax1＋x(x≥則F(x)≥0恒成立.由于F(0)＝0，故此時(shí)必須保證函數(shù)F(x)在x＝0右側(cè)附近區(qū)間上單調(diào)遞增，即保證F'(x)≥0在x＝0右側(cè)附近區(qū)間上恒成立，而F'(x)＝1則F'(0)＝1－a，故F'(0)≥0，即a≤1.下證當(dāng)a≤1時(shí)，F(xiàn)(x)≥0恒成立.當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)F'(x)＝1＋x-a(1故函數(shù)F(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，即F(x)≥F(0)＝0，故當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)F(x)≥0恒成立，即原命題成立，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1].思維升華這類(lèi)恒成立題目，首先要構(gòu)建一個(gè)新的函數(shù)使之大于等于0(或者小于等于0)，然后把區(qū)間端點(diǎn)代入計(jì)算看一下是否恰好為0，再求導(dǎo)，算出端點(diǎn)一階導(dǎo)函數(shù)值，若端點(diǎn)一階導(dǎo)函數(shù)值不為0，直接令導(dǎo)函數(shù)在端點(diǎn)處函數(shù)值大于等于0(或者小于等于0)，求出參數(shù)范圍然后證明即可.跟蹤訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－e－x.若對(duì)任意x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范圍.解依題意，若對(duì)任意x≥0都有f(x)≥ax，即要保證f(x)－ax≥0恒成立，也就是當(dāng)x≥0時(shí)，ex－e－x－ax≥0恒成立.令F(x)＝ex－e－x－ax(x≥0)，由于F(0)＝e0－e0＝0，要使函數(shù)F(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，即保證F(x)在x＝0右側(cè)附近區(qū)間上單調(diào)遞增，則F'(x)≥0在x＝0右側(cè)附近區(qū)間上恒成立，而F'(x)＝ex＋e－x－a，且F'(0)＝1＋1－a＝2－a，故F'(0)≥0，即a≤2.下證當(dāng)a≤2時(shí)，F(xiàn)(x)≥0恒成立，當(dāng)a≤2時(shí)，函數(shù)F'(x)＝ex＋e－x－a≥ex＋e－x－2≥2ex·e-x故函數(shù)F(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，即F(x)≥F(0)＝0恒成立，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，2].題型二二階端點(diǎn)效應(yīng)例2設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－ax2.若當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.解由于當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f(x)≥0恒成立，而f(0)＝0，故要保證函數(shù)f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需保證f(x)在x＝0右側(cè)附近區(qū)間上單調(diào)遞增，即保證函數(shù)f'(x)≥0在x＝0右側(cè)附近區(qū)間上恒成立.而f'(x)＝ex－1＋xex－2ax＝(x＋1)ex－2ax－1，故f'(0)＝1－1＝0，即此時(shí)需保證函數(shù)f'(x)在x＝0右側(cè)附近區(qū)間上單調(diào)遞增，即保證函數(shù)f″(x)≥0在x＝0右側(cè)附近區(qū)間上恒成立.而f″(x)＝(x＋2)ex－2a，故f″(0)＝2e0－2a＝2－2a，而要函數(shù)f″(x)≥0在x＝0右側(cè)附近區(qū)間上恒成立，則f″(0)≥0，即a≤1.下證當(dāng)a≤1時(shí)，f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，當(dāng)a≤1時(shí)，f″(x)＝(x＋2)ex－2a≥(x＋2)ex－2，令φ(x)＝(x＋2)ex－2，x≥0，則φ'(x)＝(x＋3)ex>0，故函數(shù)φ(x)單調(diào)遞增，故φ(x)≥φ(0)＝2－2＝0，即f″(x)≥φ(x)≥0，故此時(shí)函數(shù)f'(x)單調(diào)遞增，即f'(x)≥f'(0)＝0，故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，即f(x)≥f(0)＝0，此時(shí)即可得到當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1].思維升華如果端點(diǎn)處一階導(dǎo)函數(shù)值為0，把一階導(dǎo)數(shù)當(dāng)作新函數(shù)，令二階導(dǎo)數(shù)在端點(diǎn)處函數(shù)值大于等于0(或者小于等于0)求出參數(shù)范圍，然后證明即可.跟蹤訓(xùn)練2(2024·全國(guó)甲卷改編)已知函數(shù)f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x.當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.解由于當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0恒成立，而f(0)＝0，故要保證函數(shù)f(x)在x＝0的右側(cè)附近區(qū)間上單調(diào)遞增，即保證函數(shù)f'(x)≥0在x＝0的右側(cè)附近區(qū)間上恒成立.而f'(x)＝－aln(1＋x)＋1-ax1＝－aln(1＋x)－(故f'(0)＝0，即此時(shí)需保證函數(shù)f'(x)在x＝0的右側(cè)附近區(qū)間上單調(diào)遞增，即保證函數(shù)f″(x)≥0在x＝0的右側(cè)附近區(qū)間上恒成立.而f″(x)＝-ax＋1故f″(0)＝－2a－1≥0，即a≤－12下證當(dāng)a≤－12時(shí)，f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立當(dāng)a≤－12時(shí)f″(x)＝－ax＋2a＋1所以f'(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f'(x)≥f'(0)＝0，所以f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，即f(x)≥f(0)＝0恒成立，綜上，可得a≤－12課時(shí)精練[分值：34分]1.(17分)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x－ax.若x≥0時(shí)，恒有f(x)≥ax，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥ax?f(x)－ax≥0，令g(x)＝f(x)－ax＝ex－e－x－2ax(x≥0)，求導(dǎo)得g'(x)＝ex＋e－x－2a，因?yàn)間(0)＝0，所以g'(0)≥0，解得a≤1.下證當(dāng)a≤1時(shí)，恒有g(shù)(x)≥0.因?yàn)間'(x)＝ex＋e－x－2a≥2－2a≥0，所以g(x)單調(diào)遞增，g(x)≥g(0)＝0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，1].2.(17分)已知f(x)＝2x－ln(2x＋1)，g(x)＝ex－x－1.(1)求g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線(xiàn)方程；(6分)(2)當(dāng)x≥0時(shí)，kf(x)≤g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.(11分)解(1)切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，e－2)，且g'(x)＝ex－1，所以g'(1)＝e－1，所以切線(xiàn)方程為y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0.(2)記F(x)＝kf(x)－g(x)＝k[2x－ln(2x＋1)]－(ex－x－1)(x≥0)，求導(dǎo)得F'(x)＝k2-22x＋1－(＝4kx2x＋1－ex＋1(F″(x)＝4k·(2x＋1)-2x(2x＋1)由F(x)≤0恒成立，且F(0)＝0，F(xiàn)'(0)＝0，從而F″(0)≤0，得k≤14下證當(dāng)k≤14時(shí)，F(xiàn)(x)≤0恒成