2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第三章　進(jìn)階篇　不等式證明方法　進(jìn)階2　飄帶不等式VIP

進(jìn)階2飄帶不等式題型一飄帶不等式的理解在進(jìn)行放縮的時候，轉(zhuǎn)化的本質(zhì)就是把曲線轉(zhuǎn)化為直線進(jìn)行簡化運算，即用直線代替曲線，在切點處曲線可以近似的用直線代替，但是隨著x的變化，直線與曲線的差距越來越大，放縮的精度越來越粗糙，所以有時采用曲線來代替直線.12x-1x<lnx<2(x2(x-1)x＋1<lnx<1例1證明：(1)12x-1x<lnx<2(x(2)2(x-1)x＋1<lnx<1證明令g(x)＝lnx－1則g'(x)＝1x-121所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又g(1)＝0，所以當(dāng)0<x<1時，g(x)>0，即12x-1當(dāng)x>1時，g(x)<0，lnx<12令h(x)＝lnx－2(則h'(x)＝(x-1)所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又h(1)＝0，所以當(dāng)0<x<1時，h(x)<0，即lnx<2(當(dāng)x>1時，h(x)>0，2(x-1)x綜上可知，當(dāng)0<x<1時，12x-1x當(dāng)x>1時，2(x-1)x＋1故(1)(2)結(jié)論得證.題型二飄帶不等式的應(yīng)用例2(2025·菏澤模擬)若函數(shù)f(x)在[a，b]上存在k∈(a，b)，使得f'(k)＝f(b)-f(a)b-a，則稱k為f(x)在區(qū)間(a，b)上的“奇點”，若存在x1，x2(a<x1<x2<b)，使得f'(x1)＝f(b)-f(a)b-a，f'(x2)＝f(b)-f(a)b-a，則稱f(x)(1)已知函數(shù)f(x)＝x3－85x2是區(qū)間[0，m]上的“雙奇點函數(shù)”，求實數(shù)m(2)已知函數(shù)f(x)＝2lnx－ax2＋1.①當(dāng)a＝0時，若1為f(x)在區(qū)間[m，n]上的“奇點”，證明：m＋n>2；②證明：對任意的a>0，f(x)在區(qū)間[m，n]上存在唯一“奇點”.(1)解因為f(x)＝x3－85x2則f'(x)＝3x2－165x由f(m)-f(0)m-0所以關(guān)于x的方程m2－85m＝3x2－165x即關(guān)于x的方程3x2－165x－m2＋85m＝0在(0，m)令g(x)＝3x2－165x－m2＋85所以g解得45<m<即實數(shù)m的取值范圍是45(2)證明①因為f'(k)＝2k－2ak＝f(n)-f(m)當(dāng)a＝0時，f(x)＝2lnx＋1，則f'(x)＝2因為k＝1，0<m<1<n，所以f(n)-即n-mln要證m＋n>2，即證n-m即lnnm>令nm＝t，因為n>m>0，所以t>1設(shè)h(t)＝lnt－2·t所以h'(t)＝1t-所以h(t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(t)>h(1)＝0在(1，＋∞)上恒成立，所以lnnm>即證得m＋n>2.②令φ(k)＝f'(k)－f(n)-f(m)n-即φ(k)＝2k－2ak－＝2k－2ak－2×lnn-lnmn-m＋因為a>0，k>0，所以φ'(k)＝－2k2－2a所以φ(k)在區(qū)間(m，n)上單調(diào)遞減.因為φ(m)＝2m－2am－2×lnnmn-m＋＝2n-mnm-1-lnnm令t＝nm，所以t所以φ(m)＝2n-m(t－1－lnt)＋a(n－設(shè)I(x)＝x－1－lnx，所以I'(x)＝1－1當(dāng)0<x<1時，I'(x)<0，當(dāng)x>1時，I'(x)>0，即I(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以I(t)>I(1)＝0，即t－1－lnt>0.因為n>m>0，a>0，所以φ(m)>0；同理φ(n)＝2m-nlnt-1＋1因為當(dāng)x∈(0，1)∪(1，＋∞)時，x－1－lnx>0，所以1x－1－ln1x>0，即lnx>1所以lnt－1＋1t>0又m－n<0，a>0，所以φ(n)<0，因為φ(m)φ(n)<0，且φ(k)在區(qū)間(m，n)上單調(diào)遞減，所以φ(k)在區(qū)間(m，n)上存在唯一零點，即對任意的a>0，f(x)在區(qū)間[m，n]上的“奇點”k是唯一的.思維升華(1)利用飄帶不等式放縮可以將含對數(shù)的不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榉质讲坏仁?(2)令飄帶不等式中的x＝ab(a>b)可以轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shù)均值不等式跟蹤訓(xùn)練證明：當(dāng)整數(shù)n>0時，e1＋1n證明要證e1＋1nn即證1＋1n即證nln1＋1n＋ln1因為lnx>2(x-1)x＋1只需證n21＋1即證8n2顯然成立，得證.課時精練[分值：34分]1.(17分)(2025·貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx－a(x-1)x＋1在x(1)求實數(shù)a的值；(4分)(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(5分)(3)若x1>x2>0，證明：x1-x2lnx1(1)解因為f(x)＝lnx－a(x-1)所以f'(x)＝1x-2又因為函數(shù)y＝f(x)在x＝1處的切線為x軸，所以f'(1)＝1－a2＝0解得a＝2.(2)解由(1)可知f(x)＝lnx－2(x-1)x所以f'(x)＝1x-4所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間.(3)證明由(2)可知函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝0，所以當(dāng)x>1時，f(x)>0，又因為x1>x2>0，所以x1x有f

x1x2>0，又lnx1>lnx2，有l(wèi)nx1－lnx由f

x1x得lnx1x即lnx1x2>2x即lnx1－lnx2>2·x1-x2又因為lnx1－lnx2>0，x1＋x2>0，將(*)式兩邊同時乘x得x1-x2.(17分)已知b>a>0，且blna－alnb＝a－b，證明：(1)a＋b－ab>1；(5分)(2)1a＋1b>2；(3)a＋b>2.(6分)證明∵blna－alnb＝a－b，∴b(lna＋1)＝a(lnb＋1)，∴l(xiāng)n令f(x)＝ln則f'(x)＝－ln當(dāng)0<x<1時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.∵f(a)＝f(b)，b>a>0，∴0<a<1<b.(1)要證a＋b－ab>1，只需證a＋b－ab－1>0，即證a