2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第四章　§4.9　解三角形中的最值與范圍問題VIP

§4.9解三角形中的最值與范圍問題重點解讀解三角形中的最值或范圍問題，通常涉及與邊長、周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，一直是高考的熱點與重點，主要是利用三角函數(shù)、正余弦定理、三角形面積公式、基本不等式等工具研究三角形問題，解決此類問題的關(guān)鍵是建立起角與邊的數(shù)量關(guān)系.題型一利用基本不等式求最值(范圍)例1在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足acos(1)求角A；(2)若a＝2，求△ABC面積的最大值.解(1)由a結(jié)合正弦定理asinA所以tanA＝3又因為A∈(0，π)，所以A＝π3(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時等號成立，所以S△ABC＝12bcsinA≤12×4即當(dāng)b＝c＝2時，△ABC面積的最大值為3.思維升華求解三角形中面積和周長最值問題的常用方法在△ABC中，如果已知一個角及其對邊，假設(shè)已知A，a，根據(jù)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即可得到“b2＋c2”與“bc”的等量關(guān)系.(1)求面積最值時，S＝12bcsinA，即求bc最值，在等量關(guān)系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值(2)求周長a＋b＋c的最值時，即求b＋c的最值，在等量關(guān)系中，把b2＋c2換成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤b＋c22，即可求得跟蹤訓(xùn)練1已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝sin2A.(1)求角A的大??；(2)若a＝3，求△ABC周長的最大值解(1)由正弦定理a得b2＋c2＋bc＝a2，即b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理得，cosA＝b2＋又0<A<π，所以A＝2π3(2)由a＝3和(1)可知b2＋c2＋bc＝3，則3＝(b＋c)2－bc≥(b＋c)2－(得4≥(b＋c)2，即b＋c≤2，所以a＋b＋c≤2＋3，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝1時取得等號所以△ABC周長的最大值為2＋3.題型二轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值(范圍)例2(2024·廣州模擬)如圖，在平面內(nèi)，四邊形ABCD的對角線交點位于四邊形內(nèi)部，AB＝3，BC＝7，△ACD為正三角形.(1)求AC的取值范圍；(2)設(shè)∠ABC＝α，當(dāng)α變化時，求四邊形ABCD面積的最大值.解(1)因為四邊形ABCD的對角線交點位于四邊形內(nèi)部，所以∠BAC＋∠CAD<π，又因為△ACD為正三角形，∠CAD＝π所以0<∠BAC<2π在△ABC中，由余弦定理得AB2＋AC又因為－12<cos∠BAC<1將AB＝3，BC＝7代入并整理得AC2＋3AC－40>0，且AC2－6AC－40<0，解得5<AC<10，所以AC的取值范圍是(5，10).(2)在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosα＝9＋49－2×3×7cosα＝58－42cosα，由(1)知5<AC<10，則cosα＝58-AC又因為△ACD為正三角形，所以S△ACD＝34AC2＝2932－又S△ABC＝12AB·BC·sinα＝212sin所以S四邊形ABCD＝S△ACD＋S＝2932－2132cos＝21×1＝21sinα所以當(dāng)α－π3＝π2，即α＝5π6時，cos5π此時四邊形ABCD的面積取得最大值，最大值為21＋293思維升華利用正弦定理、余弦定理，把所求量轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性、單調(diào)性再結(jié)合角的范圍確定最值或范圍.要特別注意題目隱含條件的應(yīng)用，如銳角三角形、鈍角三角形、三角形內(nèi)角和為π等.跟蹤訓(xùn)練2在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且bsinB－asinA＝2bsinA(1)求角A的大??；(2)求sinCcosB的取值范圍.解(1)bsinB－asinA＝2bsinA＝2bsinAcos由正弦定理得b2－a2＝2bcsinAcosπ6＋2bccosAsinπ6－c所以3bcsinA＋bccosA＝b2＋c2－a2＝2bccosA，則3sinA＝cosA，cosA≠0，所以tanA＝3又A∈0，π2，所以(2)因為△ABC為銳角三角形，所以A＋B＝π6＋B>π2，即π3<B<πsinCcosB＝sin5π6-B＝sin5π6cos＝12cos2B＋32sinBcos＝1＋cos2B4＝1＝12sin2B＋π6＋則5π6<2B＋π6<7π6，所以0<sinCcosB<12即sinCcosB的取值范圍是0，題型三轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值(范圍)例3(2024·北京模擬)在△ABC中，AB＝5，D在邊AB上，且2BD＝3AD，BC＝2CD.(1)若CD＝2，求△ABC的周長；(2)求△ACD周長的最大值.解(1)若CD＝2，則BC＝2CD＝4，又AB＝5，2BD＝3AD，所以BD＝3，AD＝2，在△BCD中，由余弦定理得cosB＝B在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝25＋16－2×5×4×78＝6故AC＝6故△ABC的周長為5＋4＋6＝9＋6.(2)由(1)知，BD＝3，AD＝2，設(shè)CD＝x，則BC＝2x，由三邊關(guān)系可得2x＋x>3，在△BCD中，由余弦定理得cosB＝B在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝25＋4x2－2×5×2x×x2＋34x＝故AC＝10-所以△ACD的周長為10-x2＋x＋令f(x)＝10-x2＋x＋2，1<x則f'(x)＝-2x210-x2＋1＝10-x2-當(dāng)1<x<5時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)5<x<3時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故f(x)在x＝5處取得極大值，也是最大值，故△ACD周長的最大值為f(5)＝5＋5＋2＝25＋思維升華解決此類題目，一是利用正余弦定理，轉(zhuǎn)化成邊的函數(shù)，或轉(zhuǎn)化成關(guān)于正弦、余弦或正切的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解；二是利用三角恒等變換構(gòu)造關(guān)于正弦、余弦或正切的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.跟蹤訓(xùn)練3已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足sinA(1)若C＝π2，求(2)求a＋c解(1)由sinAsinab＋c＝c-bb，∵C＝π2，∴c2＝a2＋b∴b2＋ab＝a2＋b2，則a＝b，即A＝B，又C＝π2，∴B＝(2)由(1)知，c2＝b2＋ab，∴a＝c2-b2由三角形三邊關(guān)系可得a代入化簡可得b<c<2b，∴a＋cb令x＝cb，則x∈(1，2令f(x)＝x2＋x－1，1<x<2，∴f(x)＝x＋122－54∴c2b2＋cb－1∈∴a＋cb的取值范圍是(1，課時精練[分值：70分]一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝3，A＝π6，則b的取值范圍是(A.(0，6) B.(0，23)C.(3，23) D.(33，答案D解析在銳角△ABC中，a＝3，A＝π由正弦定理可得bsinB＝所以b＝6sinB，又B＋C＝5π所以0<B<π2，0<所以32<sinB<1，所以b的取值范圍是(33，62.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a＝c－1，b＝c＋1，若△ABC為鈍角三角形，則c的取值范圍為()A.(2，4) B.(1，3)C.(0，3) D.(3，4)答案A解析由a＝c－1，b＝c＋1，則b>c>a，所以c＋c－1>c＋1，故c>2，由△ABC為鈍角三角形，則cosB<0，即c2＋(c-1)2-(c＋1)22c故c的取值范圍為(2，4).3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a2＝3(b＋c)，A＝π3，則△ABC周長的最大值為(A.6 B.12 C.18 D.24答案C解析因為A＝π3，且a2＝3(b＋c由余弦定理可得，a2＝3(b＋c)＝b2＋c2－bc，所以(b＋c)2－3(b＋c)＝3bc≤34(b＋c)2當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時，等號成立，所以b＋c≤12，所以a＝3(b＋c即△ABC周長的最大值為12＋6＝18.4.(2025·泰州模擬)已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，C＝60°，B>90°，則ba的取值范圍為(A.12，＋∞ B.(C.(2，＋∞) D.(3，＋∞)答案C解析因為C＝60°，B>90°，所以0°<A<30°，0<tanA<3即得1tanA由正弦定理可得，ba＝sin二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝π3，b＝43，則下列說法正確的是A.若A＝π4，則a＝B.若a＝1，則c＝7C.△ABC周長的最大值為123D.△ABC面積的最大值123答案ACD解析由正弦定理，bsinB＝asinA，由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB＝c2－c＋1＝48，解得c＝1＋3212或c＝1-3212(由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝48，因為a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3a當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝43時，等號成立，所以a＋c≤83，故△ABC周長的最大值為123，故由C選項分析可知a2＋c2－ac＝48，因為a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤48，所以△ABC的面積S△ABC＝12acsinB＝34ac≤34×48當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝43時等號成立，故D正確.6.(2024·廣州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3bcosC＋3ccosB＝a2，則下列說法正確的是()A.若B＋C＝2A，則△ABC的外接圓的面積為3πB.若A＝π4，且△ABC有兩解，則b的取值范圍為[3，3C.若C＝2A，且△ABC為銳角三角形，則c的取值范圍為(32，33D.若A＝2C，且sinB＝2sinC，O為△ABC的內(nèi)心，則△AOB的面積為3答案ACD解析因為3bcosC＋3ccosB＝a2，所以由正弦定理，得3sinBcosC＋3sinCcosB＝asinA，即3sin(B＋C)＝asinA，因為A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，所以a＝3.選項A，若B＋C＝2A，則A＝π所以△ABC的外接圓的直徑2R＝asinA＝所以R＝3所以△ABC的外接圓的面積為π×(3)2＝3π，A正確；選項B，因為△ABC有兩解，則bsinA<a<b，則bsinπ4<3<b解得3<b<32，B選項C，由正弦定理asinA即c＝2acosA＝6cosA，因為△ABC為銳角三角形，所以0<A<π2，0<π-3所以c＝6cosA∈(32，33)，C選項D，因為a＝3，sinB＝2sinC，A＝2C，可得B＝π－3C，由正弦定理可得b＝2c，由sin(π－3C)＝2sinC，可得sinCcos2C＋cosCsin2C＝2sinC，由sinC≠0，可得4cos2C－1＝2，解得cos2C＝3又B＝π－3C∈(0，π)，則C∈0故cosC＝32，sinC可得sinA＝2sinCcosC＝2×12×由正弦定理asinA＝csinC，a＝3可得c＝3，b＝23，則aS△ABC＝12bcsinA＝12×23×3設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，則r＝2S△AOB＝12cr＝12×3×3-3三、填空題(每小題5分，共10分)7.(2024·遼陽模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2＋4b2＝6c2，則sin2Csin答案2解析因為a2＋4b2＝6c2≥2a2·4b當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時，等號成立，即c2ab≥由正弦定理可得sin2CsinAsinB＝c2ab所以sin2C8.(2024·綿陽模擬)如圖所示，在△ABC中，已知A＝π3，C＝π2，AC＝4，D，E，F(xiàn)分別在邊AC，BC，AB上，且△DEF為等邊三角形.則△DEF答案12解析不妨設(shè)△DEF的邊長為a，∠CDE＝θ.在Rt△CDE中，CD＝acosθ.因為∠ADF＝π－θ－π3＝2π所以在△AFD中，可得∠AFD＝π－π3－∠ADF＝θ根據(jù)正弦定理可得AD所以AD＝2a3sin所以AC＝CD＋AD＝acosθ＋23sinθ＝73asin(θ＋φ)當(dāng)sin(θ＋φ)＝1時，a取得最小值4故△DEF面積的最小值為S＝34a2＝34×四、解答題(共28分)9.(13分)(2024·銅川模擬)已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，tanAtanB＋tanAtanC＝3tanBtanC.(1)證明：3b2＋3c2＝5a2；(6分)(2)若a＝15，當(dāng)A取最大值時，求△ABC的面積.(7分(1)證明∵tanAtanB＋tanAtanC＝3tanBtanC，∴sinAcosAsin∴sinA(sinBcosC＋cosBsinC)＝3sinBsinCcosA，∴sin(B＋C)sinA＝3sinBsinCcosA，又sin(B＋C)＝sinA，∴sin2A＝3sinBsinCcosA，由正弦定理可得a2＝3bccosA，由余弦定理可得a2＝3bccosA＝32(b2＋c2－a2)整理得3b2＋3c2＝5a2.(2)解由(1)得3b2＋3c2＝5a2，即