2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第四章　必刷大題9　解三角形VIP

必刷大題9解三角形[分值：60分]1.(13分)(2023·全國乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.(1)求sin∠ABC；(6分)(2)若D為BC上一點(diǎn)，且∠BAD＝90°，求△ADC的面積.(7分)解(1)由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋1－2×2×1×cos120°＝7，則BC＝7由正弦定理可得sin∠ABC＝AC·sin∠(2)由三角形面積公式可得S△ABDS則S△ACD＝15S△＝15×12.(15分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sinA＝2sinB.(1)若b＝2，c＝27，求C的大??；(5分(2)點(diǎn)D在邊AB上，且AD＝13AB，證明：CD平分∠ACB.(10分(1)解由sinA＝2sinB，得a＝2b＝4，由余弦定理可知cosC＝a2＋又C∈(0，π)，則C＝2π3(2)證明在△ACD中，由正弦定理可知1則sin∠ACD＝c在△BCD中，由正弦定理可知2則sin∠BCD＝c又sin∠BDC＝sin∠ADC，故sin∠BCD＝sin∠ACD，即∠BCD＝∠ACD或∠BCD＝π－∠ACD，又∠ACB＝∠BCD＋∠ACD為△ABC的內(nèi)角，所以∠BCD＝∠ACD，故CD平分∠ACB.3.(15分)(2024·長沙模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足sinB＋sinC＝2sinAcosB.(1)證明：a2－b2＝bc；(5分)(2)如圖，點(diǎn)D在線段AB的延長線上，且AB＝3，BD＝1，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動時(shí)，探究CD－CA是否為定值？(10分)(1)證明sinB＋sinC＝2sinAcosB，由正弦定理可得b＋c＝2acosB，又∵cosB＝a∴b＋c＝a∴bc＋c2＝a2＋c2－b2，∴a2－b2＝bc.(2)解由(1)知b＋c＝2acos∠CBA，∴cos∠CBA＝b在△BCD中，BC＝a，BD＝1，∴cos∠CBD＝a又∵cos∠CBD＝cos(π－∠CBA)＝－cos∠CBA，∴－b∴－b－3＝1＋a2－CD2，∴CD2＝4＋a2＋b，又∵a2－b2＝bc，c＝3，∴CD2＝4＋b2＋3b＋b＝b2＋4b＋4＝(b＋2)2，∵CD>0，∴CD＝b＋2，∴CD－CA＝b＋2－b＝2.綜上所述，CD－CA為定值2.4.(17分)(2025·石家莊模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知3acosC－asinC＝3b.(1)求角A的大?。?7分)(2)若a＝2，求BC邊上的中線AD長度的最小值.(10分)解(1)由3acosC－asinC＝3b結(jié)合正弦定理，得3sinAcosC－sinAsinC＝3sinB.因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以3sinAcosC－sinAsinC＝3sin(A＋C)＝3(sinAcosC＋cosAsinC)，所以－sinAsinC＝3cosAsinC.因?yàn)閟inC>0，所以tanA＝－3.因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝2π3(2)在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos2π所以4＝b2＋c2＋bc.①因?yàn)锳D為BC邊上的中線，所以AD＝1所以|AD|2＝AD2＝14(AB＋AC)2＝14(c2由①得b2＋c2＝4－bc，③代入②得|AD|2＝1－12bc