2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第五章　§5.5　復(fù)　數(shù)VIP

§5.5復(fù)數(shù)課標(biāo)要求1.通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義.3.掌握復(fù)數(shù)的四則運算，了解復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義.1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a是復(fù)數(shù)的實部，b是復(fù)數(shù)的虛部，i為虛數(shù)單位.(2)復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)數(shù)實數(shù)(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di互為共軛復(fù)數(shù)?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)復(fù)數(shù)的模：向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模或絕對值，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b).(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ.3.復(fù)數(shù)的四則運算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z＝ac＋bdc2＋d2＋bc-(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即OZ＝OZ1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(×)(2)原點是實軸與虛軸的交點.(√)(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).(×)(4)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.(√)2.(2024·新課標(biāo)全國Ⅱ)已知z＝－1－i，則|z|等于()A.0 B.1 C.2 D.2答案C解析若z＝－1－i，則|z|＝(-13.已知復(fù)數(shù)z＝i3(1＋i)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析z＝i3(1＋i)＝－i(1＋i)＝1－i，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1，－1)，位于第四象限.4.復(fù)數(shù)5i-2的共軛復(fù)數(shù)是答案－2＋i解析5i-2＝5(-2-i)(-2＋1.熟記與復(fù)數(shù)有關(guān)的常用結(jié)論(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1-i＝i；(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).(3)z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝|z1||z2(4)r1≤|z|≤r2表示以原點O為圓心，以r1和r2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓.2.謹(jǐn)防兩個易誤點(1)利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件.(2)兩個不全為實數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小.題型一復(fù)數(shù)的概念例1(1)(2024·白山模擬)復(fù)數(shù)z＝i＋2i2＋3i3，則z的虛部為()A.2i B.－2i C.2 D.－2答案D解析由z＝i＋2i2＋3i3可得z＝－2－2i，故z的虛部為－2.(2)(2024·銀川模擬)已知復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m＋i2)·i(m∈R)表示純虛數(shù)，則m等于()A.1 B.－1 C.1或－1 D.2答案B解析因為z＝m2－1＋(m＋i2)·i＝m2－1＋(m－1)·i，若復(fù)數(shù)z表示純虛數(shù)，則m2-1＝0(3)(2025·晉中模擬)已知復(fù)數(shù)z＝1－2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的根，則|a＋bi|等于()A.5 B.4 C.21 D.29答案D解析由題意得，z＝1＋2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得1＋2i＋1－2i＝－a，(1＋2i)(1－2i)＝b，故a＝－2，b＝1－4i2＝1＋4＝5，故|a＋bi|＝|－2＋5i|＝4＋思維升華解決復(fù)數(shù)概念問題的常用方法(1)求一個復(fù)數(shù)的實部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復(fù)數(shù)的實部為a，虛部為b.(2)復(fù)數(shù)是實數(shù)的條件：①z＝a＋bi∈R?b＝0(a，b∈R)；②z∈R?z＝z；③z∈R?z2≥0.(3)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件①z＝a＋bi是純虛數(shù)?a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是純虛數(shù)?z＋z＝0(z≠0)；③z是純虛數(shù)?z2<0.(4)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為z＝a－bi，則z·z＝|z|2＝|z|2，即|z|＝|z|＝z·z跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·?？谀M)下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法，正確的是()A.復(fù)數(shù)i是最小的純虛數(shù)B.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，模為1的復(fù)數(shù)共有1，－1，i和－i四個C.i與－i是一對共軛復(fù)數(shù)D.虛軸上的點都表示純虛數(shù)答案C解析虛數(shù)不能比大小，故A錯誤；對于復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，但凡滿足a2＋b2＝1，其模均為1，顯然不僅四個，比如a＝12，b＝32時，|z|＝1，故B錯誤；由共軛復(fù)數(shù)的定義可知C正確；原點(0，0)也在虛軸上，但不表示純虛數(shù)，故D(2)(2025·南通模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足z2＝－3＋4i，則|z|等于()A.32 B.5 C.5答案C解析設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a2－b2＋2abi，又z2＝－3＋4i，所以a2-b2則z＝1＋2i或z＝－1－2i，所以|z|＝1＋(3)已知復(fù)數(shù)z滿足4z(1＋z)＝15＋8i，則z的實部為.答案－1解析設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＝a－bi，由4z(1＋z)＝15＋8i，得4(a－bi)＋4(a2＋b2)＝15＋8i，由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得4a＋故z的實部為－12題型二復(fù)數(shù)的四則運算例2(1)(2024·新課標(biāo)全國Ⅰ)若zz-1＝1＋i，則z等于(A.－1－i B.－1＋iC.1－i D.1＋i答案C解析因為z＝1＋1z-1＝1＋所以z＝1＋1i＝1－(2)設(shè)復(fù)數(shù)z＝1＋2i2-i2025，則zA.1 B.－1 C.i D.－i答案C解析∵1＋2i2-i∴z＝i2025＝i4×506＋1＝i.(3)(2024·南陽模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足z-3z-i＝2i，則z·z答案5解析因為z-3z-i所以z－3＝2i(z－i)＝2＋2iz，所以z＝51-2i＝5(1所以z＝1－2i，則z·z＝(1＋2i)(1－2i)＝5.思維升華復(fù)數(shù)四則運算問題的解題策略復(fù)數(shù)的加減法在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法運算時，可類比合并同類項運用法則(實部與實部相加減，虛部與虛部相加減)計算復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的乘法，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式，這里的分母實數(shù)化可類比分母含根式的分母有理化跟蹤訓(xùn)練2(1)(2023·新高考全國Ⅰ)已知z＝1-i2＋2i，則z－z等于A.－i B.i C.0 D.1答案A解析因為z＝1-i＝-2i4＝－12i，所以z＝12i，即(2)(2024·新鄉(xiāng)模擬)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(2，－1)，則z＋iz答案2i解析由題意得復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(2，－1)，故z＝2－i，z＝2＋i，故z＋i(3)已知i為虛數(shù)單位，則i＋i2＋i3＋…＋i2025＝.答案i解析i＋i2＋i3＋i4＝0，則i＋i2＋i3＋…＋i2025＝506×0＋i＝i.題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例3(1)(2024·西寧模擬)已知復(fù)數(shù)z＝(a－1)－2ai(a∈R)，且|z|＝5，若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則a等于()A.－2 B.－125 C.2 D.答案A解析由題意|z|＝(a-1)得5a2－2a－24＝0，解得a＝－2或a＝125因為z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，所以a-1<0,-2a>0,故(2)已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，則|z－3＋3i|的最小值為()A.5 B.4 C.3 D.2答案B解析方法一由|z－i|＝|z＋2－i|，得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z到點(0，1)與點(－2，1)的距離相等，則點Z在直線x＝－1上.|z－3＋3i|表示點Z與點(3，－3)的距離，過點(3，－3)作直線x＝－1的垂線，垂足為P(圖略)，當(dāng)點Z與點P重合時，|z－3＋3i|取得最小值4.方法二因為z＝a＋bi(a，b∈R)，則z－i＝a＋(b－1)i，z＋2－i＝(a＋2)＋(b－1)i，由|z－i|＝|z＋2－i|，可得a2解得a＝－1，則z＝－1＋bi，所以z－3＋3i＝－4＋(b＋3)i，因此|z－3＋3i|＝(-4)2當(dāng)且僅當(dāng)b＝－3時，等號成立，故|z－3＋3i|的最小值為4.思維升華復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量OZ相互聯(lián)系、一一對應(yīng)，即z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)OZ.(2)由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.跟蹤訓(xùn)練3(1)(2025·南充模擬)當(dāng)1<m<2時，復(fù)數(shù)m－1＋(m－2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析由1<m<2，可得m所以復(fù)數(shù)m－1＋(m－2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z(m－1，m－2)位于第四象限.(2)已知復(fù)數(shù)z滿足|z－2|＝1，則|z－i|的最小值為()A.1 B.5－1 C.5＋1 D.3答案B解析設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，因為|z－2|＝|x－2＋yi|＝(x-2)所以(x－2)2＋y2＝1，即z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡為圓C：(x－2)2＋y2＝1，如圖，又|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝x2所以|z－i|表示圓C上的點到點A(0，1)的距離，所以|z－i|min＝CA－1＝5－1.課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.(2024·沈陽模擬)已知a，b∈R，a－3i＝(b－i)i(i為虛數(shù)單位)，則()A.a＝1，b＝－3 B.a＝－1，b＝3C.a＝－1，b＝－3 D.a＝1，b＝3答案A解析因為a－3i＝(b－i)i＝1＋bi，所以a＝1，b＝－3.2.(2025·曲靖模擬)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)3＋2i，－2＋3i對應(yīng)的向量分別是OA，OB，其中O是坐標(biāo)原點，則向量AB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A.1＋i B.5－iC.5－3i D.－5＋i答案D解析由題設(shè)OA＝(3，2)，OB＝(－2，3)，則AB＝OB－OA＝(－5所以向量AB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－5＋i.3.(2024·臺州模擬)已知復(fù)數(shù)z＝2＋ii(i為虛數(shù)單位)，則A.z的實部為2B.|z|＝5C.z＝2－iD.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限答案B解析z＝2＋ii＝－(2＋i)i＝1－2i，故實部為1，|z|＝5，z＝1＋2i，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1，－24.(2024·咸陽模擬)已知復(fù)數(shù)z＝m2－7m＋6＋(m2－36)i是純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為()A.±6 B.1或6 C.－6 D.1答案D解析由題意得m2－7m＋6＝0且m2－36≠0，則m＝1.5.(2025·固原模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足2z＋41＋i＝z＋i，則A.－2－i B.2－i C.－2＋i D.2＋i答案A解析依題意，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＝a－bi，因為41＋i＝4所以由2z＋41＋i可得2(a－bi)＋2－2i＝a＋bi＋i，則(2a＋2)－(2b＋2)i＝a＋(b＋1)i，所以2解得a＝-2,b＝-16.已知復(fù)數(shù)z滿足1≤|z－(1－i)|≤2，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z所在區(qū)域的面積為()A.π B.2π C.3π D.4π答案C解析令z＝a＋bi(a，b∈R)，則1≤|(a－1)＋(b＋1)i|≤2，所以1≤(a－1)2＋(b＋1)2≤4，即對應(yīng)的點Z所在區(qū)域的面積是圓心為(1，－1)，半徑分別為1，2的兩個同心圓的面積差，所以所求區(qū)域的面積為4π－π＝3π.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.(2025·徐州模擬)已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為-12，3A.|z|＝1 B.z＋z＝1C.z2＋z＋1＝0 D.z2026＝z答案ACD解析由題可知，z＝－12＋32i，|z|＝-1z＝－12－32i，z＋z＝－z2＝-12＋32i2＝14－34－32i＝－12z3＝z2·z＝-12-32所以z2026＝z2025·z＝(z3)675·z＝z8.(2024·臨汾模擬)下列說法正確的是()A.若z＝－2＋i，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限B.若z滿足z·i＝－1＋2i，則z的虛部為1C.若z是方程x2＋3＝0的根，則z＝±3iD.若z滿足|z－1＋2i|＝2，則|z|的最大值為5答案AC解析對于A，z＝－2＋i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(－2，1)，位于第二象限，故A正確；對于B，因為z·i＝－1＋2i，所以z＝-1＋2ii＝(-1＋2i)·ii2＝2＋i，則對于C，方程x2＋3＝0的根為±3i，故C正確；對于D，設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，若z滿足|z－1＋2i|＝2，即|(x－1)＋(y＋2)i|＝2，所以(x-1)2＋(y＋2)2＝2，即(x－1)2＋(y＋2)2＝4，則點(x，y)在以(1，－2)為圓心，2為半徑的圓上，又圓心到坐標(biāo)原點的距離為12三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2025·遼陽模擬)若復(fù)數(shù)z＝10-5i2＋i＋|3－4i|，則|z|答案45解析z＝10-5i2＋i＋|3－4i|＝5(2-i)(2-i)(2＋|z|＝82＋(-410.寫出一個同時滿足①②的復(fù)數(shù)z＝.①z3＝z；②z?R.答案i(或－i)解析因為z?R，不妨設(shè)z＝bi(b∈R，b≠0)，則(bi)3＝－b3i＝－bi，解得b＝±1，即z＝±i符合.四、解答題(共28分)11.(13分)已知復(fù)數(shù)z＝m2＋m－2＋(m－1)i(m∈R)，其中i為虛數(shù)單位.(1)若z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；(6分)(2)若m＝2，設(shè)z＋iz-i＝a＋bi(a，b∈R)，試求a＋b的值.解(1)因為z是純虛數(shù)，所以m2＋m-2(2)若m＝2，則z＝4＋i，故z＋iz-i＝4＋所以a＝35，b＝45，所以a＋b＝12.(15分)已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一個根.(1)求實數(shù)a，b的值；(7分)(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，猜測方程的另一個根，并給予證明.(8分)解(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，所以-a＋(2)由(1)知方程為x2＋2x＋2＝0.設(shè)另一個根為x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得－1＋i＋x2＝－2，所以x2＝－1－i.把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，則左邊＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右邊，所以x2＝－1－i是方程的