搶分秘籍04 幾何圖形選填壓軸題-中考《數(shù)學(xué)》沖刺搶分押題秘籍（全國(guó)卷）VIP

PAGE1搶分秘籍04幾何圖形選填壓軸題（含特殊三角形、特殊平行四邊形、圓等綜合問(wèn)題）目錄【解密中考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】平行線中求角的度數(shù)【題型二】三角形中求線段或角【題型三】多邊形中求線段或角【題型四】四邊形中求線段或角【題型五】圓中求線段或角【題型六】圓中求扇形或不規(guī)則圖形的面積【題型七】圖形平移中求線段或角【題型八】圖形旋轉(zhuǎn)中求線段或角【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)一：等腰三角形多解題漏解易錯(cuò)點(diǎn)二：直角三角形多解題漏解：幾何圖形選填壓軸題含特殊三角形、特殊平行四邊形、圓等綜合問(wèn)題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點(diǎn)頻率看，以等腰三角形、直角三角形等為基礎(chǔ)的多解題，特殊四邊形與圓為載體的幾何求解問(wèn)題是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)，所以必須提高對(duì)幾何圖形性質(zhì)的理解和掌握。2．從題型角度看，以選擇題、填空題最后一題為主，分值3分左右，著實(shí)不少?。簬缀螆D形選填壓軸題備考需聚焦高頻考點(diǎn)，如動(dòng)態(tài)最值、多結(jié)論推理、幾何變換綜合。首先夯實(shí)基礎(chǔ)，熟背全等/相似判定、解直角三角形、圓的性質(zhì)等核心定理，歸納手拉手、將軍飲馬等經(jīng)典模型。訓(xùn)練時(shí)注重特殊值法、極限位置法快速排除選項(xiàng)，結(jié)合尺規(guī)作圖輔助分析，錯(cuò)題按“條件-突破口-易錯(cuò)點(diǎn)”分類整理?？记跋迺r(shí)刷題保持題感，重點(diǎn)突破圖形折疊、動(dòng)點(diǎn)軌跡等復(fù)雜情境，提升數(shù)形結(jié)合與逆向推導(dǎo)能力?！绢}型一】平行線中求角的度數(shù)【例1】（2025·全國(guó)·二模）如圖是一款手機(jī)支架，若張角，支撐桿與桌面夾角，那么此時(shí)面板與水平方向夾角的度數(shù)為（）．A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題成為解題的關(guān)鍵．由題意可得：，則；然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解答．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作，∴，∵，∴．故選：A．平行線中求角的度數(shù)，先辨角的位置關(guān)系（同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角），直接用定理轉(zhuǎn)化。遇拐點(diǎn)（“M”“Z”型等）過(guò)點(diǎn)作平行線，分解圖形為基本模型。結(jié)合對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角及三角形外角性質(zhì)，標(biāo)注已知角逐步推導(dǎo)，復(fù)雜圖形可拆分或延長(zhǎng)線段顯化關(guān)系，注意隱含平行條件（如矩形對(duì)邊、三角板直角邊）?！纠?】（2025·上海閔行·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，交于點(diǎn)，，，那么度．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、三角形的外角的定義及性質(zhì)【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由平行線的性質(zhì)推出，由三角形的外角性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∴.故答案為：【變式1】（2025·山西忻州·模擬預(yù)測(cè)）圖1是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖，圖2是其幾何示意圖，其中，都與地面平行，，，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】平行公理推論的應(yīng)用、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題考查了平行公理推論、平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)平行公理推論可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：∵，都與地面平行，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故選：B．【變式2】（2025·山西·一模）如圖，一條光線經(jīng)平面鏡的反射光線經(jīng)凹透鏡折射后，其折射光線的反向延長(zhǎng)線過(guò)凹透鏡的一個(gè)焦點(diǎn)．已知光線的入射角為，反射光線與折射光線的夾角，則光線與光線所夾的銳角為（

）A．65° B． C． D．25°【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度、三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題主要考查了物理知識(shí)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握三角形的相關(guān)性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．如圖：延長(zhǎng)相交于點(diǎn)E，由題意可得：，由鄰補(bǔ)角的定義可得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，再最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得即可．【詳解】解：如圖：延長(zhǎng)相交于點(diǎn)E，由題意可得：，∵，∴，∴，∵，∴．故選A．【變式3】（2025·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）2023年5月底，由中國(guó)商飛公司制造的圓滿完成商業(yè)首飛，對(duì)中國(guó)涉足國(guó)際航空領(lǐng)域大國(guó)政治具有象征意義．如圖是機(jī)翼設(shè)計(jì)圖，已知，，與水平線的夾角為，則等于．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，作，，則，根據(jù)平行線得到，，最后根據(jù)代入計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，作，，點(diǎn)在點(diǎn)右邊，點(diǎn)在點(diǎn)右邊，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵與水平線的夾角為，∴，∴，故答案為：．【題型二】三角形中求線段或角【例1】（2025·陜西咸陽(yáng)·一模）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是邊，的中點(diǎn)，連接，．若的面積是8，則的面積是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)三角形中線求面積【分析】本題考查了三角形的中線，三角形的面積的計(jì)算，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的中線與面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，的面積等于8，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，故選：A．三角形中求線段和角，先判三角形類型（等腰、直角等），用對(duì)應(yīng)性質(zhì)（等邊對(duì)等角、勾股定理）。線段常借全等/相似轉(zhuǎn)化，遇中點(diǎn)連中線、倍長(zhǎng)法，截長(zhǎng)補(bǔ)短處理和差；角度用內(nèi)角和、外角定理，結(jié)合角平分線、三角函數(shù)（正弦/余弦定理），復(fù)雜時(shí)作高或輔助線構(gòu)造基本圖形推導(dǎo)。【例2】（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，是的平分線．若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三線合一、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：，是的平分線，，，，，，，故答案為：．【變式1】（2025·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，設(shè)，，且是定值，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，將線段沿繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段交于點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰為點(diǎn)，則下列線段長(zhǎng)為定值的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、斜邊的中線等于斜邊的一半、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】連接，，，在上取點(diǎn)H，使，連接，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)K，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，求出，得出，求出，得出，求出，，得出，求出，，，從而求出，，即可得出答案．【詳解】解：連接，，，在上取點(diǎn)H，使，連接，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)K，如圖所示：∵在中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：，，∴和為等腰三角形，，設(shè)，則，∴，∴，根據(jù)軸對(duì)稱可知：，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴為的中位線，∴，∴、均不是定值，∴，∴為定值，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴為的中位線，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴不是定值，綜上分析可知，為定值，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．【變式2】（2025·遼寧·一模）如圖，在中，，以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交、于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G，作射線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)H．若，則（用含a的代數(shù)式表示）．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】作角平分線(尺規(guī)作圖)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】由作法得平分，證明，，再證明，再利用相似三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：由作法得平分，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．【變式3】（2025·陜西西安·一模）如圖，在四邊形中，連接，，．已知是邊上的一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，且．若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】?jī)?nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行、角平分線的判定定理、用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解【分析】結(jié)合題意，再根據(jù)角平分線的判定可得平分，利用平行線的判定，可推出四邊形是平行四邊形，即，根據(jù)勾股定理可得，設(shè)，再利用，代入數(shù)值解方程可得，再利用勾股定理可得．【詳解】解：∵，∴平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，設(shè)，∵，∴，解得，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，平行線的判定，勾股定理，角平分線的判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【題型三】多邊形中求線段或角【例1】（2025·河南駐馬店·一模）如圖，直線，正五邊形的邊在直線上，頂點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作正五邊形的對(duì)稱軸分別交，，于點(diǎn)，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、三角形的外角的定義及性質(zhì)、正多邊形的內(nèi)角問(wèn)題【分析】本題考查了正五邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角定理，掌握正多邊形的內(nèi)角問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先求出正五邊形的內(nèi)角，再根據(jù)其軸對(duì)稱性求出，再由三角形的外角性質(zhì)即可解決．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵∵，，∴，∵正五邊形是軸對(duì)稱圖形，∴，，∴，∴，故選：A．本題考查了求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的求解，以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【例2】（2025·上海楊浦·一模）如圖，已知正五邊形的邊長(zhǎng)是4，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)F，那么的長(zhǎng)是．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、正多邊形的內(nèi)角問(wèn)題、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了正多邊形內(nèi)角和定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等，先求出，則可求出，，則，設(shè)，則，證明，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式求解即可．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，∴，∴，同理可得，∴，∴，，，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，即，解得或（舍去），∴，故答案為：．【變式1】（2025·安徽蚌埠·一模）如圖，將正五邊形沿折疊，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】正多邊形的內(nèi)角問(wèn)題、折疊問(wèn)題【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和以及折疊的性質(zhì)，根據(jù)多邊形內(nèi)角和可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，進(jìn)而根據(jù)四邊形內(nèi)角和為，即可求解．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，∴由折疊的性質(zhì)得，∵，∴在四邊形中，故選：D．【變式2】（2025·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古建筑中的字臺(tái)樓閣很多都采用八邊形結(jié)構(gòu)．如圖1是漳州市威鎮(zhèn)閣，其外層屋檐的平面示意圖可抽象成正八邊形，如圖2所示，則這個(gè)正八邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為°．【答案】45【知識(shí)點(diǎn)】正多邊形的外角問(wèn)題【分析】本題考查多邊形的外角和．熟練掌握多邊形的外角和為，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的外角和進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：正八邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為，故答案為：．【變式3】（2025·陜西咸陽(yáng)·一模）如圖是由正方形和正五邊形疊放在一起形成的圖形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則的度數(shù)為．【答案】/度【知識(shí)點(diǎn)】正多邊形的內(nèi)角問(wèn)題、直角三角形的兩個(gè)銳角互余【分析】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和可得，結(jié)合直線為正五邊形的對(duì)稱軸，可得，進(jìn)一步結(jié)合正方形的性質(zhì)可得答案.【詳解】解：∵正五邊形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，直線為正五邊形的對(duì)稱軸，∴，∵正方形，∴，∴；故答案為：【題型四】四邊形中求線段或角【例1】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，分別以點(diǎn)E和點(diǎn)F為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)O，作射線交于點(diǎn)G，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，若，，的長(zhǎng)為（

）A．4 B． C．5 D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】作角平分線(尺規(guī)作圖)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了角平分線的定義、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，由角平分線的定義結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得，，證明，由相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得解．【詳解】解：由作圖可得：平分，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴，故選：B．四邊形中求線段和角，先判類型（平行四邊形、梯形等），用對(duì)應(yīng)性質(zhì)（對(duì)邊平行、對(duì)角線平分等）。線段常連對(duì)角線分三角形，借全等/相似、勾股定理轉(zhuǎn)化，梯形作高或平移腰；角度用內(nèi)角和360°，結(jié)合平行線性質(zhì)、三角形外角定理，遇中點(diǎn)連中位線，復(fù)雜圖形補(bǔ)形或拆分基本模型推導(dǎo)?！纠?】（2025·河北石家莊·一模）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，．點(diǎn)A與關(guān)于過(guò)點(diǎn)O的直線l對(duì)稱，直線l與交于點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，解直角三角形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，連接，過(guò)P作于H，由菱形的性質(zhì)推出平分，，得到，求出，求出，，由軸對(duì)稱的性質(zhì)推出直線l垂直平分，得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，判定是等腰直角三角形，得到，設(shè)，由，求出，得到，求出，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到．【詳解】解：連接，過(guò)P作于H，∵四邊形是菱形，∴平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵點(diǎn)A與關(guān)于直線l對(duì)稱，∴直線l垂直平分，∴，∴直線l平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：．【變式1】（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，點(diǎn)H為射線延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、與三角形中位線有關(guān)的求解問(wèn)題、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，取的中點(diǎn)，連接，則可得，則可求得，再利用勾股定理，即可解答，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，四邊形是矩形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，，，，，，，，根據(jù)勾股定理可得，，，故選：D．【變式2】（2025·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是正方形內(nèi)一點(diǎn)，滿足．連接，則下面給出的四個(gè)結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為（

）

①；②；③的度數(shù)最大值為；④當(dāng)時(shí)，．A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查了圓與正方形綜合、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意得到點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．如圖：連接交于H，取中點(diǎn)O，連接，先證明點(diǎn)E在以點(diǎn)O為圓心，為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三點(diǎn)共線，即點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H時(shí)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，據(jù)此可判斷①②；如圖：當(dāng)與相切時(shí)有最大值，證明，得到，，則，再證明，得到，即可判斷③④．【詳解】解：如圖：連接交于H，取中點(diǎn)O，連接，∵四邊形是正方形，

∴；∵，∴點(diǎn)E在以點(diǎn)O為圓心，為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵，∴點(diǎn)H在上，∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線，即點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H時(shí)，，故①正確；∵點(diǎn)E在以點(diǎn)O為圓心，為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，在中，由勾股定理得，∴的最小值為，故②錯(cuò)誤；如圖：當(dāng)與相切時(shí)有最大值，

∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴的度數(shù)最大值不是，故③錯(cuò)誤；∵，∴垂直平分，∴，∴，∴，故④正確．綜上，正確的有①④．故選：B．【變式3】（2025·山西忻州·模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，，，對(duì)角線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，為中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，先利用三角函數(shù)求得，得出為等邊三角形，得出，再證出和，得出，進(jìn)而即可得解．【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，在矩形中，，，，四邊形是矩形，，，為等邊三角形，，，，，，，，，在中，由勾股定理可得，，，，為中點(diǎn)，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并能正確添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵．【題型五】圓中求線段或角【例1】（2025·河北保定·一模）如圖，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，已知，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、圓周角定理【分析】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵．連接，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可得．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴，∴，由圓周角定理得：，故選：D．圓中求線段和角，緊扣圓的性質(zhì)：連半徑、作弦心距，構(gòu)造直角三角形（半徑、半弦、弦心距），用垂徑定理、勾股定理求線段；借圓周角定理（同弧/等弧、直徑對(duì)直角）、圓心角定理、弦切角定理轉(zhuǎn)化角度，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。遇切線連切點(diǎn)與圓心，遇交點(diǎn)用相交弦/切割線定理，輔助線多圍繞“弧-角-線段”對(duì)應(yīng)關(guān)系推導(dǎo)?！纠?】（2025·天津·一模）如圖，交于點(diǎn)切于點(diǎn)點(diǎn)在上，若，則為．

【答案】/38度【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理、切線的性質(zhì)定理【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，利用圓周角定理求出是解題的關(guān)鍵．先由圓周角定理得到，由切線的性質(zhì)得到，即可利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵切于點(diǎn)C，∴，∴，故答案為：．【變式1】（2025·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，是切線，切點(diǎn)是B，直線交于點(diǎn)D，A，點(diǎn)E為上的一點(diǎn)，連接，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形的兩個(gè)銳角互余、圓周角定理、切線的性質(zhì)定理【分析】考查切線的性質(zhì)、直角三角形銳角互余、圓周角定理及推論，如圖所示，連接，首先由切線得到，然后求出，最后利用圓周角定理求解即可．【詳解】如圖所示，連接，是的切線，切點(diǎn)是在中，圓周角與圓心角所對(duì)的弧是，．故選：B．【變式2】（2025·江蘇南京·二模）如圖，內(nèi)接于，，點(diǎn)D在上，于點(diǎn)E．若，則的長(zhǎng)為．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】含30度角的直角三角形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了圓周角的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造相似．連接，，利用同弧所對(duì)的圓周角相等，，可得三角形相似，再找到對(duì)應(yīng)線段成比例即可求出．【詳解】解：連接．，若，．，是圓的直徑，，，，，，，，，．故答案為：3．【變式3】（2025·吉林長(zhǎng)春·一模）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)G，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，且滿足，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接，給出下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，的面積是．上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②④【知識(shí)點(diǎn)】利用垂徑定理求值、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】根據(jù)圓周角定理及垂徑定理推出，即可判斷①；證明，即可判斷②；設(shè)，則，結(jié)合，得到，求出，，由，利用余弦的定義即可判斷③；由已知先求出，再求出，，進(jìn)而求出，利用三角形相似的性質(zhì)即可求出，根據(jù)，即可判斷④．【詳解】解：∵是的直徑，，∴，∴，故①正確；∵，∴，∴，∴，故②正確；∵，設(shè)，則，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故③錯(cuò)誤；∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【題型六】圓中求扇形或不規(guī)則圖形的面積【例1】（2025·安徽滁州·一模）如圖，點(diǎn)C在半圓O的直徑的延長(zhǎng)線上，與半圓O相切于點(diǎn)D，，，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】切線的性質(zhì)定理、求弧長(zhǎng)、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，由切線的性質(zhì)得到，從而得到，根據(jù)解直角三角形得到，再利用弧長(zhǎng)公式即可求解，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，如圖：∵與半圓相切，∴，∵，，∴，，∴的長(zhǎng)度，故選：A．圓中求扇形或不規(guī)則圖形面積，先明確扇形圓心角與半徑，用公式S=\frac{n\pir^2}{360}或S=\frac{1}{2}lr（l為弧長(zhǎng)）。不規(guī)則圖形常通過(guò)割補(bǔ)法：拆分或組合為扇形、三角形、弓形（扇形減三角形），利用對(duì)稱性、全等/相似轉(zhuǎn)化，或用整體面積（圓、矩形等）減空白部分，輔以弦長(zhǎng)、垂徑定理求關(guān)鍵線段?！纠?】（2025·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示是某同學(xué)“抖空竹”的一個(gè)瞬間．已知繩子分別與空竹相切于點(diǎn)，且，連接左右兩個(gè)繩柄，經(jīng)過(guò)圓心，分別交于點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、切線的性質(zhì)定理、求其他不規(guī)則圖形的面積、根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積等，連接，可證，得到，，利用三角函數(shù)可得，即得，得到，最后根據(jù)即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，∵是的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，，，∵，∴，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【變式1】（2025·云南昭通·一模）如圖，正五邊形的邊長(zhǎng)為，以頂點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫圓，則圓與正五邊形重疊部分（圖中陰影部分）的面積與重疊部分（陰影部分）圍成圓錐的高分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求扇形面積、求弧長(zhǎng)、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查了正多邊形，扇形面積的計(jì)算，圓錐的側(cè)面展開圖，勾股定理，熟練掌握相關(guān)公式是解題關(guān)鍵．根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和定理求出正五邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可；陰影部分為圓錐的側(cè)面展開圖，扇形的弧長(zhǎng)為圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，先求底面圓的半徑，利用勾股定理即可求解圓錐的高．【詳解】解：五邊形是正五邊形，，．如圖，陰影部分圍成圓錐，圓錐的底面周長(zhǎng)即扇形的弧長(zhǎng)，弧長(zhǎng)，圓錐的底面半徑，圓錐的母線長(zhǎng)為，圓錐的高．故選：D．【變式2】（2025·河南平頂山·一模）如圖，在中，，，以為直徑作，交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、求扇形面積、求其他不規(guī)則圖形的面積、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)求出，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求得，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖，連接，，，，，，，，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，扇形的面積公式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．【變式3】（2025·廣東清遠(yuǎn)·一模）如圖，四邊形是菱形，，，扇形的半徑為4，圓心角為，則圖中陰影部分的面積是．（結(jié)果保留）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)、求扇形面積、求其他不規(guī)則圖形的面積【分析】本題考查了扇形面積的計(jì)算，掌握扇形、菱形的面積公式即割補(bǔ)法是解題的關(guān)鍵．連接，將扇形補(bǔ)到扇形的位置，從而得到即可得到答案．【詳解】解：連接，將扇形補(bǔ)到扇形的位置，

，四邊形是菱形，，過(guò)D作于點(diǎn)H，

，，∵扇形的圓心角為，，．故答案為：．【題型七】圖形平移中求線段或角【例1】（2025·四川南充·一模）如圖，將沿向右平移得，與交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】含30度角的直角三角形、利用平移的性質(zhì)求解【分析】本題考查了平移的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先求出，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵，，∴，由平移的性質(zhì)得：，，∴，∴在中，，故選：C．圖形平移中求線段或角，需緊扣平移性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且等于平移距離。求線段時(shí)，利用對(duì)應(yīng)線段相等或構(gòu)造平行四邊形（對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行相等）轉(zhuǎn)化；求角時(shí)，借助對(duì)應(yīng)角相等及平行線（平移后對(duì)應(yīng)邊平行）導(dǎo)出同位角、內(nèi)錯(cuò)角關(guān)系，復(fù)雜圖形可連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)作輔助線，通過(guò)全等或平行性質(zhì)簡(jiǎn)化問(wèn)題?！纠?】（2025·山東濟(jì)寧·一模）在高為5m，坡面長(zhǎng)為13m的樓梯表面鋪地毯，每米造價(jià)元，鋪完整個(gè)樓梯總造價(jià)需要元．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度(勾股定理的應(yīng)用)、利用平移解決實(shí)際問(wèn)題【分析】本題主要考查了勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的應(yīng)用．利用勾股定理求得所有臺(tái)階橫面長(zhǎng)度，橫面長(zhǎng)度加上豎面長(zhǎng)度即為總長(zhǎng)度，總長(zhǎng)度乘單價(jià)即為總造價(jià)．【詳解】解：根據(jù)題意得，整個(gè)樓梯圖形為直角三角形，根據(jù)勾股定理得：所有臺(tái)階橫面長(zhǎng)為：（m）∴所有樓梯表面的長(zhǎng)度為：（m）∴總造價(jià)為：元．故答案為：．【變式1】（2025·山西忻州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將邊長(zhǎng)為8的正方形沿其對(duì)角線剪開，再把沿著方向平移，得到．當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分（陰影部分）的面積為16時(shí)，移動(dòng)的距離等于（

）

A．4 B．6 C．8 D．16【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】與圖形有關(guān)的問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)、利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解、根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)、利用平移的性質(zhì)求解【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、圖形的平移、平行四邊形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握正方形和平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先證出兩個(gè)三角形重疊部分（陰影部分），即四邊形是平行四邊形，再證出，設(shè)，則，利用平行四邊形的面積公式建立方程，解方程即可得．【詳解】解：∵四邊形是邊長(zhǎng)為8的正方形，∴，，由平移的性質(zhì)得：，∴兩個(gè)三角形重疊部分（陰影部分），即四邊形是平行四邊形，，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵兩個(gè)三角形重疊部分（陰影部分）的面積為16，∴，解得，符合題意，即，故選：A．【變式2】（2025·浙江溫州·一模）如圖，將沿斜邊向右平移得到，與交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連結(jié)．若，，則的長(zhǎng)為．【答案】8【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)、利用平移的性質(zhì)求解【分析】題目主要考查矩形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．連接，根據(jù)題意及矩形的判定和性質(zhì)得出四邊形為矩形，，再由平移的性質(zhì)確定即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：∵將沿斜邊向右平移得到，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，故答案為：8．【變式3】（2025·河南駐馬店·一模）如圖，圖1是一個(gè)邊長(zhǎng)為2，有一個(gè)內(nèi)角為的菱形，我們稱之為原始菱形，將圖1中的菱形沿水平方向向右平移個(gè)單位，得到圖2，將圖2中的原始菱形沿水平方向平移個(gè)單位，得到圖3，依此類推…若經(jīng)過(guò)若干次平移后，圖的面積為，則．【答案】17【知識(shí)點(diǎn)】圖形類規(guī)律探索、利用菱形的性質(zhì)求面積、利用平移的性質(zhì)求解、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了圖形的平移，菱形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．連接，，證明為等邊三角形，得出，根據(jù)勾股定理求出，得出，求出，根據(jù)平移可知：，，，證明，得出，證明，，求出，得出圖2長(zhǎng)面積為，同理得出圖3的面積為，圖4的面積為，總結(jié)得出一般規(guī)律：圖n的面積為，最后求出結(jié)果即可．【詳解】解：連接，，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴，，，，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，根據(jù)平移可知：，，，∴，∴，同理可得：，∴為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴圖2的面積為：，同理可得：圖3的面積為，圖4的面積為，圖n的面積為，當(dāng)時(shí)，解得：．故答案為：17．【題型八】圖形旋轉(zhuǎn)中求線段或角【例1】（2025·湖北孝感·二模）如圖，將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)剛好落在邊上，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、等邊對(duì)等角、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到，，，再通過(guò)等邊對(duì)等角以及三角形外角的性質(zhì)得到，代入已知的數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】解：由繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到可知：，，，，，，故．故選：B．圖形旋轉(zhuǎn)中求線段或角，緊扣旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段、角相等，旋轉(zhuǎn)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到中心距離相等。求線段時(shí)，利用全等（旋轉(zhuǎn)前后圖形全等）或構(gòu)造等腰/等邊三角形（特殊旋轉(zhuǎn)角如60°、90°）；求角則找旋轉(zhuǎn)角或?qū)?yīng)角，結(jié)合三角形內(nèi)角和、外角定理，常連旋轉(zhuǎn)中心與對(duì)應(yīng)點(diǎn)，借全等或特殊角度（如直角）轉(zhuǎn)化，注意隱含的等腰或垂直關(guān)系?！纠?】（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將繞斜邊的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定角度得到，已知，，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、圓周角定理、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】連接，作，再說(shuō)明點(diǎn)A，E，C，B，F(xiàn)共圓，進(jìn)而得出，，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，接下來(lái)根據(jù)勾股定理求出，即可得，再根據(jù)面積相等求出，結(jié)合題意說(shuō)明四邊形是矩形求出，最后根據(jù)得出答案．【詳解】解：如圖所示，連接，作，分別交于點(diǎn)M，H，∵，∴點(diǎn)A，E，C，B，F(xiàn)共圓，∴，．∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴．由題意，，∴，∴．∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，勾股定理，平行線的性質(zhì)和判定，矩形的判定和性質(zhì)，根據(jù)各點(diǎn)共圓得出圓周角相等是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2025·天津南開·一模）如圖，中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，連接，點(diǎn)恰在線段上，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則由等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理可得，則由平角的定義可得，據(jù)此可判斷A、B，根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法得到的度數(shù)，故不能得到的度數(shù)，以及不能得到，則可判斷C、D．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，故B結(jié)論正確，符合題意；∵，∴與不平行，故A結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法得到的度數(shù)，故不能得到的度數(shù)，以及不能得到，進(jìn)而不能得到，，故C、D結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【變式2】（2025·河南駐馬店·一模）如圖，菱形中，，將菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，連接，當(dāng)與第一次垂直時(shí)，的度數(shù)為．【答案】/度【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、利用菱形的性質(zhì)求角度、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)角的運(yùn)用是關(guān)鍵．根據(jù)菱形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，如圖所示，連接，設(shè)與交于點(diǎn)，可證，，由此得到，由，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，∵，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，，∴，如圖所示，連接，設(shè)與交于點(diǎn)，∵，∴，∴，即，∴，∴，即，∴，∵，即，∴，∴，故答案為：．【變式3】（2025·安徽滁州·一模）如圖1，在中，，，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，．（1）當(dāng)平分時(shí)，．（2）如圖2，在（1）的條件下，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，連接，，則的面積的最大值為．【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)題意及垂直平分線的性質(zhì)和角平分線確定，，，再由正切函數(shù)求解即可；（2）取中點(diǎn)，連接，，作于N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，為旋轉(zhuǎn)所得線段，則，，，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短知，三角形三邊關(guān)系得出，故當(dāng)D、O、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)O在線段時(shí)，取最大值，此時(shí)，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∵的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，．，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，故答案為：4；（2）解：取中點(diǎn)，連接，，作于N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，為旋轉(zhuǎn)所得線段，∴，，，根據(jù)垂線段最短知，又，∴當(dāng)D、O、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)O在線段時(shí)，取最大值，最大值為，此時(shí)，∴面積的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，解三角形，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，正確畫出圖形，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)點(diǎn)一：等腰三角形多解題漏解方法解讀：當(dāng)題干中出現(xiàn)類似“若△ABC為等腰三角形”這樣的表述時(shí)，未明確哪兩條邊為腰，需考慮分類討論：①AB=AC(C?,C?);②AB=BC(C?,C?);③AC=BC(C?)解題方法：①求角度：根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和及內(nèi)外角關(guān)系求解；②求線段長(zhǎng)：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)求解，若出現(xiàn)30°、45°的角時(shí)，可考慮用銳角三角函數(shù)或含30°、45°角的直角三角形的性質(zhì)求解.例1．（2025·江西新余·一模）在中，，，，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在邊上，且，若為等腰三角形，則的長(zhǎng)為．【答案】或或5【知識(shí)點(diǎn)】三線合一、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意進(jìn)行分類討論．分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別畫出圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形相似的判定和性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，如圖所示：則，∵，，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，如圖所示：則，，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得：；當(dāng)時(shí)，如圖所示：∵，∴，∵，∴；綜上分析可知：或或5．故答案為：或或5．變式1：（2025·青海西寧·一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為秒．當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)秒后，是以為腰的等腰三角形．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的定義、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，先利用勾股定理可得，再分和兩種情況解答即可求解，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，∴，當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴(秒)；當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴(秒)；綜上，出發(fā)秒或秒，是以為腰的等腰三角形，故答案為：或．變式2：（2025·山東淄博·一模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E是射線上一點(diǎn)，，連接，將沿翻折，得到，延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】矩形與折疊問(wèn)題、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形【分析】①如圖當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，設(shè)交于G．②如圖當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)交于G．分別求解即可解決問(wèn)題；【詳解】解：情形①如圖當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，，，四邊形是矩形，，，，，設(shè)，在中，，，，，，，；情形②如圖當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，，四邊形是矩形，，，，，設(shè)，在中，，，，，，，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)，角的正切等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是分類討論．變式3：（2025·河南駐馬店·一模）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，將沿所在直線翻折得到，的平分線交邊于，連接．若是以為一腰的等腰三角形，則的度數(shù)是．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定、折疊問(wèn)題【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．首先由軸對(duì)稱可以得出，就可以得出，，在證明，得出，就可以求出的值；再分兩種情況討論解答即可，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，∵沿所在直線翻折得到，∴，∴，，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴，∴；故答案為：或．變式4：（2025·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，射線上一點(diǎn)M，以為邊在下方作等邊，點(diǎn)P為射線上一點(diǎn)（不包括點(diǎn)O），若是等腰三角形，則．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的定義結(jié)合題意分兩種情況：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；分別求解即可得解，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，，∵，點(diǎn)P為射線上一點(diǎn)（不包括點(diǎn)O），是等腰三角形，∴存在兩種情況：如圖，當(dāng)時(shí)，則，∴，∴；如圖，當(dāng)時(shí)，則，∴，∴，∴，∴，綜上所述，或，故答案為：或．易錯(cuò)點(diǎn)二：直角三角形多解題漏解方法解讀：當(dāng)題干中出現(xiàn)類似“若△ABC為直角三角形”這樣的表述時(shí)，未明確哪個(gè)角為直角，需考慮分類討論：①∠A=90°(C?);②∠B=90°(C?);③∠C=90°(C?,C?);解題方法：①求角度：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和及內(nèi)外角關(guān)系求解；②求線段長(zhǎng)：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)求解；若出現(xiàn)30°、45°的角時(shí)，可考慮用銳角三角函數(shù)或含30°、45°角的直角三角形的性質(zhì)求解；若出現(xiàn)中點(diǎn)，可考慮用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)或者中位線的性質(zhì)求解。例1．（2025·河南洛陽(yáng)·一模）在中，，點(diǎn)D在邊上（不與B，C重合），連接，將沿折疊，折疊后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】或1【知識(shí)點(diǎn)】含30度角的直角三角形、勾股定理與折疊問(wèn)題、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)已知條件得到當(dāng)是直角三角形時(shí)，或，①當(dāng)時(shí)，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，于是得到，②當(dāng)時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，推出點(diǎn)E在上，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：在中，，，∴，∴，∴，∵點(diǎn)D是邊上的一點(diǎn)，∴，∴當(dāng)是直角三角形時(shí)，或，①當(dāng)時(shí)，則，∵將沿折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，∴，∴，②當(dāng)時(shí)，∵將沿折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，∴，，，∴，∴點(diǎn)E在上，如圖，∴，，，∴，∵，∴，∴，綜上所述，的長(zhǎng)為或1，故答案為：或1．變式1：（2025·河南開封·一模）在平行四邊形中，，，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，連接．當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30度角的直角三角形、利用平行四邊形的性質(zhì)求解【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得，