山東省聊城市第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第二次學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析）VIP

2024級(jí)高一下學(xué)期第二次學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.2．答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上.3．使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)，要字跡工整，筆跡清晰：超出答題區(qū)書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知事件A與事件互為對(duì)立事件，且，則（）A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概率之和為1求解即可.【詳解】因?yàn)槭录嗀與事件互為對(duì)立事件，所以，故選：C.2.給定一組數(shù)據(jù)：，則其分位數(shù)為（）A.17 B.18 C.19 D.20【答案】D【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義直接求解即可【詳解】這組數(shù)從小到大已排列好，因?yàn)?，所以分位?shù)為第6個(gè)數(shù)20，故選：D3.某公司三個(gè)部門(mén)的員工數(shù)量之比為，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個(gè)部門(mén)抽取18名員工進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，若從部門(mén)抽取員工6名，則從部門(mén)抽取員工的數(shù)量為（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】先由從部門(mén)抽取員工6名列方程求出，再根據(jù)分層抽樣的定義可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，解得，所以從部門(mén)抽取員工的數(shù)量為.故選：B4.在正方體中，異面直線與所成的角為（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】【分析】首先由可得是異面直線和所成角，再由為正三角形即可求解.【詳解】連接．因?yàn)闉檎襟w，所以，則是異面直線和所成角．又,可得為等邊三角形，則，所以異面直線與所成角為，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，利用平行構(gòu)造三角形或平行四邊形是關(guān)鍵，考查了空間想象能力和推理能力，屬于中檔題.5.袋子中有4個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中1個(gè)紅球?3個(gè)白球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則“第二次摸到白球”的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】第二次摸到白球的情況有兩種：①第一次摸到白球，第二次摸到白球，②第一次摸到紅球，第二次摸到白球，由此能求出第二次摸到白球的概率．【詳解】袋子中有4個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中1個(gè)紅球?3個(gè)白球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，第二次摸到白球的情況有兩種：①第一次摸到白球，第二次摸到白球，概率為：，②第一次摸到紅球，第二次摸到白球，概率為：，則第二次摸到白球的概率為．故選：A．6.若是異面直線，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.存在與都平行的直線 B.存在與都垂直的平面C.存在過(guò)且與垂直的平面 D.存在過(guò)且與平行的平面【答案】D【解析】【分析】根據(jù)異面直線的定義，結(jié)合線面垂直和線面平行的定理和性質(zhì)判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，如果存在存在與都平行的直線，則，與是異面直線矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如果存在與都垂直的平面，則，與是異面直線矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如果存在過(guò)且與垂直的平面，則，因?yàn)槭钱惷嬷本€，不一定垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)為直線上一點(diǎn)，在上取兩點(diǎn)，則確定一個(gè)平面，在內(nèi)過(guò)作，此時(shí)與確定一個(gè)平面即為過(guò)且與平行的平面，故D正確，故選：D.7.如圖，是用斜二測(cè)畫(huà)法得到的水平放置的的直觀圖，其中.以為軸，將旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫(huà)出的原圖，再分析繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體，求表面積即可.【詳解】如圖為的原圖，可得，所以，所以以為軸，將旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是為頂點(diǎn)為半徑的圓錐，，，所以幾何體的表面積為.故選：B.8.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱BC，，的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面上任意一點(diǎn)，若直線BP與平面EFG無(wú)公共點(diǎn)，則下列命題中，①平面EFG②平面平面③所有點(diǎn)P在直線上④BP與所成的角為，則的最小值是正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】對(duì)于①，根據(jù)直線BP與平面EFG無(wú)公共點(diǎn)進(jìn)行判斷，對(duì)于②，根據(jù)面面平行的判定定理結(jié)合正方體的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于③，結(jié)合①②分析判斷，對(duì)于④，【詳解】對(duì)于①，因?yàn)橹本€BP與平面EFG無(wú)公共點(diǎn)，所以平面EFG，所以①正確，對(duì)于②，連接，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱BC，，的中點(diǎn)，所以∥，∥，因?yàn)椤危浴?，因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面，∥平面，因?yàn)椋矫?，所以平面平面，所以②正確，對(duì)于③，由①②知平面，平面EFG，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，點(diǎn)P為底面上任意一點(diǎn)，所以所有點(diǎn)P在上，所以③錯(cuò)誤，對(duì)于④，因?yàn)椤?，所以為BP與所成的角，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，由③可知點(diǎn)P在上，所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，最小為，所以的最小值為，即的最小值是，所以④正確.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，由線面垂直的性質(zhì)定理，則，故B正確；對(duì)于C，若，則或，當(dāng)時(shí)，又，所以，當(dāng)時(shí)，則內(nèi)必存在一直線，而，則，，故，故C正確；對(duì)于D，若，則與平行或相交，故D錯(cuò)誤，故選：BC.10.已知一組樣本數(shù)據(jù)滿足，則去掉后的新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比（）A.平均數(shù)不變 B.中位數(shù)不變C.方差不變 D.極差不變【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合，分別利用平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的計(jì)算公式逐項(xiàng)判斷.【詳解】由得.對(duì)于A：的平均數(shù)，又的平均數(shù)等于，故A正確；對(duì)于B：的中位數(shù)為，又的中位數(shù)為，故B正確；對(duì)于C：的方差等于，又的方差等于，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：與的極差都等于，故D正確.故選：ABD.11.在如圖所示的三棱錐中，，兩兩互相垂直，下列結(jié)論正確的為（）A.直線與平面所成的角為45°B.二面角的正切值為C.到面的距離為D.作平面，垂足為，則為的重心【答案】ABD【解析】【分析】利用線面垂直的判定定理可得平面，可得為直線與平面所成的角，即可判斷A項(xiàng)；利用線面垂直的判定定理可得平面，即得為二面角的平面角，即可判斷B項(xiàng)；利用等體積法求點(diǎn)面距離即可判斷C項(xiàng)；利用線面垂直得判定定理結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，兩兩互相垂直，，平面，平面，故為直線與平面所成的角，又，所以，故直線與平面所成的角為，故A正確；對(duì)于B，取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，，，兩兩互相垂直，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，故為二面角的平面角，則，故二面角的正切值為，故B項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以，設(shè)到面的距離為，則，解得，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，故為等邊三角形，因?yàn)槠矫?，則點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的投影，又，即點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等，故為的外心也即重心，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)據(jù)的眾數(shù)為4，則其標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_________.【答案】3【解析】【分析】由眾數(shù)的定義得到，再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)的眾數(shù)為4，所以，所以平均數(shù)為：，所以標(biāo)準(zhǔn)差為：，故答案為：3.13.若某正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2和4，側(cè)棱長(zhǎng)為，則其體積為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，求出棱臺(tái)的高，再利用棱臺(tái)的體積公式即可求解.【詳解】如圖所示，在正四棱臺(tái)中，點(diǎn)分別為上、下底面的中心，連接，則由題意可知底面，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則底面，進(jìn)而得四邊形矩形，，所以，又因?yàn)?，所以，即正四棱臺(tái)的高為，所以正四棱臺(tái)的體積為.故答案為：.14.如圖，在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且平面，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上一動(dòng)點(diǎn)，且.若直線與底面所成角的正切值為，則的值為_(kāi)_________.在個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成三棱錐的概率為_(kāi)_________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】（1）根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，即，根據(jù)表示，，再表示出，進(jìn)而得到.（2）找到四點(diǎn)共面不能構(gòu)成三棱錐的總數(shù)，利用對(duì)立事件求出概率.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)橹本€與底面所成角的正切值為，所以，又，，，所以，，又在中，所以，所以，即，所以；從個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)，共有個(gè)結(jié)果，其中4個(gè)點(diǎn)共面的取法有6個(gè)，所以這4個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成三棱錐的概率為，故答案為：；..15.每年的4月23日為“世界讀書(shū)日”.為了解學(xué)生課外閱讀情況，某學(xué)校從本校學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對(duì)其每天閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行調(diào)查，并依據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制了如下頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）求樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（3）已知落在樣本數(shù)據(jù)的平均值是53，方差是4；落在樣本數(shù)據(jù)的平均值是68，方差是9.求落在樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差.【答案】（1）（2）（3）59，60【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得各個(gè)區(qū)間的頻率和為1，即可得到的值；（2）再將各區(qū)間的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)的頻率，并求和，即可得樣本數(shù)據(jù)的平均值；（3）由分層抽樣的方差公式求解.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，解得；【小問(wèn)2詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，所以；【小問(wèn)3詳解】由頻率分布直方圖知，落在?的樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分別為60，40，所以，所以.16.如圖，在四棱錐中，.（1）求證：平面平面；（2）若分別為的中點(diǎn)，求證：平面平面.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）可以證明，結(jié)合，線面垂直、面面垂直的判定定理即可得證；（2）延長(zhǎng)交于，由中位線定理可證，以及，再結(jié)合線面平行、面面平行的判定定理即可得證.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?又平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】延長(zhǎng)交于，因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面.因?yàn)椋?，又為中點(diǎn)，所以，注意到，所以，所以.又因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平?17.如圖，在三棱錐中，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用平面可證平面平面；（2）過(guò)點(diǎn)P作的垂線，垂足為H，連結(jié)，通過(guò)證明平面可得直線與平面所成角為，再通過(guò)計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)闉檎切?，所以；因?yàn)椋?又，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平面?）過(guò)點(diǎn)P作的垂線，垂足為H，連結(jié).因?yàn)槠矫嫫矫?，又平面平面，平面，故平?所以直線與平面所成角為在中，，由余弦定理得，所以.所以,又，故，即直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（1）問(wèn)利用線面垂直證明面面垂直是解題關(guān)鍵；第（2）問(wèn)作出線面角并證明線面角是解題關(guān)鍵.18.甲?乙兩支代表隊(duì)進(jìn)行趣味籃球?qū)官?；?guī)則如下：對(duì)抗賽分為若干局；每局比賽只有勝負(fù)兩種結(jié)果，勝者得1分，負(fù)者得0分；積分首先達(dá)到3分的代表隊(duì)贏得對(duì)抗賽，對(duì)抗賽結(jié)束.假定甲代表隊(duì)每局比賽獲勝的概率為；且各局比賽結(jié)果互不影響.（1）求經(jīng)過(guò)3局比賽，對(duì)抗賽結(jié)束的概率；（2）求甲代表隊(duì)贏得對(duì)抗賽的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由互斥加法、獨(dú)立乘法以及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算即可；（2）首先將事件拆分成若干個(gè)互斥事件的并：即3局或4局或5局結(jié)束比賽，然后求出每個(gè)事件的概率，最后利用互斥加法公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件“甲第局獲勝”，事件“經(jīng)過(guò)3局比賽，對(duì)抗賽結(jié)束”，由題意知，前3局比賽中，甲全勝或者全負(fù)，即，，，于是，經(jīng)過(guò)3局比賽，對(duì)抗賽結(jié)束的概率為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)事件“甲贏得對(duì)抗賽”，“經(jīng)過(guò)局比賽，甲贏得對(duì)抗賽”，.則.若，則甲?乙的積分之比為；若，則甲?乙積分之比為，即在前三局比賽中，甲勝兩局負(fù)一局，第四局甲獲勝，所以；若，則甲?乙的積分之比為，即在前四局比賽中，甲?乙兩人各勝兩局，第五局甲獲勝，所以故.19.如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點(diǎn).（1）求證：∥平面；（2）設(shè)平面與平面的交線為，求二面角的正切值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）設(shè)，連接，結(jié)合三角形中位線定理可得∥，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）設(shè)平面與平面的交線為，則∥，設(shè)為中點(diǎn)，連接，由直棱柱的性質(zhì)結(jié)合已知可證得平面，過(guò)作，連接，可得為二面角的平面角，然后在中求解即可；（3）設(shè)在面上射影為，則為與平面所成角，然后利用等體積法可求出，從而可求出，進(jìn)而在中可求出.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)，連接，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?/p>