第4章 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 單元測試（含答案） 2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第一冊VIP

第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單元測試

一、選擇題1．若冪函數(shù),則()A. B. C.2 D.12．函數(shù)的零點所在的區(qū)間為()A. B. C. D.3．函數(shù)的零點所在區(qū)間為()A. B. C. D.4．已知,,則()A. B. C.1 D.5．已知函數(shù).下列區(qū)間中包含零點的是()A. B. C. D.6．某商場“雙十二”期間搞促銷活動，規(guī)定如表：如果顧客購物的總金額不超過600元，不享受折扣優(yōu)惠；如果顧客的購物總金額超過600元，那么超過600元的部分享受折扣優(yōu)惠，折扣優(yōu)惠按如表計算.享受折扣的購物金額折扣優(yōu)惠超過600元不超過1200元的部分超過1200元的部分李女士在商場獲得的折扣優(yōu)惠金額為60元，則她實際所付金額為()A.1600元 B.1540元 C.1400元 D.1340元7．方程的根所在的區(qū)間為()A. B. C. D.8．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有5個零點,則取值范圍是()A. B. C. D.二、多項選擇題9．函數(shù)（,且）恰有兩個零點,則a可以是()A.2 B. C. D.10．函數(shù)的零點所在區(qū)間不可能是()A. B. C. D.11．已知,,則的值可能為()A. B. C.24 D.三、填空題12．________.13．函數(shù)的定義域為____________.14．____________.15．冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，且經(jīng)過點，請寫出符合條件的一個函數(shù)解析式________.四、解答題16．已知函數(shù)（且）的圖象過點.（1）求函數(shù)的解析式;（2）解不等式.17．茶是中華民族的舉國之飲,發(fā)于神農(nóng),聞于魯周公,始于唐朝,興于宋代,中國茶文化起源久遠(yuǎn),歷史悠久,文化底蘊深厚,是我國文化中的一朵瑰寶！我國人民歷來就有“客來敬茶”的習(xí)慣,這充分反映出中華民族的文明和禮貌.現(xiàn)代研究成果顯示,茶水的口感與水的溫度有關(guān).經(jīng)實驗表明,用的水泡制,待茶水溫度降至?xí)r,飲用口感最佳.東雅中學(xué)利用課余時間開設(shè)了活動探究課《中國茶文化》,某實驗小組為探究室溫下剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時間,每隔1min測量一次茶水溫度,得到茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)如下表：時間012345水溫1009182.978.3772.5367.27設(shè)茶水溫度從經(jīng)過后溫度變?yōu)?現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①;②;③.(1)從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實驗的函數(shù)模型,并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式;(2)根據(jù)(1)中所求函數(shù)模型,求剛泡好的茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)：）;(3)考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實,求進行實驗時的室溫約為多少.18．如圖，某校有一塊形如直角三角形的空地，其中為直角，長40米，長50米現(xiàn)欲在此空地上建造一間健身房，其占地形狀為矩形，且B為矩形的一個頂點，P在邊AC上，求該健身房的最大占地面積.19．比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大?。?1),;(2),;(3),;

(4),.20．已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求a的值;（2）若,求不等式的解集.

參考答案1．答案：A解析：根據(jù)冪函數(shù)定義可知,,解得.故選：A.2．答案：A解析：由,得,,,,,因為,所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選：A.3．答案：B解析：易知單調(diào)遞增;,所以零點所在區(qū)間為,故選：B.4．答案：D解析：由,得,而,則,所以.故選：D.5．答案：B解析：函數(shù),當(dāng)時,,,則,,,,因此在區(qū)間內(nèi)有函數(shù)的零點,當(dāng)時,,,當(dāng)時,,,所以數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi).故選：B.6．答案：D解析：設(shè)李女士在商場購物的總金額為x元，由題意可得：，則，解得，即她實際所付金額為元.故選：D7．答案：C解析：令,故函數(shù)為定義在R上的連續(xù)函數(shù),且顯然為增函數(shù),因為,,,由零點存在定理可知,方程的根所在的區(qū)間為.故選:C.8．答案：D解析：由,,得,,所以函數(shù)在上由小到大的第5個零點為,第6個零點為,由題知,,解得,故選：D.9．答案：CD解析：令,即,因為函數(shù)恰有兩個零點,則函數(shù)和有2個交點.當(dāng)時,畫出函數(shù),的圖象,如下圖：由圖可知,要使函數(shù)和有2個交點,則,解得;當(dāng)時,畫出函數(shù),的圖象,如下圖：由圖可知,要使函數(shù)和有2個交點,則,解得,不符合題意.綜上所述,a的取值范圍為.故選：CD.10．答案：ACD解析：由可知函數(shù)的定義域為,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減,對于A,因,,則,故函數(shù)在區(qū)間上無零點,故A符合題意;對于B,因,,則,故函數(shù)在區(qū)間上有零點,故B不符合題意;對于C,因,,則,函數(shù)在區(qū)間上無零點,故C符合題意;對于D,因,,則,故函數(shù)在區(qū)間上無零點,故D符合題意.即函數(shù)的零點所在區(qū)間不可能是ACD.故選：ACD.11．答案：BC解析：由題意得,,則時,,同理時,故選：BC.12．答案：2解析：原式，故答案為2.13．答案：或解析：要使得函數(shù)有意義,則,即,解得或.故的定義域：或.故答案為：或.14．答案：18解析：.故答案為：18.15．答案：或(答案不唯一)解析：冪函數(shù)在上是減函數(shù)，設(shè)，則，因為有很多解，如、、、等均符合題意.故答案為：或(答案不唯一).16．答案：（1）（2）解析：（1）因為函數(shù)（且）的圖象過點.,所以,即;（2）因為單調(diào)遞增,所以,即不等式的解集是.17．答案：(1)選模型②,且(2)(3)約為10℃解析：(1)由表格數(shù)據(jù)知：函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢,故模型①③不符合,選模型②,則,即,可得,所以且.(2)令,則.所以泡好的茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時間為.(3)由,即,所以進行實驗時的室溫約為.18．答案：500解析：如圖，設(shè)矩形為，長為x米，其中，健身房占地面積為y平方米，因為，所以，即，求解，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即該健身房的最大占地面積為500平方米.19．答案：(1);(2);(3);(4).解析：(1)因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增,且,所以,綜上所述：;(2)因為函數(shù)在R上單調(diào)遞減,且,所以,綜上所述：;(3)因為函數(shù)在R上單調(diào)遞減,且,所以,綜上所述：;(4)因為函數(shù)在R上單調(diào)遞減,且,所以,綜上所述：;20．答案：