常考題型13函數(shù)單調(diào)性的判斷證明與應(yīng)用（原卷版）

?？碱}型13函數(shù)單調(diào)性的判斷、證明與應(yīng)用1.增函數(shù)與減函數(shù)的定義前提條件設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I條件?x1，x2∈D，x1<x2都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)圖示結(jié)論f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減特殊情況當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是減函數(shù)2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．考法一：函數(shù)單調(diào)性的判斷或證明1.定義法(1)利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值，即設(shè)，是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且<.③變形，即通過因式分解、配方、通分、有理化等方法使其轉(zhuǎn)化為易于判斷正負(fù)的式子.⑤定論，即根據(jù)定義得出結(jié)論.其中第③步是關(guān)鍵，在變形中一般盡量將式子化為幾個(gè)最簡因式乘積或商的形式，且其中一定有因式(或).(2)常用的變形技巧:①因式分解：當(dāng)原函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)，通常作差后進(jìn)行因式分解.②通分：當(dāng)原函數(shù)是分式函數(shù)時(shí)，作差后往往先進(jìn)行通分，然后對(duì)分子進(jìn)行因式分解.③配方：當(dāng)原函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，作差后可以考慮配方.④分子有理化：當(dāng)原函數(shù)是含根式的函數(shù)時(shí)，作差后往往考慮分子有理化.(3)利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性還可以用作商法.2.圖象法(1)如果給出函數(shù)圖象(或函數(shù)的圖象能畫出)求單調(diào)區(qū)間，那么只需觀察函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的升降趨勢(shì)，便可直接寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)在探究函數(shù)的單調(diào)性并求單調(diào)區(qū)間問題時(shí)，常需要作出函數(shù)的大致圖象，根據(jù)函數(shù)圖象直觀得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用定義法加以證明.3.利用已知結(jié)論(1)直接判斷法：利用已知函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）的單調(diào)性，直接寫出所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)轉(zhuǎn)化后利用已知結(jié)論.：將所給函數(shù)適當(dāng)?shù)刈冃?，轉(zhuǎn)化為可以利用已知函數(shù)單調(diào)性的形式，再借助已知函數(shù)的單調(diào)性寫出它的單調(diào)區(qū)間。4.性質(zhì)法增增增不確定增減不確定增減減減不確定減增不確定減5.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法增增增增減減減增減減減增簡記為“同增異減”.(2)若一個(gè)函數(shù)是由多個(gè)簡單函數(shù)復(fù)合而成的，則此復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由簡單函數(shù)中減函數(shù)的個(gè)數(shù)決定.若減函數(shù)有偶數(shù)個(gè)，則這個(gè)復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若減函數(shù)有奇數(shù)個(gè)，則這個(gè)復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).①確定函數(shù)定義域.③分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性.6.抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷方法判斷或證明抽象函數(shù)單調(diào)性常用配湊法(2)常見的配湊方法如下考法二：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1.求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍的解題思路(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參.(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，通過解不等式（組）求出參數(shù)的取值范圍.2.比較函數(shù)值的大小比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較，對(duì)于選擇題、填空題，能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解.3.解抽象不等式求解含“f”函數(shù)的不等式的解題思路:先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為4.利用函數(shù)單調(diào)性可以求函數(shù)最值.探究一：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間思路分析：思路分析：【變式練習(xí)】A．（﹣∞，2]和[2，+∞） B．（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）C．[﹣2，2] D．[﹣1，1]探究二：根據(jù)圖像判斷函數(shù)單調(diào)性思路分析：思路分析：【變式練習(xí)】探究三：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的值思路分析：思路分析：【變式練習(xí)】探究四：利用函數(shù)單調(diào)性解不等式思路分析：思路分析：通過討論化簡不等式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可?！咀兪骄毩?xí)】探究五：利用函數(shù)單調(diào)性比較大小