第八章 立體幾何初步 單元測(cè)試（含解析）-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第八章立體幾何初步單元測(cè)試一、單選題1．如果空間兩條直線互相垂直，那么它們可能是（

）A．相交直線 B．異面直線C．平行直線 D．相交或異面直線2．已知空間中兩條不重合的直線，則“與沒(méi)有公共點(diǎn)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．下列說(shuō)法正確的是（

）A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形B．以直角三角形一邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐C．用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)D．空間中，到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球4．A，B，C為空間三點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)()A．能確定一個(gè)平面B．能確定無(wú)數(shù)個(gè)平面C．能確定一個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)平面D．能確定一個(gè)平面或不能確定平面5．如果直線，與平面滿足，那么必有（

）A．和 B．和C．且 D．和6．下列命題正確的是（

）A．與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直的直線與該平面垂直B．過(guò)直線外一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線與該直線平行C．正四面體的外接球球心和內(nèi)切球球心恰好重合D．各面都是等腰三角形的三棱錐一定是正三棱錐7．一個(gè)透明密閉的正方體容器中，恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正方體，則水面在容器中的形狀可以是：①三角形；②四邊形；③五邊形；④六邊形.其中正確的結(jié)論是（

）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④8．如果，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB//CD，正方體的六個(gè)面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m+n=A．8 B．9 C．10 D．11二、多選題9．下列關(guān)于圓柱的說(shuō)法中，正確的是（

）（多選）A．分別以矩形（非正方形）的長(zhǎng)和寬所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的兩個(gè)圓柱是兩個(gè)不同的圓柱B．用平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是與底面全等的圓面C．用一個(gè)不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個(gè)圓面D．以矩形的一組對(duì)邊中點(diǎn)的連線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的面所圍成的幾何體是圓柱10．設(shè)m、n是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．如圖為正方體，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．三棱錐為正四面體B．與互為異面直線且所成的角為C．與互為異面直線且所成的角為D．與互為異面直線且所成的角為三、填空題12．稱(chēng)過(guò)圓柱的軸的任意平面與圓柱形成的平面為軸截面，已知圓柱的軸截面是正方形，且面積為，則圓柱的母線長(zhǎng)為，底面面積為.13．若一個(gè)圓柱的軸截面是面積為的正方形，則該圓柱的表面積為．14．將底面直徑為8，高為的圓錐體石塊打磨成一個(gè)圓柱，則該圓柱側(cè)面積的最大值為.四、解答題15．我們知道，兩點(diǎn)可以確定一條直線，那么幾點(diǎn)可以確定一個(gè)平面呢？你能從生活中的哪些例子中找到啟發(fā)？16．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)棱長(zhǎng)為3cm的正方體的直觀圖.17．如圖，在三棱錐中，，，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)．求異面直線AN，CM所成角的余弦值．18．如圖，在長(zhǎng)方體中，E，F(xiàn)，G分別為，，DC的中點(diǎn)，．求證：(1)平面；(2)平面平面．19．求證：如果兩條行直線中的一條線垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.《第八章立體幾何初步單元測(cè)試》參考答案題號(hào)12345678910答案DBADACBAABDABD題號(hào)11答案ACD1．D【分析】根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系可得答案.【詳解】如果空間兩條直線互相垂直，那么它們可能是相交直線、異面直線，不可能是平行直線.故選：D.2．B【分析】由直線與沒(méi)有公共點(diǎn)表示兩條直線或者與是異面直線，再根據(jù)充分必要性判斷.【詳解】“直線與沒(méi)有公共點(diǎn)”表示兩條直線或者與是異面直線，所以“與沒(méi)有公共點(diǎn)”是“”的必要不充分條件.故選：B3．A【分析】對(duì)于A，根據(jù)棱柱的定義可判斷；對(duì)于B，以直角三角形的斜邊為旋轉(zhuǎn)軸；對(duì)于C，用垂直于底面的平面去截圓錐；對(duì)于D，由球的定義可判斷.【詳解】解：對(duì)于A，根據(jù)棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，得棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，故A正確；對(duì)于B，以直角三角形的斜邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐，故B不正確；對(duì)于C，用垂直于底面的平面去截圓錐，得到的是不是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，故C不正確；對(duì)于D，空間中，到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球面，而不是球體，故D不正確，故選：A．4．D【分析】分類(lèi)討論，A，B，C三點(diǎn)共線和A，B，C三點(diǎn)不共線分別判斷.【詳解】由于題設(shè)中并沒(méi)有指明這三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，所以在應(yīng)用公理2時(shí)要注意條件“不共線的三點(diǎn)”．當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)就不能確定平面，當(dāng)A，B，C三點(diǎn)不共線時(shí)，經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)就可以確定唯一一個(gè)平面．故答案為：D5．A【解析】利用線面平行和線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判斷即可.【詳解】故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行、垂直關(guān)系，考查了學(xué)生邏輯推理和空間想象能力，屬于中檔題.6．C【分析】由線面垂直的定義可判斷A；由平行公理可判斷B；證明正四面體的外接球球心和內(nèi)切球球心恰好重合可判斷C；舉反例可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：與平面任意一條直線都垂直的直線與該平面垂直，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：過(guò)直線外一點(diǎn)可以作一數(shù)條直線與該直線平行，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：如圖為棱長(zhǎng)為的正四面體，設(shè)的中心為，連接，則面，設(shè)正四面體外接球的球心為，則點(diǎn)在上，如圖，則，因?yàn)?，所以四個(gè)小三棱錐，三棱錐、三棱錐、三棱錐、三棱錐全等，所以四個(gè)小三棱錐體積相等，因?yàn)樗膫€(gè)等邊三角形作為底面且面積相等，所以點(diǎn)到四個(gè)面的距離相等，所以外接球的球心為也即是內(nèi)切球的球心，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：如圖：三棱錐中，，，兩兩垂直且相等，則，可滿足各面都是等腰三角形，但不是正三棱錐，故選項(xiàng)D不正確，故選：C.7．B【解析】正方體容器中盛有一半容積的水，無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，其水面總是過(guò)正方體的中心，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)正方體中心，作正方體的截面問(wèn)題.【詳解】因?yàn)檎襟w容器中盛有一半容積的水，無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，其水面總是過(guò)正方體的中心，過(guò)正方體的一條棱和中心可作截面，截面形狀可以是矩形，所以②是正確的；過(guò)正方體的一個(gè)面相鄰兩邊的中點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正六邊形，所以④是正確的；過(guò)正方體的中心的平面截正方體得到的截面不可能是三角形和五邊形，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查在正方體中作截面問(wèn)題、考查實(shí)踐操作能力、空間想象能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.8．A【分析】因?yàn)檫^(guò)EF做垂直于CD（AB）的平面垂直平分CD，所以該平面與過(guò)AB中點(diǎn)并與AB垂直的平面平行，平面和正方體的4個(gè)側(cè)面相交，由于EF和正方體的側(cè)棱不平行，所以它與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4.同理與CE相交的平面有4個(gè)，共8個(gè)，故選：A.考點(diǎn)：該題主要考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，考查空間直線與平面的平行與相交，考查空間想象能力和邏輯思維能力.【詳解】9．ABD【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義，判斷正確；由圓柱的結(jié)構(gòu)特征，可判斷正確，錯(cuò)誤.【詳解】用一個(gè)不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面不是圓面，如用垂直于圓柱底面的平面截圓柱，截面是矩形，故C錯(cuò)誤，顯然A，B，D正確.故選:ABD.【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的定義以及結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.10．ABD【解析】根據(jù)空間線、面關(guān)系，結(jié)合空間關(guān)系相關(guān)圖例以及線線、線面、面面間的平行、垂直判定與性質(zhì)，即可知選項(xiàng)的正誤.【詳解】A：，、不一定平行，錯(cuò)誤.B：，n不一定垂直于，錯(cuò)誤.C：由線面垂直的性質(zhì)：，則必有，正確.D：，m、n不一定平行，錯(cuò)誤.故選：ABD11．ACD【分析】根據(jù)三棱錐各條棱相等即可判斷A；連接，可知與所成角即為與所成角，求出即可判斷B；可知即為與所成角，求出可判斷C；由平面可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槿忮F的各條棱都是正方體表面正方形的對(duì)角線，即各條棱相等，故三棱錐為正四面體，故A正確；對(duì)于B，連接，可知在正方體中，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，故異面直線與所成角為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖可得與互為異面直線，連接，易得四邊形是平行四邊形，則，則即為所成角，由是等邊三角形可得，故C正確；對(duì)于D，由圖可知與互為異面直線，因?yàn)樵谡襟w中，平面，且平面，故，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線的判斷和異面直線所成角的求解，屬于基礎(chǔ)題.12．2cm【分析】根據(jù)圓柱軸截面的性質(zhì)，結(jié)合正方形的面積公式，可得線段長(zhǎng)，根據(jù)圓的面積公式，可得答案.【詳解】由正方形的面積公式，可得其邊長(zhǎng)為，即圓柱的母線長(zhǎng)為，且底面圓的直徑為，則面積為.故答案為：；13．【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，分別計(jì)算出底面積和側(cè)面積，即可出表面積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，因?yàn)?，所以．所以．所以．故答案為?4．【解析】欲使圓柱側(cè)面積最大，需使圓柱內(nèi)接于圓錐，設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，用r表示h，從而求出圓柱側(cè)面積的最大值.【詳解】欲使圓柱側(cè)面積最大，需使圓柱內(nèi)接于圓錐；設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，則，解得；所以；當(dāng)時(shí)，取得最大值為故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了求圓柱側(cè)面積的最值，考查空間想象能力，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值，屬于中檔題.15．答案見(jiàn)解析【詳解】不在同一條直線上的三點(diǎn)；三條腿的凳子比四條腿的凳子在凹凸不平的地面上更穩(wěn)定等.16．見(jiàn)解析【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，在空間直角坐標(biāo)系中畫(huà)出一個(gè)正方體的直觀圖，進(jìn)而得到正方體的直觀圖，得到答案.【詳解】如圖所示：在空間直角坐標(biāo)系中畫(huà)出一個(gè)正方體的直觀圖，擦除坐標(biāo)軸，即可得到直方圖的直觀圖.

【點(diǎn)睛】題主要考查了空間幾何體的的直觀圖的畫(huà)法，其中解答中熟記斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，同時(shí)注意“一變兩不變”的原則是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.17．【分析】連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，推導(dǎo)出異面直線，所成角就是，利用余弦定理解三角形，能求出結(jié)果．【詳解】連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，是異面直線，所成的角，，，，又，，，異面直線，所成的角的余弦值為．18．(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)如圖，根據(jù)題意和中位線的性質(zhì)和長(zhǎng)方體的特征可得四邊形是平行四邊形，，進(jìn)而得出，利用線面平行的判定定理即可證明；(2)根據(jù)題意和中位線的性質(zhì)和長(zhǎng)方體的特征可得四邊形CGFH是平行四邊形，，進(jìn)而得出，結(jié)合(1)與面面平行的判定定理即可證明.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)H，分別連接FH，，因?yàn)镕、H分別是的中點(diǎn)，所以且，在長(zhǎng)方體中，E是的中點(diǎn)，則且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，故，又平面，所以平面；（2）因