2024-2025學(xué)年北師版八年級（初二）數(shù)學(xué)下冊期末考試模擬卷01VIP

-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬卷（考試時間：90分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊。5．難度系數(shù)：0.65。第一部分（選擇題共30分）選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的）1．下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．若a＜b，則下列各式中正確的是（

）A．a(chǎn)＋b＜0 B．－a＜－b C．＞ D．a(chǎn)－b＜03．若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（

）A．x＝0 B．x＝2 C．x≠0 D．x≠24．下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．5．如圖，將直角三角形ABC沿點B到點C的方向平移3cm得到三角形DEF．DE交AC于點H，已知AB＝6cm，BC＝9cm，DH＝2cm，那么圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．6．若關(guān)于的分式方程有增根，則增根為（

）A． B． C． D．7．如圖，函數(shù)與的圖象相交于點，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．8．如圖，四邊形是平行四邊形，在對角線上取兩點E，F(xiàn)，連結(jié)，，，．下列條件：①；②；③，；④；⑤；能得到四邊形是平行四邊形的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個9．如圖，，在、上分別截取線段、，使；分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內(nèi)，兩弧交于點，作射線，在上取點，過點作交于點，作交于點，交于點，則下列結(jié)論中錯誤是（

）A． B．C．是等邊三角形 D．是的中位線10．對于分式，我們把分式叫做的伴隨分式．若分式，分式是的伴隨分式，分式是的伴隨分式，分式是的伴隨分式，…以此類推，則分式等于（

）A． B． C． D．第二部分（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）11．已知，則的值為．12．若，，則代數(shù)式的值是．13．如圖，在中，，，、相交于點O，交于點E，則的周長為．14．如圖，在中，，分別以點A，B為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點，過點D，E作直線，交于點O，交于點P．，，則15．關(guān)于的不等式組有且只有3個整數(shù)解，則k的取值范圍是．16．中，，，點M為邊上一動點，將線段繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至，連接，則周長的最小值為．三、解答題（本大題共8小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（8分）（1）解方程：．（2）先化簡，再求值：，試從，，三個數(shù)中選取一個你喜歡的數(shù)代入求值．（8分）（1）解不等式：，并把它的解集表示在數(shù)軸上．解不等式組：，并求它的非正整數(shù)解．19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點坐標(biāo)分別為，，．(1)平移，使得點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，畫出平移后的，并寫出點的對應(yīng)點的坐標(biāo)；(2)畫出關(guān)于原點的中心對稱圖形．20．（8分）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，BE＝CF．(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)若AB＝5，BC＝6，求DE的長．21．（8分）有一段6000米的道路由甲、乙兩個工程隊負責(zé)完成，已知甲工程隊每天完成600米，乙工程隊每天完成300米，若甲隊先單獨工作若干天，再由甲、乙兩工程隊合作完成剩余的任務(wù)，設(shè)兩工程隊合作施工天．(1)用含的代數(shù)式表示甲隊單獨工作天數(shù)；(2)如果甲隊每天需工程費7000元，乙隊每天需工程費5000元，且支付工程隊總費用不超過79000元，請列不等式求出的最大值．22．（10分）如圖，中，D是邊上任意一點，F(xiàn)是中點，過點C作交的延長線于點E，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求的長．23．（10分）閱讀下列兩份材料，理解其含義并解決下列問題：【閱讀材料1】如果兩個正數(shù)，，即，，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大（小）值問題的有力工具．【實例剖析1】已知，求式子的最小值．解：令，，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，式子有最小值，最小值為4．【閱讀材料2】我們知道，分子比分母小的分數(shù)叫做“真分數(shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分數(shù)，叫做“假分數(shù)”．類似的，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．【實例剖析2】如：，這樣的分式就是假分式；如：，這樣的分式就是真分式，假分數(shù)可以化成（即）帶分數(shù)的形式，類似的，假分式也可以化為帶分式．如：；．【學(xué)以致用】根據(jù)上面兩份材料回答下列問題：(1)已知，則當(dāng)時，式子取到最小值，最小值為；(2)假分式可化為帶分式形式；如果分式的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)的值有個；(3)已知，當(dāng)取何值時，分式取到最大值，最大值為多少？24．（12分）已知，在中，，將邊繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，使、兩點在直線的同側(cè)，連接，，，過點作于點．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，猜想線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)如圖3，若，請直接寫出的面積．

2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬卷（考試時間：90分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊。5．難度系數(shù)：0.65。第一部分（選擇題共30分）選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的）1．下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，以及軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，即可判斷出答案．【詳解】A、此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項錯誤；B、此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項錯誤；C、此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項正確；D、此圖形是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤．故選：C．【點睛】此題主要中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．2．若a＜b，則下列各式中正確的是（

）A．a(chǎn)＋b＜0 B．－a＜－b C．＞ D．a(chǎn)－b＜0【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個判斷即可．【詳解】解：A、∵a＜b，∴a+b不一定小于0，如a=0，b=1，a+b＞0，故本選項不符合題意；B、∵a＜b，∴-a＞-b，故本選項不符合題意；C、∵a＜b，∴＜，故本選項不符合題意；D、∵a＜b，∴a-b＜0，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，能熟記不等式的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：不等式的性質(zhì)1是：不等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變，不等式的性質(zhì)2是：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，不等式的性質(zhì)3是：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．3．若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（

）A．x＝0 B．x＝2 C．x≠0 D．x≠2【答案】D【分析】根據(jù)分式的分母不等于0即可解題.【詳解】解：∵代數(shù)式有意義，∴x-2≠0,即x≠2,故選D.【點睛】本題考查了分式有意義的條件,屬于簡單題,熟悉分式有意義的條件是解題關(guān)鍵.4．下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】因式分解是指把一個多項式化為幾個最簡整式的積的形式，根據(jù)定義對每個選項進行判斷即可．【詳解】A項沒有完全變成幾個最簡整式的積的形式，故A項錯誤；B項屬于展開多項式，故B項錯誤；C項屬于展開多項式，故C項錯誤；D項化為了幾個最簡整式的積的形式，故D項正確；故選：D．【點睛】本題考查了因式分解，掌握知識點是解題關(guān)鍵．5．如圖，將直角三角形ABC沿點B到點C的方向平移3cm得到三角形DEF．DE交AC于點H，已知AB＝6cm，BC＝9cm，DH＝2cm，那么圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，可得EF=BC=9cm，DE=AB=6cm，BE=CF=3cm．由題意可知：即：【詳解】解：由已知得：直角三角形ABC沿點B到點C的方向平移3cm得到三角形DEF．EF=BC=9cm，DE=AB=6cm，BE=CF=3cmDH=2cm即：故答案選：B．【點睛】本題主要考查知識點為平移的性質(zhì)，即平移后的圖形，大小不變，平移前后兩點所連成的線段長度等于平移距離．熟練掌握平移的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．6．若關(guān)于的分式方程有增根，則增根為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在去分母過程中會產(chǎn)生令分母為零的根，這就是增根．根據(jù)增根的定義可判斷．【詳解】解：分式方程的增根就是分母為零時未知數(shù)的值，故，即．故選：A．【點睛】本題主要考查了分式方程中增根的定義，熟練掌握增根的定義是解題關(guān)鍵．7．如圖，函數(shù)與的圖象相交于點，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，熟練掌握函數(shù)圖象法是解題關(guān)鍵．先利用待定系數(shù)法求出點的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于的不等式表示的是函數(shù)的圖象位于函數(shù)的圖象的上方，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可得．【詳解】解：將點代入函數(shù)得：，解得，∴，∵關(guān)于的不等式表示的是函數(shù)的圖象位于函數(shù)的圖象的上方，∴由函數(shù)圖象可知，，即關(guān)于的不等式的解集是，故選：D．8．如圖，四邊形是平行四邊形，在對角線上取兩點E，F(xiàn)，連結(jié)，，，．下列條件：①；②；③，；④；⑤；能得到四邊形是平行四邊形的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】此題主要考查平行四邊形的定義及其判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及判定，則比較簡單．此題利用平行四邊形的判定及全等三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：連接交于點，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，①，可得，即可判定四邊形是平行四邊形；②添加，結(jié)合，可證得，∴，可得，可以證明四邊形是平行四邊形；③，可證得，根據(jù)，證明，可得，可以證明四邊形是平行四邊形；④，無法判定，則無法判定四邊形是平行四邊形；⑤，則，可得，結(jié)合，則，繼而可得，可以證明四邊形是平行四邊形；∴能得到四邊形是平行四邊形的個數(shù)是4個．故選：C．9．如圖，，在、上分別截取線段、，使；分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內(nèi)，兩弧交于點，作射線，在上取點，過點作交于點，作交于點，交于點，則下列結(jié)論中錯誤是（

）

A． B．C．是等邊三角形 D．是的中位線【答案】B【分析】本題考查了尺規(guī)作圖——作角平分線，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，中位線定義，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．根據(jù)尺規(guī)作圖——作角平分線即可判斷A；證明是等邊三角形，利用勾股定理求出，即可判斷B；由等邊三角形的判定即可判斷C；根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)，中位線的定義即可判斷D．【詳解】解：由作圖可知，平分，∵，∴，故A正確；∵，∴，，∵，∴，，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，故B錯誤；∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，故C正確；∴，∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是的中位線，故D正確，故選：B．10．對于分式，我們把分式叫做的伴隨分式．若分式，分式是的伴隨分式，分式是的伴隨分式，分式是的伴隨分式，…以此類推，則分式等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式的混合運算，先求出、、、、、、，得出規(guī)律每次一循環(huán)，結(jié)合即可得解，理解題意，正確得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得：，，，，，，，…，由此可得，每次一循環(huán)，∵，∴，故選：A．第二部分（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）11．已知，則的值為．【答案】/【分析】本題考查比例的性質(zhì)，根據(jù)題意設(shè)，，將其代入式子求解，即可解題．【詳解】解：，設(shè)，，則，故答案為：．12．若，，則代數(shù)式的值是．【答案】【分析】本題考查了因式分解的運用，代數(shù)式求值，利用提公因式法可得，再代入已知條件計算即可求解，掌握因式分解的運用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．13．如圖，在中，，，、相交于點O，交于點E，則的周長為．【答案】【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)．先證明是對角線的中垂線，可得，再進一步利用三角形的周長公式可得答案．【詳解】解：∵在中，O是對角線的交點，且，是對角線的中垂線，，的周長為．故答案為：．14．如圖，在中，，分別以點A，B為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點，過點D，E作直線，交于點O，交于點P．，，則【答案】20【分析】本題考查尺規(guī)作圖-作線段垂直平分線、勾股定理，得到是垂直平分線是解答的關(guān)鍵．先由作圖得，，由勾股定理求得即可求解．【詳解】解：由題意，得是垂直平分線，∴，，在中，，∴，∵，∴，故答案為：20．15．關(guān)于的不等式組有且只有3個整數(shù)解，則k的取值范圍是．【答案】﹣3＜k≤﹣2【分析】解兩個不等式得出其解集，再根據(jù)不等式組整數(shù)解的情況列出關(guān)于k的不等式，解之即可．【詳解】解：解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜k+4，∵不等式組只有3個整數(shù)解，∴不等式組的整數(shù)解為﹣1、0、1，則1＜k+4≤2，解得﹣3＜k≤﹣2，故答案為：﹣3＜k≤﹣2．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于k的不等式．16．中，，，點M為邊上一動點，將線段繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至，連接，則周長的最小值為．【答案】/【分析】如圖，作于H，交延長線于J．證明，推出，推出點N的運動軌跡是線段，該線段所在的直線與直線平行，在的下方，與的距離是1，作點C關(guān)于該直線的對稱點，連接交該直線于，連接，此時的周長最小，作于G，在中，，則，求出，得到，則，在中，，則的周長的最小值為．【詳解】解：如圖，作于H，交延長線于J,∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∴，∴，又∵，∴，∴，∴點N的運動軌跡是線段，該線段所在的直線與直線平行，在的下方，與的距離是1，作點C關(guān)于該直線的對稱點，連接交該直線于，連接，此時的周長最小，作于G，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴的周長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．三、解答題（本大題共8小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（8分）（1）解方程：．（2）先化簡，再求值：，試從，，三個數(shù)中選取一個你喜歡的數(shù)代入求值．【答案】（1）（2），【分析】本題主要考查了解分式方程，分式運算的化簡求值，對于（1），根據(jù)去分母，移項合并同類項，系數(shù)化為1，最后檢驗即可；對于（2），先計算括號內(nèi)的，再根據(jù)分式的乘除法法則計算，然后代入數(shù)值計算即可．【詳解】解：（1）去分母，得，移項，合并同類項，得，系數(shù)化為1，得．經(jīng)檢驗，是原方程的解，所以原方程的解是；（2）原式．∵，∴當(dāng)時，原式．18．（8分）（1）解不等式：，并把它的解集表示在數(shù)軸上．（2）解不等式組：，并求它的非正整數(shù)解．【答案】（1），數(shù)軸見解析；（2），非正整數(shù)解為，0【分析】本題考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式組，用數(shù)軸表示不等式解集，熟練掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．（1）先兩邊同時乘以6去分母得，然后去分母，移項，合并同類項，最后把的系數(shù)化為1得到解集，再在數(shù)軸上表示出解集即可；（2）先解不等式①得，解不等式②得，得到不等式組的解集，再寫出不等式組的非正整數(shù)解即可．【詳解】解：（1）不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：（2）解不等式①，得，解不等式②，得該不等式組得解集為，非正整數(shù)解為，0．19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點坐標(biāo)分別為，，．(1)平移，使得點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，畫出平移后的，并寫出點的對應(yīng)點的坐標(biāo)；(2)畫出關(guān)于原點的中心對稱圖形．【答案】(1)作圖見詳解，(2)作圖見詳解【分析】本題主要考查了平移，中心對稱作圖，解題的關(guān)鍵是作出對應(yīng)點的位置．（1）根據(jù)點的對應(yīng)點得出向左平移2個單位，向下平移4個單位得到，根據(jù)平移的性質(zhì)，作出點、、的對應(yīng)點、、，然后順次連接即可；（2）作出點、、的對應(yīng)點、、，然后順次連接即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求，；（2）解：如圖，即為所求．20．（8分）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，BE＝CF．(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)若AB＝5，BC＝6，求DE的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)得到∠AED=∠AFD=90°，DE=DF，利用HL判定Rt△AED≌Rt△AFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=AF，進而得到AB=AC，即可得解；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BD=3，AD⊥BC，根據(jù)勾股定理求出AD=4，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°，DE=DF，在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∵BE=CF，∴AE+BE=AF+CD，即AB=AC，即△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）可知△ABC是等腰三角形，又∵AD是△ABC的角平分線，BC=6，∴BD=CD=3，AD⊥BC，∵AB=5，∴，∵DE⊥AB，AD⊥BC，∴S△ABD=BD?AD=AB?DE，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（8分）有一段6000米的道路由甲、乙兩個工程隊負責(zé)完成，已知甲工程隊每天完成600米，乙工程隊每天完成300米，若甲隊先單獨工作若干天，再由甲、乙兩工程隊合作完成剩余的任務(wù)，設(shè)兩工程隊合作施工天．(1)用含的代數(shù)式表示甲隊單獨工作天數(shù)；(2)如果甲隊每天需工程費7000元，乙隊每天需工程費5000元，且支付工程隊總費用不超過79000元，請列不等式求出的最大值．【答案】(1)甲隊單獨工作天數(shù)為天(2)6【分析】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，正確理解題意列出關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)甲隊單獨工作t天，根據(jù)“甲隊先單獨工作若干天，再由甲、乙兩工程隊合作完成剩余的任務(wù)，設(shè)兩工程隊合作施工天，共修6000米長”列出二元一次方程求解即可；（2）根據(jù)支付工程隊總費用不超過79000元列不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)甲隊單獨工作t天，根據(jù)題意得，，解得，，所以，甲隊單獨工作天數(shù)為天；（2）解：根據(jù)題意得，，化簡得，解得，，所以，的最大值為6．22．（10分）如圖，中，D是邊上任意一點，F(xiàn)是中點，過點C作交的延長線于點E，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到．根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到，于是得到四邊形是平行四邊形；（2）過點作于點．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，在中，，，求得，，據(jù)此計算即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴．∵是中點，，在與中，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：過點作于點，∵，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．23．（10分）閱讀下列兩份材料，理解其含義并解決下列問題：【閱讀材料1】如果兩個正數(shù)，，即，，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大（?。┲祮栴}的有力工具．【實例剖析1】已知，求式子的最小值．解：令，，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，式子有最小值，最小值為4．【閱讀材料2】我們知道，分子比分母小的分數(shù)叫做“真分數(shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大