回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)VIP

3．1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（第1課時(shí)）一、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)對(duì)象分析學(xué)生將在必修課程學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上，通過對(duì)典型案例的討論，了解和使用一些常用的統(tǒng)計(jì)方法，進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的基本思想，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法在決策中的作用。二、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、知識(shí)與技能通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，了解回歸分析的基本思想，會(huì)對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析，明確建立回歸模型的基本步驟，并對(duì)具體問題進(jìn)行回歸分析，解決實(shí)際應(yīng)用問題。2、過程與方法本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)該讓學(xué)生通過實(shí)際問題去理解回歸分析的必要性，明確回歸分析的基本思想，從散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布上我們發(fā)現(xiàn)直接求回歸直線方程存在明顯的不足，從中引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)解決問題的新思路—進(jìn)行回歸分析，進(jìn)而介紹殘差分析的方法和利用R的平方來表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，從中選擇較為合理的回歸方程，最后是建立回歸模型基本步驟。3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，首先通過實(shí)際問題了解回歸分析的必要性和回歸分析的基本思想，明確回歸分析的基本方法和基本步驟，培養(yǎng)我們利用整體的觀點(diǎn)和互相聯(lián)系的觀點(diǎn)，來分析問題，進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的信心。加強(qiáng)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評(píng)價(jià)兩個(gè)變量的相關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問題的能力。三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握回歸分析的步驟；各相關(guān)指數(shù)、建立回歸模型的步驟。教學(xué)難點(diǎn)：求回歸系數(shù)a,b；相關(guān)指數(shù)的計(jì)算、殘差分析。四、教學(xué)策略：教學(xué)方法：誘思探究教學(xué)法學(xué)習(xí)方法：自主探究、觀察發(fā)現(xiàn)、合作交流、歸納總結(jié)。教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)五、教學(xué)過程：（一）、復(fù)習(xí)引入：回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法。對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)：（),()，…，()，我們知道其回歸方程的截距和斜率的最小二乘估計(jì)公式分別為：（1）（2）其中，（）成為樣本點(diǎn)的中心.回歸分析的基本步驟：(1)畫出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖.(2)求回歸直線方程.(3)用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào).下面我們通過案例，進(jìn)一步學(xué)習(xí)回歸分析的基本思想及其應(yīng)用．舉例：例1.從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重．解：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量x，體重為因變量y.作散點(diǎn)圖(圖3.1一1)從圖3.1一1中可以看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程來近似刻畫它們之間的關(guān)系．根據(jù)探究中的公式（1）和（2)，可以得到.于是得到回歸方程.因此，對(duì)于身高172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為(kg).是斜率的估計(jì)值，說明身高x每增加1個(gè)單位時(shí)，體重y就增加0.849位，這表明體重與身高具有正的線性相關(guān)關(guān)系．如何描述它們之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱？在必修3中，我們介紹了用相關(guān)系數(shù)；來衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的方法．本相關(guān)系數(shù)的具體計(jì)算公式為當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．r的絕對(duì)值越接近1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對(duì)值接近于0時(shí)，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常，當(dāng)r的絕對(duì)值大于0.75時(shí)認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．在本例中，可以計(jì)算出r=0.798．這表明體重與身高有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，從而也表明我們建立的回歸模型是有意義的．顯然，身高172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認(rèn)為她的體重接近于60.316kg.圖3.1一2中的樣本點(diǎn)和回歸直線的相互位置說明了這一點(diǎn)．由于所有的樣本點(diǎn)不共線，而只是散布在某一條直線的附近，所以身高和體重的關(guān)系可用下面的線性回歸模型來表示：,(3)這里a和b為模型的未知參數(shù)，e是y與之間的誤差．通常e為隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)誤差，它的均值E(e）=0，方差D（e）=＞0．這樣線性回歸模型的完整表達(dá)式為：(4)在線性回歸模型（4）中，隨機(jī)誤差e的方差越小，通過回歸直線(5)預(yù)報(bào)真實(shí)值y的精度越高．隨機(jī)誤差是引起預(yù)報(bào)值與真實(shí)值y之間的誤差的原因之一，大小取決于隨機(jī)誤差的方差.另一方面，由于公式（1）和（2）中和為截距和斜率的估計(jì)值，它們與真實(shí)值a和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預(yù)報(bào)值與真實(shí)值y之間誤差的另一個(gè)原因．思考:產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么?一個(gè)人的體重值除了受身高的影響外，還受許多其他因素的影響。例如飲食習(xí)慣、是否喜歡運(yùn)動(dòng)、度量誤差等。事實(shí)上，我們無法知道身高和體重之間的確切關(guān)系是什么，這里只是利用線性回歸方程來近似這種關(guān)系。這種近似以及上面提到的影響因素都是產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因。因?yàn)殡S機(jī)誤差是隨機(jī)變量，所以可以通過這個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)字特征來刻畫它的一些總體特征。均值是反映隨機(jī)變量取值平均水平的數(shù)字特征，方差是反映隨機(jī)變量集中于均值程度的數(shù)字特征，而隨機(jī)誤差的均值為0，因此可以用方差來衡量隨機(jī)誤差的大小。為了衡量預(yù)報(bào)的精度，需要估計(jì)e的值。一個(gè)自然的想法是通過樣本方差來估計(jì)總體方差。如何得到隨機(jī)變量的樣本呢？由于模型（3）或（4）中的隱含在預(yù)報(bào)變量y中，我們無法精確地把它從y中分離出來，因此也就無法得到隨機(jī)變量的樣本。解決問題的途徑是通過樣本的估計(jì)值來估計(jì)。根據(jù)截距和斜率的估計(jì)公式（1）和（2),可以建立回歸方程,因此是（5）中的估計(jì)量．由于隨機(jī)誤差，所以是的估計(jì)量．對(duì)于樣本點(diǎn)（),()，…，()而言，相應(yīng)于它們的隨機(jī)誤差為,其估計(jì)值為,稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差（residual)．類比樣本方差估計(jì)總體方差的思想，可以用作為的估計(jì)量，其中和由公式（1)(2）給出，Q（,）稱為殘差平方和（residualsumofsquares)．可以用衡量回歸方程的預(yù)報(bào)精度．通常，越小，預(yù)報(bào)精度越高．在研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)．然后，可以通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)．這方面的分析工作稱為殘差分析．表3一2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)．編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我們可以利用圖形來分析殘差特性作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重的估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．圖3.1一3是以樣本編號(hào)為橫坐標(biāo)的殘差圖．從圖3.1一3中可以看出，第1個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這兩個(gè)樣本點(diǎn)的過程中是否有人為的錯(cuò)誤．如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因．另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適.這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高．另外，我們還可以用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：顯然，取值越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好．在線性回歸模型中，表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率．越接近于1，表示回歸的效果越好（因?yàn)樵浇咏?，表示解釋變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）．如果對(duì)某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同的回歸方程進(jìn)行回歸分析，也可以通過比較幾個(gè)，選擇大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型．在例1中，=0.64，表明“女大學(xué)生的身高解釋了64％的體重變化”，或者說“女大學(xué)生的體重差異有64％是由身高引起的”.用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問題：1．回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體．例如，不能用女大學(xué)生的身高和體重之間的回歸方程，描述女運(yùn)動(dòng)員的身高和體重之間的關(guān)系．同樣，不能用生長(zhǎng)在南方多雨地區(qū)的樹木的高與直徑之間的回歸方程，描述北方干旱地區(qū)的樹木的高與直徑之間的關(guān)系．2．我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性．例如，不能用20世紀(jì)80年代的身高體重?cái)?shù)據(jù)所建立的回歸方程，描述現(xiàn)在的身高和體重之間的關(guān)系．3．樣本取值的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍．例如，我們的回歸方程是由女大學(xué)生身高和體重?cái)?shù)據(jù)建立的，那么用它來描述一個(gè)人幼兒時(shí)期的身高和體重之間的關(guān)系就不恰當(dāng)（即在回歸方程中，解釋變量x的樣本的取值范圍為［155cm,170cm〕，而用這個(gè)方程計(jì)算x-70cm時(shí)的y值，顯然不合適．)4．不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值．事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值．一般地，建立回歸模型的基本步驟為：(1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；(2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）;(3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a);(4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）;(5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．3、從上節(jié)課的例1提出的問題引入線性回歸模型：Y=bx+a+e解釋變量x預(yù)報(bào)變量y隨機(jī)誤差e4、（1）相關(guān)指數(shù)：相關(guān)系數(shù)r(公式),r>0正相關(guān).R<0負(fù)相關(guān)R絕對(duì)值接近于1相關(guān)性強(qiáng)接r絕對(duì)值近于0相關(guān)性幾乎無5、回憶建立模型的基本步驟①例2問題背景分析畫散點(diǎn)圖。②觀察散點(diǎn)圖，分析解釋變量與預(yù)報(bào)變量更可能是什么函數(shù)關(guān)系。③學(xué)生討論后建立自己的模型④引導(dǎo)學(xué)生探究如果不是線性回歸模型如何估計(jì)參數(shù)。能否利用回歸模型通過探究體會(huì)有些不是線性的模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性模型⑤對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行變換后，對(duì)數(shù)據(jù)（新）建立線性模型⑥轉(zhuǎn)化為原來的變量模型，并通過計(jì)算相關(guān)指數(shù)比較幾個(gè)不同模型的擬合效果⑦總結(jié)建模的思想。鼓勵(lì)學(xué)生大膽創(chuàng)新。⑧布置課后作業(yè)：習(xí)題1.11、6、復(fù)習(xí)與鞏固：練習(xí)1：某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和化學(xué)成績(jī)?nèi)缦卤硭荆瑢?duì)x與y進(jìn)行回歸分析，并預(yù)報(bào)某學(xué)生數(shù)學(xué)成