2023屆新高考數(shù)學高頻考點專項練習：專題九 考點25 數(shù)列求和及其綜合應用（C卷）（含解析）

屆新高考數(shù)學高頻考點專項練習：專題九考點25數(shù)列求和及其綜合應用（C卷）1.九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智玩具，它由九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合而為一.”在某種玩法中，用表示解下個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，滿足，且時，，則解下4個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)為()A.7 B.8 C.9 D.102.《九章算術(shù)》是人類科學史上應用數(shù)學的最早巔峰，書中有這樣一道題：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿.欲以爵次分之，問各得幾何？”其譯文是“現(xiàn)有從高到低依次為大夫、不更、簪裊、上造、公士的五個不同爵次的官員，共獵得五只鹿，要按爵次高低分配（即根據(jù)爵次高低分配得到的獵物數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列），問各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，則大夫所得鹿()A.1只 B.只 C.只 D.2只3.中國明代商人程大位對文學和數(shù)學也頗感興趣，他于60歲時完成杰作《直指算法統(tǒng)宗》.這是一本風行東亞的數(shù)學名著，該書第五卷有問題：今有白米一百八十石，令三人從上及和減率分之，只云甲多丙米三十六石，問：各該若干？翻譯成現(xiàn)代文為：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三個人來分，他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？請你計算甲應該分得()

A.78石 B.76石 C.75石 D.74石4.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列，上面3節(jié)的容積之積為3，下面3節(jié)的容積之積為9，則第5節(jié)的容積為()A.2 B. C.3 D.5.“垛積術(shù)”(隙積術(shù))是由北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學家楊輝、元代數(shù)學家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有菱草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等.某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”:自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是n件，已知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的.若這堆貨物總價是萬元，則n的值為()

A.7 B.8 C.9 D.106.數(shù)列是正項等比數(shù)列，滿足，則數(shù)列的前n項和()

A. B. C. D.7.已知數(shù)列的首項，前n項和為，，.設(shè)，則數(shù)列的前n項和的取值范圍為()A. B. C. D.8.(多選)《張丘建算經(jīng)》是中國古代數(shù)學史上的杰作，該書中有首古民謠記載了一數(shù)列問題:“南山一棵竹，竹尾風割斷，剩下三十節(jié)，一節(jié)一個圈.頭節(jié)高五寸①，頭圈一尺三②.逐節(jié)多三分③，逐圈少分三④.一蟻往上爬，遇圈則繞圈.爬到竹子頂，行程是多遠?”(注釋:①第節(jié)(最下面一節(jié))的高度為0.5尺;②第一圈(最下面一圈)的周長為13尺;③每節(jié)比其下面的一節(jié)多0.03尺;④每圈周長比其下面的一圈少0.013尺)下列說法正確的是()A.螞蟻爬到第10節(jié)底部時的高度是5.58尺B.螞蟻爬到第10節(jié)底部時的高度是6.35尺C.螞蟻爬到竹子頂?shù)男谐淌?3.995尺D.螞蟻爬到竹子頂?shù)男谐淌?1.395尺9.(多選)已知數(shù)列的前n項和為，若是與的等差中項，則下列結(jié)論中正確的是()A.當且僅當時，數(shù)列是等比數(shù)列 B.數(shù)列一定是單調(diào)遞增數(shù)列C.數(shù)列是單調(diào)數(shù)列 D.10.(多選)對于首項為負數(shù)的無窮等比數(shù)列，若對任意的n，，，則稱為“M數(shù)列”；若對任意的，存在，使得，則稱為“L數(shù)列”.若數(shù)列的公比為q，則()A.當時，是“M數(shù)列”B.當時，不是“L數(shù)列”C.當時，為“L數(shù)列”，則一定為“M數(shù)列”D.當時，為“M數(shù)列”，則一定為“L數(shù)列”11.在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前n項和___________.12.某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第年，每年初的價值比上年初減少10萬元；第7年開始，每年初的價值為上年初的75%，則第年初的價值________________.13.已知等比數(shù)列的前n項和為，且滿足，則___________，若，則數(shù)列的前n項和_____________.14.《九章算術(shù)》中有這樣一道題:“今有蒲生一日，長三尺.莞生一日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長等?”其意思是:今有蒲第一口可長三尺，莞第一日可長一尺.蒲的生長長度逐日減半，莞的生長長度逐日增加一倍，問幾日蒲、莞的長度相等?此問題中，當蒲、莞長度相等時.蒲、莞的長度為_______尺.15.已知數(shù)列滿足，，.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列_______的前n項和.

從條件①，②，③中任選一個，補充到上面的問題中，并給出解答.

答案以及解析1.答案：A解析：由于滿足，且時，，所以.2.答案：B解析：設(shè)按爵次高低分配得到的獵物數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，公差為d，則，，，，即大夫所得鹿只.3.答案：A解析：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三個人來分，設(shè)他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，只知道甲比丙多分二十六石，因此公差，則前3項和，解得所以甲應該分得78石.故選A.4.答案：D解析：方法一：依題意可設(shè)，竹子自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列，設(shè)其公比為，由上面3節(jié)的容積之積為3，下面3節(jié)的容積之積為9可知解得，所以第5節(jié)的容積為.故選D.方法二：依題意可設(shè)，竹子自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列，由上面3節(jié)的容積之積為3，下面3節(jié)的容積之積為9可知，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知.所以.故選D.5.答案：B解析：由題意，可知這堆貨物的總價為，則，

，兩式相減可得，所以.當時，.故選B.6.答案：A解析：數(shù)列是正項等比數(shù)列，公比設(shè)為q，由，可得，解得，，則.

則，則前n項和.故選A.7.答案：C解析：由，可得當時，有，兩式相減得，故.又當時，，所以數(shù)列是首項為3、公比為3的等比數(shù)列，故.所以，所以.所以，①，②①-②，得，化簡整理得.因為，所以，又，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，所以，故的取值范圍是，選C.8.答案：AD解析：設(shè)從地面往上，每節(jié)竹長依次為尺，尺，尺，…，尺，所以是以為首項，0.03為公差的等差數(shù)列，，前項和，A正確，B錯誤.由題意知竹節(jié)圈長，上面一圈比下面一圈少0.013尺，設(shè)從地面往上，每節(jié)圈長依次為尺，尺，尺，…，尺，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以一螞蟻往上爬，遇圈則繞圈，爬到竹子頂，行程為(尺)，C錯誤，D正確.9.答案：CD解析：因為是與的等差中項，所以，所以.又，所以，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，，故選項A錯誤.當時，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，故選項B錯誤.因為，所以，當時，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列；當時，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，故選項C正確.由于，故選項D正確.所以正確選項為CD.10.答案：BC解析：選項A，當時，取，則不成立，這與對任意的n，，相矛盾，故不是“M數(shù)列”，故A不正確；選項B，假設(shè)為“L數(shù)列”，則對任意的，存在，使得，由，得，所以，即，所以，但此時，與對任意的，存在，使得相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以當時，不是“L數(shù)列”，故B正確；選項C，當時，為“L數(shù)列”，則對任意的，存在，使得，即，又，所以，所以，所以，而對任意的n，，，因為，所以，，所以，即對任意的n，，，所以為“M數(shù)列”，故C正確；選項D，當時，為“M數(shù)列”，取，則不存在，使得成立，故不為“L數(shù)列”，故D不正確.綜上，故選BC.11.答案：解析：令，顯然，由數(shù)列的遞推公式，可得當，時，，且.由累乘法，可得，顯然，當時，滿足上式，所以，所以.12.答案：解析：當時，數(shù)列是首項為120，公差為的等差數(shù)列，故；當時，是首項為，公比為的等比數(shù)列，故.綜上可得13.答案：解析：因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，因為，所以，解得因為，所以，由，得，所以，所以，因為，所以，所以①，則②.①-②得，即，整理，得.14.答案：5解析：設(shè)蒲(水生植物名)的長度構(gòu)成等比數(shù)列，公比為，其前項和為，莞(植物名)的長度構(gòu)成等比數(shù)列，公