2025數(shù)學(xué)考前綜合題 【2025屆最后一發(fā)】南京教研室考前綜合

A.[-2,1]B.[一∞,-2]C.{0,1}D.{-2,-1,0,1}【提示】A={-2,一1,0,1,2},B=[一∞,1]2.已知A={x∈NIl2-x≤1},BUA={0,1,2,3,4},則滿足條件的集合B有()個(gè).所以，0,4∈B,{1,2,3}的子集個(gè)數(shù)即為B集合的個(gè)數(shù)，23=8個(gè).A.f(1)=0B.x=1為g(x)的一條對(duì)稱軸所以B正確；又f(3)=f(一1)+3,所以1B.關(guān)于x的不等式[x]2-4[x]-12≤0的解集為[-2,6]D.an=n,nEN+,[log?ai]+[log?az]+...+[log2所以-2≤x<7,不等式的解集為(-2,7),故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,因?yàn)?*>0,所以即函數(shù)y=[(x)]的值域是{-1,0},故C正確；對(duì)于D,2≤n<2k+1,[logzan]=k,所以，,所以，上存在極大值，且無最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為7.已知函 所以，g(t)max<g(0)=1,得證.(3)由x>0,e?+x-2>x-2,設(shè)直線y=a,依次交1,y=f(x),y=x-2圖像對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x4,xi,x2,X3,又x?=a+2,x4=-√2(a+1),x?-xi<x3-x4=x?=a+√2(a+1)+2<(√【說明】①幾個(gè)特殊函數(shù)不等式及變形需要熟記，本題就是e≥x+1用一x替換x得到；題可讓學(xué)生證明x?+x?>0.8.已知函數(shù)fx)=x3-3x2+3(1-a)x+3a+b—1.(2)若a=2,b=1,是否能由函數(shù)g(x)=x3-6x的圖像，通過平移變換得到函數(shù)fx),若可以，指出如何平移得到，若不能，說明理由；(3)若a>0,b>0,x∈[0,2],都有Jfx)≤b+a恒成立，求滿足條件的實(shí)數(shù)a的集合.則△=4-4+4a=4a①a≤0,f(x)≥0恒成立，則f(x)在R單調(diào)遞則可將g(x)=x3-6x圖像向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到；令t=x-1,t∈[-1,1],則函數(shù)fx)化為m(t)=3—3at+b則①當(dāng)a≥1,m(t)在區(qū)間[-1,1]上為減函數(shù)，且m(t)=t3-3at+b關(guān)于點(diǎn)(0,b)(b>0)對(duì)稱，【說明】①本題(1)考查一元二次含參不等式解法，可以讓學(xué)生繼續(xù)研究e?+a>0等簡(jiǎn)單指②本題充分考查三次函數(shù)對(duì)稱性，并利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化分類討論和運(yùn)算.9.已知AC=2AB,,點(diǎn)P則實(shí)數(shù)x的值為()若【提示】設(shè)2AB=AD,由題意可得AP=tAD+AC-tAC,則AP-AC=xAD-xAC,即CP=xCD,所以【說明】已知向量共線求參數(shù).A.1B.√2【提示】因?yàn)閍—b在b上的投影向量為單位向量，所以【說明】已知數(shù)量積求模、求投影向量.則α的取值可以是()A.30°B.45°C.a2=ei2+2er·e?+ez2=2+2t,b2=4e?2—?jiǎng)t,【說明】考查數(shù)量積的運(yùn)算律，向量夾角的計(jì)算，用定義求向量的數(shù)量積.12.若點(diǎn)A(1,0)關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)在圓(x-2)2+y2=1上，則k,b的一組取值為A.k=2,b=-2B.,b=-1C.k=1,b=2【答案】D【提示】由于A(1,0)在圓(x—2)2+y2=1上，圓心為(2,0),要使A(1,0)關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)在圓(x-2)2+y2=1上，則直線y=kx+b必經(jīng)過圓心(2,0),故2k+b=0,結(jié)合選項(xiàng)可知：只有D符合，13.動(dòng)圓M經(jīng)過直線l:y=x與◎C:(x-6)2+y2=20的交點(diǎn)A,B,過原點(diǎn)O向動(dòng)圓M作切線，切點(diǎn)為P,若PA·PB>λ恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最大值是()【答案】D【提示】將1與⊙C的方程聯(lián)立，得A(2,2),B(4,4),動(dòng)圓M的方程為(x-6)2+y2-20+所以切線長(zhǎng)|OP|=√0-62+02-20+2(0-0)=4,即P的軌跡是以0為圓心r=4為半徑的而PD|>|OD|-r=3√2-4(O,P,D不能三點(diǎn)共線),14.設(shè)橢的焦點(diǎn)為Fi,F?.P是橢圓上的一點(diǎn)，且,設(shè)△F?PF?的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R,r,若R=3r,則該橢圓的離心率為()①2-②得：所以所以因?yàn)镽=3r,所L解得2a=3c,所以【說明】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍，橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問題.利用正弦定理求外接圓半徑，利用余弦定理解三角形.A.直線1與圓C可能相切B.當(dāng)m=0時(shí)，圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線1的距離等于1C.直線1與直線2x-(m+1)y=0垂直D.若圓C與圓x2+y2-2x+8y+a=0恰有三條公切線，則a=8【答案】CD【提示】對(duì)于A項(xiàng)，整理直線l:(m+1)x+2y-1+m=0(m∈R)可得出m(x+1)+x+2y-1=0,解方程組可得，直線1過定點(diǎn)A(-1,1).圓C:(x+2)2+y2=4的圓心為C(-2,0),半徑為r=2,所以，直線1與圓C一定相交.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)m=0時(shí)，直線1化為x+2y-1=0.所以直線1與直線2x-(m+1)y=0垂直.故C正確；解得a=8.故D項(xiàng)正確.y2+4)2-16y2=16,則y2=x2,錯(cuò)誤.選項(xiàng)C:令x=0,代入方程得√22+y2·√(-2)2+y2=4,化簡(jiǎn)為(4+y)=4,解得y=0,故軌跡與y軸交于(0,0),正確.選項(xiàng)D:取點(diǎn)滿足條件，正確.【說明】根據(jù)條件得到曲線軌跡方程，研究曲線的性質(zhì).17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC滿足A(-1,0),B(1,0),M為邊AB上一點(diǎn)，(2)設(shè)直線CM交y軸于點(diǎn)N,證明：A,B,C(3)設(shè)直線CM與曲線E交于另一點(diǎn)D,求△OCD面積的最大值.橢圓，即E的方程(2)設(shè)直線CM:x=my+n,C(x1,y1),則M(n,0),不妨取y?>0.所以8m2+9-R>0,1則ft)在[2,+o]上單調(diào)遞減，故ft]max=f(2)18.在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過(2)A1,A?為曲線E與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)M(3,0)作直線1交E于C,D兩點(diǎn)(與A1,A?不重合),直線A?C與A?D交于點(diǎn)G.(2)(i)由(1)不妨令A(yù)(一2,0),A?(2,0),直線1不垂直于y軸，設(shè)直線1:x=ty+3,C(x1,yi),D(x?,y2),得(22+4)2+6ty+5=0,由△=1622-80>0,得1>√5或<-√5,直線A?C方程為直線A?D方程為解得,所以點(diǎn)G在直線.(ii)由CG⊥DG,得A?G⊥A?G,則點(diǎn)G在以A?A2為直徑的圓上，設(shè)設(shè)而點(diǎn)A橫坐標(biāo)為一2,則點(diǎn)C橫坐標(biāo)：,縱坐標(biāo)所以直線1的斜【說明】已知兩點(diǎn)求斜率，橢圓中的定直線、軌跡問題，求直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo).19.已知雙曲線C:>0,b>0)的離心率為2,其右焦點(diǎn)F到一條漸近線的距離(2)若直線l:y=kx+m(k>0,m>0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P(1,0).①證明：直線1過定點(diǎn)；②已知點(diǎn)),判斷雙曲線C上是否存在點(diǎn)M,使G為△MAB的重心，若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【提示】(1)因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)為F(c,0),漸近線方程為bx±ay=0,所以右焦點(diǎn)為(號(hào)課辣漸年載的距離因?yàn)殡p曲線的離心率為2,所①設(shè)A(xi,y1),B(x?,y2),聯(lián)立得(3—k2)x2—2kmx—m2—3=0,因?yàn)橐跃€段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P(1,0所以PA·PB=(x?-1)(x?-1)+yuy?=0,即xix?—(x?+x?)+1+yv?=0,因?yàn)閗>0,m>0,所以m=2k,則化簡(jiǎn)得k+42k2—135=0,即(k2—3)(k2+45)=0,所以k2故雙曲線C上不存在點(diǎn)M,使G為△MAB的重心.20.(多選)已知a>0,b>0,a+b=2,則()A.24+2≥4B √b+2≤√10,故D正確.21.將8個(gè)三好生名額分配給甲、乙、丙、丁4個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)名額，則甲班恰好分到2個(gè)名額的概率為_.【提示】對(duì)于A:令x=1,得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為(2-1)?=1,故A不正確；=4,所以展開式中含x?項(xiàng)的系數(shù)為C828-4(一1)?=1120,故D正確.整理可得120≤n(n-1)≤144,因?yàn)閚∈N*,解得n=12,【說明】本題考查實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題.概率與統(tǒng)計(jì)24.已知電商平臺(tái)統(tǒng)計(jì)的連續(xù)5天某商品的點(diǎn)擊量(單位：萬次)如下：樣本號(hào)i1234512345點(diǎn)擊量y;(1)建立點(diǎn)擊量y關(guān)于天數(shù)x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)第6天的點(diǎn)擊量；最終下單了，求用戶甲來自移動(dòng)端的概率.附：回歸直線方程=bx+a,其中【提示所以y關(guān)于x的回歸直線方程為=1.47x+0.29,當(dāng)x=6時(shí)，$=1.47×6+0.29=9.11.答：預(yù)測(cè)第6天的點(diǎn)擊量約為9.11萬次.(2)設(shè)事件A為“用戶甲來自移動(dòng)端”,事件B為“用戶甲下單”,從8道題中任選4道作答，答對(duì)3道及以上則進(jìn)入決賽，否則被淘汰.獨(dú)立.【提示】(1)由已知X的取值為0,1,2,3,4,X01234P所以甲進(jìn)入決賽的概率為P=PX=3)+P則Y的可能取值為0,50,100,200,所以P(Y=0)=C3(1-p)3,P(Y=50)=Cp(1-p)2,P(Y=100)=C3p2(1-p),P(Y=200所以E(Y)=50Cp(1-p)2+100C3p2(1-p)+200C3p3=50p3+150p.由題意得4E(Y)≥325,即200p3+600p≥325,整理得8p3+24p-13≥0,法1:法2:g(p)=8p3+24p—13,g'(p)=24p2+24>0,所以g(p)在(0,+o)上為增函數(shù)，統(tǒng)計(jì)表明，該地區(qū)整個(gè)冬季的流感患病率是52.28%,至冬季結(jié)束仍然有95%的居民未接種疫苗，這些沒有接種過流感疫苗的居民的患病率為55%.數(shù)，λ是泊松分布的均值.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，當(dāng)n≥100且p≤0.01時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布,其中=p,即x～B(n2,D),苗的人群中隨機(jī)抽取1000人，按上述泊松分布近似計(jì)算：①求1000人中流感的患病率小于0.3%的概率約為多少；②設(shè)1000人中患流感的人數(shù)為X,求使得P(X=i)最大時(shí)X的值.【提示】(1)記事件A為“患流感”,則事件A為“未患流感”,P(4)=0.5228,事件B為“接種疫苗”,則事件B為“未接種疫苗”,P(B)=0.05,P(B)=0.95,P(4|B)=0.55,即0.5228=0.05×P(A|B)+0.55×0.95,解得P(A|B)=0.006.答：現(xiàn)從接種過疫苗的人群中任選一位居民，這人患病的概率為0.006.(2)①由已知：當(dāng)n≥100且p≤0.01時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布np=6,1000×0.3%=3,設(shè)1000人中患流感的人數(shù)為Y人，則Y=0,1,2,P(Y=0)=e??,P(Y=1)=6e??,P(Y=2P(Y<3)=e?+6e??+18e??≈0.0625.【說明】本題考查條件概率，全概率公式，新定義概率模型，概率中的最值問題.bn-1-1),否則(am,bn)=(an-1-1,bn-1);如果出現(xiàn)硬幣反面朝上，若b=(an-1-1,bn-1-1),否則(an,bn)=(an-1,bn-1-1).拋擲n(n≥1)次硬幣后，記an=bn的概率為Pn.(3)若n>1,則拋擲幾次硬幣后使得an=b的概率最大?請(qǐng)給出證明過程.【提示】(1)當(dāng)?shù)?次拋擲硬幣時(shí)，若正面朝上，則(ai,bi)=(ao—1,bo)=(一1,0);當(dāng)?shù)?次拋擲硬幣時(shí)，如果正面朝上，此時(shí)若第1次正面朝上，由(ai,bi)=(-1,0)知ai<b,此時(shí)若第1次反面朝上，由(ai,bi)=(0,一1)知a?>b,則(a?,b?)=(a?-1,bi)=(-1,一當(dāng)?shù)?次拋擲硬幣時(shí)，如果反面朝上，此時(shí)若第1次正面朝上，由(a?,b?)=(-1,0)知a?<b,則(a?,b)=(a?,b?-1)=(-1,一此時(shí)若第1次反面朝上，由(a1,bi)=(0,一1)知a?>bi,則(a?,b?)=(a?-1,b?-1所以P?=0,若an-1>bn-1,且第n次擲出正面時(shí)，有(an,bn)=(an-1-1,bn-1),此時(shí)an=bn;若an-1<bn-1,且第n次擲出反面時(shí)，有(an,bn)=(an-1,bn-1-1),所以即,所以因?yàn)樗运?所以且隨著n的增大而減小，所以綜上，拋擲2次硬幣后使得an=bn的概率最大.【說明】本題考查概率建模，遞推數(shù)列，等比數(shù)列的證明，數(shù)列的單調(diào)性與最值.28.已知一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,.….,2n的2n(n∈N)張卡片.現(xiàn)從這個(gè)袋子中依次隨機(jī)抽取一張卡片.(1)若取出的卡片再放回袋子，直到取到標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的卡片就(2)若取出的卡片不再放回袋子，記Y為最后一張標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的卡片被取出時(shí)所需的抽取次數(shù)，求E(Y).由題意知X的所有可能取值為1,2,3,.…,n,則X的分布列為X12nP…所以則所以因?yàn)樗訟.0B.1C.-1在第二象限.0,母線與下底面所成角為,則該圓臺(tái)的側(cè)面積為()BD.3π形A?BiC?D?內(nèi)一點(diǎn)(包含邊界),下列說法正確的是()A.若點(diǎn)P是A?B?中點(diǎn)，則MPBD四點(diǎn)共面B.存在點(diǎn)P,使得直線BP與AA1所成角為60°D.若BP=√6,那么P點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度線為1,則()故D正確.又B∈平面且B∈平面ABCD,連接AC交BD于點(diǎn)O,可知DO=BO,P(0,6),E(0,4),A(4,0),R可得再過M點(diǎn)作MK⊥PD,可得MK=2,DK=3,所所以②求點(diǎn)B1到直線BP的距離.【答案】解：(1)過點(diǎn)A1作A?H⊥AC并交AC于點(diǎn)H,交AC?于點(diǎn)M,連接A?C,則平行四邊形A?ACC是菱形，則有A?C⊥AC,于是得AC⊥平面A?BC,而BC平面A?BC,則AC?⊥BC,又AC?⊥BC,A?HNAC?=M,A?HAC1平面A?ACC,得BC⊥平面A?ACC?,又A(2①在平面A?ACC?內(nèi)過C作Cz⊥AC,AC=AA?=4,BC=2,則C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,2,0),,P(2,0,0),記A(a,0,h),則有BA?=(a,-2,h),BP令x=1令x=1得n=(1,1, 則P(0,0,1),D(0,-1,0),A(-1,0,0),∴DP=(0,1,1),DA=(-1,1,0),設(shè)E(a,1-a,0),則PE=(a,1-a,-1),設(shè)平面PAD的法向量n=(x,y,z),取x=1,則n=(1,1,-1)【說明】本題考查兩角和與差，用已知角表示未知角，要求前，要注意通過sin(a)值，縮小角的范圍.38.若38.若A.旦旦【答案】A【提示】∵*【說明】本題考查通過三角函數(shù)值，求角.先求出2α和β—α的取值范圍，根據(jù)取值范圍解出cos2α和cos(β-α)的值，再利用cos(a+β)=cos[2a+(β-a)]=cos2acos(β-α)—sin2asin(β-α)39.已知角α,,且sinβ=2cos(a+β)sina,B.D.【提示】已知sinβ=2cos(a+β)sinα,可得：sinβ=2(cosacosβ—sinasinβ)sinα,sinβ=上式可化為：因?yàn)?,所以1>0,則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.【說明】本題考查三角函數(shù)最值問題，利用三角函數(shù)的兩角和公式將sinβ=2cos(a+β)sina40.(多選)已知函則()A.f(x)的最小正周期為πB.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對(duì)稱C.不等式f(x)>x無解D.f(x)的最大值【答案】BD【提示】,二π不是f(x)的周期，A錯(cuò)選BD.C.四邊形ABCD面積的最小值為10√3-12【提示】∵3(acosB+bcosA)=2csinC,當(dāng),即時(shí)，四邊形ABCD面積取最大值10√3+12,故D正確.應(yīng)用.42.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,2,則的取值范圍【答案】設(shè)則當(dāng)所以,所!>0,再利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的最值.【提示】解：因?yàn)镾=b2+c2—a2,所以bcsinA=b2+c2—a2=2bccosA,所以*所以求解.則化簡(jiǎn)得cosAsinB+sinAcosB=245.在△ABC中，角A,B,C