第11講 圓的方程與7考點(diǎn)精講（解析版）-25新高二數(shù)學(xué)-高一升高二暑假預(yù)習(xí)課

第11講圓的方程目錄TOC\o"1-2"\h\u第11講圓的方程 1一、圓的方程 2基礎(chǔ)知識(shí) 2考點(diǎn)1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2考點(diǎn)2求圓的一般方程 4二、二元二次方程和圓的方程 7基礎(chǔ)知識(shí) 7考點(diǎn)3二元二次方程表示圓的條件 7考點(diǎn)4圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題 8三、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 10基礎(chǔ)知識(shí) 10考點(diǎn)5點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 10四、軌跡方程 12基礎(chǔ)知識(shí) 12考點(diǎn)6圓相關(guān)的軌跡問(wèn)題 12五、圓相關(guān)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 16基礎(chǔ)知識(shí) 16考點(diǎn)7圓相關(guān)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 16六、課后作業(yè) 19單選題 19多選題 22填空題 22解答題 23

一、圓的方程基礎(chǔ)知識(shí)1．圓的定義圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓(定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑).圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程(r>0)叫作以點(diǎn)(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3．圓的一般方程(1)方程叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn)；

②已知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線(xiàn)，將兩個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線(xiàn)方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn).考點(diǎn)1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1.1】（23-24高二上·天津武清·階段練習(xí)）圓心為?1,1，半徑為2的圓的方程為（

）A．x+12+y?1C．x?12+y+1【解題思路】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行判斷即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閳A的圓心為?1,1，半徑為2，所以圓的方程為x+12故選：A.【例1.2】（23-24高二上·陜西·期中）過(guò)四點(diǎn)0,0，4,0，?1,1，4,2中的三點(diǎn)的圓的方程可能為（

）A．x2+yC．x?432【解題思路】求出過(guò)四點(diǎn)0,0，4,0，?1,1，4,2中的三點(diǎn)的所有圓的方程可得答案.【解答過(guò)程】設(shè)過(guò)點(diǎn)0,0，4,0，?1,1的圓的方程為x2所以F1=016+0+4即方程為x2+y設(shè)過(guò)點(diǎn)0,0，4,0，4,2的圓的方程為x2所以F2=016+0+4即方程為x2+y設(shè)過(guò)點(diǎn)?1,1，4,0，4,2的圓的方程為x2所以1+1?D3+即方程為x2+y設(shè)過(guò)點(diǎn)?1,1，0,0，4,2的圓的方程為x2所以1+1?D4+即方程為x2+y故選：D.【變式1.1】（23-24高二上·河北石家莊·期中）過(guò)點(diǎn)A?1,1,B3,?3A．(x?1)2+(y+1)C．(x?1)2+(y+1)【解題思路】半徑最小的圓即以AB為直徑的圓.【解答過(guò)程】過(guò)點(diǎn)A?1,1,B3,?3則圓心為AB中點(diǎn)M(1,?1)，半徑為r=(?1?3)則圓方程為：(x?1)2故選：A.【變式1.2】（23-24高二上·遼寧·階段練習(xí)）若圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,5)，B(4,3)，且圓心在直線(xiàn)l:2x+y?7=0上，則圓C的方程為（

）A．(x?3)2+(y?6)C．(x?2)2+(y?3)【解題思路】用待定系數(shù)法設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合題意計(jì)算即可得.【解答過(guò)程】設(shè)該圓方程為(x?a)2則圓心為a,b，有2a+b?7=0，將點(diǎn)A(2,5)，B(4,3)代入，有2?a2+5+2a?7兩式相減得12a?24=0，即有a=2，則b=7?2a=3，r2故該圓方程為(x?2)2故選：B.考點(diǎn)2求圓的一般方程【例2.1】（23-24高二上·陜西西安·階段練習(xí)）直線(xiàn)x4+y2=1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,BA．x2+yC．x2+y【解題思路】根據(jù)直線(xiàn)方程求出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，法一：利用圓的直徑式方程直接求得；法二：求出AB中點(diǎn)即為圓心，AB長(zhǎng)的一半為半徑，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接寫(xiě)出，再化為一般方程即可.【解答過(guò)程】由題：A(4,0),B(0,2)法一：根據(jù)圓的直徑式方程可以得到：以線(xiàn)段AB為直徑的圓的方程為x(x?4)+y(y?2)=0，即x2故選：B.法二：AB中點(diǎn)為(2,1)，|AB|=故以線(xiàn)段AB為直徑的圓的圓心為(2,1)，半徑為5，所以圓的方程為(x?2)2+(y?1)故選：B.【例2.2】（23-24高三上·北京順義·期中）已知圓C的圓心坐標(biāo)為(?3,2)，且點(diǎn)(?1,1)在圓C上，則圓C的方程為（

）A．x2+yC．x2+y【解題思路】由圓心坐標(biāo)可以設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將點(diǎn)C代入可求出圓的半徑，最后整理成圓的一般式方程即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閳AC的圓心坐標(biāo)為(?3,2)，所以設(shè)圓C的方程為：x+32由點(diǎn)(?1,1)在圓C上，則?1+32+1?2則圓C的方程為：x+32+y?2故選：A.【變式2.1】（23-24高二上·浙江·期中）若直線(xiàn)4x+3y?12=0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A,B，則以AB為直徑的圓的方程為（

）A．x2+yC．x2+y【解題思路】根據(jù)A,B點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出以AB為直徑的圓的方程即可.【解答過(guò)程】直線(xiàn)4x+3y?12=0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A(3,0),B(0,4)，則AB=則以AB為直徑的圓半徑為52，圓心即為A,B中點(diǎn)坐標(biāo)為3所以以AB為直徑的圓的方程為x?3化簡(jiǎn)得：x2故選：A.【變式2.2】（23-24高二上·河北保定·期中）過(guò)圓C:x2+y2A．2x?y?1=0 B．2x+y?7=0C．x?2y+5=0 D．x+y?5=0【解題思路】求出圓的圓心，直線(xiàn)斜率，通過(guò)點(diǎn)斜式求直線(xiàn)方程【解答過(guò)程】因?yàn)閳AC:x2+所以圓心為1,3，又直線(xiàn)x2+y4=1∴所求直線(xiàn)的方程為y?3=12x?1故選：C.

二、二元二次方程和圓的方程基礎(chǔ)知識(shí)1．二元二次方程與圓的方程(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：

二元二次方程，對(duì)比圓的一般方程，我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的方程.(2)二元二次方程表示圓的條件：二元二次方程表示圓的條件是考點(diǎn)3二元二次方程表示圓的條件【例1.1】（23-24高二上·北京順義·期中）若x2+y2+4x?2y?m=0A．5,+∞ B．?∞,5 C．?【解題思路】根據(jù)圓的一般式滿(mǎn)足的條件即可列不等式求解.【解答過(guò)程】因?yàn)榉匠蘹2+y解得m>?5，所以m的取值范圍是?5,+∞故選：D.【例1.2】（23-24高二上·河北·期中）若方程x2+y2+4x+2y?m=0A．?∞,?5 B．?5,+∞ C．?【解題思路】根據(jù)圓的一般式滿(mǎn)足的條件即可列不等式求解.【解答過(guò)程】因?yàn)榉匠蘹2+y2+4x+2y?m=0故選：B.【變式1.1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知方程x2+y2+4x?2y?5c=0A．c>?1 B．c≥?1C．c>1 D．c≤1【解題思路】根據(jù)題意，由42【解答過(guò)程】解：因?yàn)榉匠蘹2所以42+?2故選：A.【變式1.2】（23-24高二上·浙江舟山·階段練習(xí)）若a∈?2,?1,0,12,3A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】由圓的一般方程表示圓的條件計(jì)算即可.【解答過(guò)程】由題意可知：a2解之得?2<a<2又a∈?2,?1,0,12故選：C.考點(diǎn)4圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【例2.1】（23-24高二上·安徽·階段練習(xí)）若圓C：x2+y2A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1【解題思路】把坐標(biāo)(0,0)代入圓方程求解．注意檢驗(yàn)，方程表示圓．【解答過(guò)程】將0,0代入圓方程，得m2?3m+2=0，解得m=1或2，當(dāng)m=2時(shí)，x2故選：A．【例2.2】（23-24高二上·湖北荊州·期末）圓C:x2+y2+ax?2ay?5=0恒過(guò)的定點(diǎn)為（

）A．?2,1,(2,?1) B．C．?1,?2,(1,2) 【解題思路】將方程進(jìn)行變形整理，解方程組即可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】圓C:x2+由x?2y=0x2+y2故圓C恒過(guò)定點(diǎn)?2,?1,故選：D．【變式2.1】（23-24高二下·上海徐匯·期中）對(duì)任意實(shí)數(shù)m，圓x2+y2?3mx?6my+9m?2=0恒過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為【解題思路】由已知得x2+y【解答過(guò)程】解：x2+y令x2+y2?2=03x+6y?9=0，解得x=1，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)是1,1或15故答案為：1,1或15【變式2.2】（23-24高二下·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）對(duì)任意實(shí)數(shù)m，圓x2+y2?2mx?4my+6m?2=0恒過(guò)定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為【解題思路】將圓的方程重新按m合并同類(lèi)項(xiàng)，由此列方程組，解方程組求得定點(diǎn)坐標(biāo).【解答過(guò)程】由x2+y2?2mx?4my+6m?2=0由得?2mx+2y?3+故填：1,1、15

三、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)1．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.(2)圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為.平面內(nèi)一點(diǎn).位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程)代數(shù)法(一般方程)點(diǎn)在圓上|MA|=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2點(diǎn)在圓內(nèi)|MA|<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2點(diǎn)在圓外|MA|>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2考點(diǎn)5點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例1.1】（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）若點(diǎn)2,1在圓x2+y2?x+y+a=0A．(?4,+∞) B．?∞,12【解題思路】根據(jù)方程表示圓的方程以及點(diǎn)2,1在圓外分別列出關(guān)于a的不等式，由此求解出a的取值范圍.【解答過(guò)程】因?yàn)榉匠蘹2所以?12+1又因?yàn)辄c(diǎn)2,1在圓x2所以4+1?2+1+a>0，即a>?4，所以a∈?4,故選：C.【例1.2】（2023高二上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P(a,10)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?12+y?1A．在圓內(nèi) B．在圓上C．在圓外 D．與a的取值有關(guān)【解題思路】由點(diǎn)P(a,10)到圓心的距離和圓的半徑比較大小即可得解.【解答過(guò)程】∵a?12∴點(diǎn)P在圓外.故選：C．【變式1.1】（23-24高二上·廣東惠州·期中）點(diǎn)P(m,3)與圓x?22+y?1A．點(diǎn)在圓外 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓上 D．與m的值無(wú)關(guān)【解題思路】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程即可判斷得到結(jié)果.【解答過(guò)程】∵m?2∴Pm,3在圓x?2故選：A.【變式1.2】（2024高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)(?1,?1)在圓(x+a)2+(y?a)2=4A．?1<a<1 B．0<a<1C．a(chǎn)<?1或a>1 D．a(chǎn)=±1

【解題思路】由點(diǎn)在圓內(nèi)得(?1+a)2+(?1?a)【解答過(guò)程】點(diǎn)(?1,?1)在圓(x+a)2所以(?1+a)2+(?1?a)2<4故選:A.

四、軌跡方程基礎(chǔ)知識(shí)1．軌跡方程求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過(guò)“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量x,y之間的方程.(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件符合某一基本曲線(xiàn)的定義(如圓)時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法(或稱(chēng)相關(guān)點(diǎn)法).(2)求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分"軌跡"與"軌跡方程"；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線(xiàn)等.2.求軌跡方程：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示軌跡(曲線(xiàn))上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)列出關(guān)于x,y的方程；(3)把方程化為最簡(jiǎn)形式；(4)除去方程中的瑕點(diǎn)(即不符合題意的點(diǎn))；(5)作答.考點(diǎn)6圓相關(guān)的軌跡問(wèn)題【例1.1】（2024高二上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知等腰三角形的頂點(diǎn)是A4,2，底邊一個(gè)端點(diǎn)是B3,5，另一個(gè)端點(diǎn)是C，求線(xiàn)段AC中點(diǎn)【解題思路】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合點(diǎn)點(diǎn)距離公式即可求解.【解答過(guò)程】設(shè)M(x,y)，又A4,2，M為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，∴C由于AC=AB,所以即可x?42由于A,B,C三點(diǎn)不共線(xiàn)，所以2x?4≠3且2x?4≠5，所以x≠72且∴中點(diǎn)M的軌跡方程為x?42+y?2【例1.2】（2024高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)，P是以點(diǎn)O為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C,D重合)，∠POB的角平分線(xiàn)交直線(xiàn)PB于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程．【解題思路】由三角形的角平分線(xiàn)的性質(zhì)，得到BQ=2QP，設(shè)點(diǎn)Q(x,y),P(x0,【解答過(guò)程】由三角形的角平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得BQQP=OB設(shè)點(diǎn)Q(x,y),P(x0,所以x?2=2x0?2x因?yàn)閥0≠0，所以又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O上，所以(3x?22)即點(diǎn)Q的軌跡方程為(x?2【變式1.1】（23-24高二上·廣東佛山·期末）已知點(diǎn)A2,0，圓O:x2+y2=10(1)當(dāng)點(diǎn)B在第一象限且橫坐標(biāo)為3時(shí)，求AD邊所在直線(xiàn)的方程；(2)求點(diǎn)D的軌跡方程．【解題思路】（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線(xiàn)AB的斜率，再結(jié)合垂直關(guān)系求出直線(xiàn)AD的方程.（2）由圓的性質(zhì)可得線(xiàn)段AD的中垂線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，再借助圓的定義求出軌跡方程即得.【解答過(guò)程】（1）設(shè)點(diǎn)B(3,t),t>0，由32+t2=10，得t=1，直線(xiàn)AB所以直線(xiàn)AD的方程為y?0=?1?(x?2)，即x+y?2=0.（2）由于線(xiàn)段BC是圓O:x2+y2又線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)是矩形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸，因此該對(duì)稱(chēng)軸垂直平分線(xiàn)段AD，即|OD|=|OA|=2，顯然B,C不重合，當(dāng)B,C重合時(shí)，點(diǎn)A,D重合，則點(diǎn)D的軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓（除點(diǎn)A外），所以點(diǎn)D的軌跡方程是x2【變式1.2】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知A(2，0)為圓O：x2＋y2＝r2上一點(diǎn)，點(diǎn)B(1，1)，P，Q為圓O上的動(dòng)點(diǎn).(1)求線(xiàn)段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線(xiàn)段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.【解題思路】（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x－2，2y)，進(jìn)行求解即可；（2）得到OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】（1）設(shè)線(xiàn)段AP的中點(diǎn)為M(x，y).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x－2，2y).∵A(2，0)為圓O：x2＋y2＝r2上一點(diǎn)，∴圓O的方程為x2＋y2＝4.又點(diǎn)P在圓O上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1，故線(xiàn)段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.（2）設(shè)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為N(x，y).在Rt△PBQ中，PN＝BN，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ，∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－x－y－1＝0.∴線(xiàn)段PQ中點(diǎn)N的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.

五、圓相關(guān)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題基礎(chǔ)知識(shí)1．與圓有關(guān)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題(1)圓的軸對(duì)稱(chēng)性：圓關(guān)于直徑所在的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).

(2)圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圓，只需確定所求圓的圓心位置.

②若兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線(xiàn)的中點(diǎn).

(3)圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)

①求已知圓關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓，只需確定所求圓的圓心位置.

②若兩圓關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則此直線(xiàn)為兩圓圓心連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn).考點(diǎn)7圓相關(guān)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題【例1.1】（23-24高二上·江蘇南通·期中）圓C：x2+y2+2x?4y+4=0關(guān)于直線(xiàn)y=x?1A．x?12+y+1C．x?22+y+3【解題思路】將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心、半徑.根據(jù)已知求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′【解答過(guò)程】將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，x+12所以，圓心C?1,2，半徑r=1設(shè)C′由已知可得，y0+22所以，圓C′的圓心為C′3,?2所以，圓C′的方程為x?3故選：D.【例1.2】（23-24高二上·天津河?xùn)|·期中）若圓x2+y2+4x?12y+1=0關(guān)于直線(xiàn)x?by+6=0A．0 B．32 C．2 D．【解題思路】得到圓心在直線(xiàn)上，先求出圓心，代入即可.【解答過(guò)程】圓x2+y即圓心在直線(xiàn)上，由x2+y則?2?6b+6=0，得b=2故選：D.【變式1.1】（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如果圓x2+y2+Dx+Ey+F=0（DA．D+EB．D=EC．D=FD．E=F【解題思路】由題意可知圓心在直線(xiàn)y=x上，求出圓心坐標(biāo)代入y=x即可求解.【解答過(guò)程】由x2+y因?yàn)閳A關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，所以圓心在直線(xiàn)y=x上，即?E2=?故選：B.【變式1.2】（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知圓C與圓x2+y2?2y=0關(guān)于直線(xiàn)x?y?2=0A．x+12+yC．x+32+y?2【解題思路】設(shè)所求圓的圓心Ca,b，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)得到關(guān)于a,b【解答過(guò)程】將圓x2+y所以已知圓的圓心為0,1，半徑r=1，因?yàn)閳AC與圓x2+y所以圓C的圓心C與點(diǎn)0,1關(guān)于直線(xiàn)x?y?2=0對(duì)稱(chēng)，半徑也為1，設(shè)Ca,b可得1?b0?a=?1所以C3,?2，圓C的方程是x?3故選：B.

六、課后作業(yè)單選題1．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知圓的圓心在(?3,4)，半徑為5，則它的方程為（

）A．x?32+y?4C．(x+3)2+(y?4)【解題思路】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得解.【解答過(guò)程】因?yàn)閳A心為(?3,4)，半徑為5，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2故選：C.2．（23-24高二上·福建廈門(mén)·期中）若a∈?2,?1,0,34,1，則方程A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)圓的一般方程表示圓的條件求出參數(shù)a的取值范圍，即可判斷.【解答過(guò)程】若方程x2則a2解得?2<a<2又a∈?2,?1,0,34,1，所以即程x2+y故選：B.3．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）圓x2+y2?2x?2y+1=0A．(x+1)2+(y?1)C．x2+(y?1)【解題思路】把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心坐標(biāo)和半徑，由對(duì)稱(chēng)求出對(duì)稱(chēng)圓的圓心，可得標(biāo)準(zhǔn)方程.【解答過(guò)程】由圓x2+y則圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為1，設(shè)(1,1)關(guān)于直線(xiàn)x+y=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(a,b)，則b?1a?1=1a+1∴圓x2+y2?2x?2y+1=0故選：B．4．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列方程能表示圓的是（

）A．x2+yC．x2+y【解題思路】由一般二元二次方程表示成圓的充要條件逐一判斷每個(gè)選項(xiàng)即可得解.【解答過(guò)程】對(duì)于A，x2對(duì)于B，x2+y2+20x+121=0對(duì)于C，x2+y2+2ax=0，∵對(duì)于D，x2+y2+2ay?1=0綜上，以上方程能表示圓的是D選項(xiàng)中的方程．故選：D．5．（23-24高二上·四川樂(lè)山·期末）已知圓C的圓心在x軸上且經(jīng)過(guò)A1,1，B2,?2兩點(diǎn)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（A．x?32+yC．x+32+y【解題思路】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法計(jì)算即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閳AC的圓心在x軸上，故設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x?a2又經(jīng)過(guò)A1,1，B所以1?a2+1所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x?32故選：A.6．（23-24高二上·吉林長(zhǎng)春·期末）已知點(diǎn)A5,0，點(diǎn)B在圓(x?1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，則線(xiàn)段A．x2+yC．x2+y【解題思路】設(shè)出B,M的坐標(biāo)，利用相關(guān)點(diǎn)法求解出M的軌跡方程.【解答過(guò)程】設(shè)Bx由題意可知x0+52又因?yàn)閤0所以2x?5?12化簡(jiǎn)可得x2所以M的軌跡方程為x2故選：A.7．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）圓x2A．4,?6，16 B．2,?3，4C．?2,3，4 D．2,?3，16【解題思路】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可得圓心和半徑.【解答過(guò)程】由x2+y故圓心為?2,3，半徑長(zhǎng)為4.故選：C.8．（23-24高二上·浙江溫州·期中）點(diǎn)Px,y是直線(xiàn)2x+y?5=0上任意一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以O(shè)P為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（

A．0,0和1,1 B．0,0和2,2 C．0,0和1,2 D．0,0和2,1【解題思路】設(shè)點(diǎn)Pt,5?2t，求出以O(shè)P【解答過(guò)程】設(shè)點(diǎn)Pt,5?2t，則線(xiàn)段OP的中點(diǎn)為M圓M的半徑為OM=所以，以O(shè)P為直徑為圓的方程為x?t即x2+y由2y?x=0x2+y2因此，以O(shè)P為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為0,0、2,1.故選：D.多選題9．（23-24高二下·廣東深圳·期中）已知圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?4)2+(y+3)A．圓M的圓心為4,?3 B．點(diǎn)1,0在圓內(nèi)C．圓M的半徑為5 D．點(diǎn)?3,1在圓內(nèi)【解題思路】根據(jù)給定圓的方程，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷作答.【解答過(guò)程】圓M:(x?4)2+由(1?4)2+(0+3)由(?3?4)2+(1+3)故選：ABC.10．（23-24高二上·廣西河池·階段練習(xí)）已知方程x2+yA．方程表示圓，且圓的半徑為1時(shí)，a=4B．當(dāng)a=5時(shí)，方程表示圓心為1,?2的圓C．當(dāng)a=0時(shí)，方程表示圓且圓的半徑為5D．當(dāng)a<5時(shí)，方程表示圓心為1,?2的圓【解題思路】若方程表示圓，把一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)方程成立的條件，驗(yàn)證各選項(xiàng).【解答過(guò)程】由題意，方程x2+y若方程表示圓，則圓的圓心坐標(biāo)為1,?2，半徑r=5?aA中，當(dāng)5?a=1時(shí)，可得a=4，所以AB中，當(dāng)a=5時(shí)，此時(shí)半徑為5?a=0，所以B錯(cuò)誤；C中，當(dāng)a=0時(shí)，表示的圓的半徑為r=5，所以CD中，當(dāng)a<5時(shí)，此時(shí)半徑大于0，表示圓心為1,?2的圓，所以D正確；故選：ACD．填空題11．（23-24高二下·湖南邵陽(yáng)·期中）圓心在y軸，半徑為1且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2+【解題思路】根據(jù)給定條件，求出圓心坐標(biāo)即可得解.【解答過(guò)程】依題意，設(shè)圓心為(0,b)，則(1?0)2+(2?b)所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2故答案為：x212．（23-24高二上·上海青浦·階段練習(xí)）已知兩點(diǎn)A(?5,0)，B(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是它到點(diǎn)B的距離的3倍，則點(diǎn)P的軌跡方程是x2+【解題思路】設(shè)出點(diǎn)Px,y【解答過(guò)程】設(shè)Px,y，由題意可得x+5化簡(jiǎn)可得2x2+2故答案為：x2解答題13．（2024高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求出其圓心和半徑.(1)x2(2)x2(3)2x【解題思路】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件即可判斷.【解答過(guò)程】（1）由方程可知：D=?4,E=F=0，∵D所以方程表示圓，又?D所以圓心為2,0，圓的半徑為r=1（2）由方