專題14 最短路徑問(wèn)題（原卷版）

數(shù)學(xué)七年級(jí)升八年級(jí)暑假預(yù)習(xí)專題訓(xùn)練專題十四最短路徑問(wèn)題【專題導(dǎo)航】目錄【考點(diǎn)一將軍飲馬問(wèn)題一】...........................................1【考點(diǎn)二將軍飲馬問(wèn)題二】...........................................7【考點(diǎn)三造橋選址問(wèn)題】..........................................13【考點(diǎn)三差值最大型問(wèn)題】..........................................17【聚焦考點(diǎn)1】將軍飲馬模型總結(jié)一：依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求最值類型問(wèn)題作法圖形原理異側(cè)型“兩定一動(dòng)”型連接ABPA＋PB的最小值為AB，兩點(diǎn)之間，線段最短同側(cè)型“兩定一動(dòng)”型作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A`，連接A`B，A`B與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)PAP+BP=A`B，兩點(diǎn)之間線段最短角內(nèi)部“一定兩動(dòng)”型分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直線的對(duì)稱點(diǎn)P`，P``，連接P`P``，與兩直線交點(diǎn)即為點(diǎn)M、NPM+MN+PN=P`P``，兩點(diǎn)之間，線段最短角內(nèi)部“兩定兩動(dòng)”型分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于直線l1，l2的對(duì)稱點(diǎn)P`，Q`，連接P`Q`，與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M、NPQ+PM+MN+NQ=PQ+P`Q`，兩點(diǎn)之間線段最短【典例剖析1】【典例1-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于點(diǎn)D，EF垂直平分AB，交AB于點(diǎn)E，AC于點(diǎn)F，在EF上確定一點(diǎn)P，使PB＋PD最小，則這個(gè)最小值為（）A．10B．11C．12 D．13【典例1-2】如圖．在五邊形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，使得△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為（）A．84° B．88° C．90° D．96°【答案】B【典例1-3】如圖，，M，N分別是邊上的定點(diǎn)，P，Q分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，記，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（） B． C． D．針對(duì)訓(xùn)練1【變式1-1】如圖，直線L是一條河，P，Q是兩個(gè)村莊．欲在L上的某處修建一個(gè)水泵站，向P，Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需管道最短的是（） B． C．．D【變式1-2】如圖，在中BC=5，垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是________．【變式1-3】如圖，在銳角中，，邊上有一定點(diǎn)分別是和邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)是_________．【聚焦考點(diǎn)2】將軍飲馬模型總結(jié)：依據(jù)垂線段最短求最值如圖，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別為直線BC、直線AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP＋PQ的最小值作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A`，過(guò)點(diǎn)A`作A`Q⊥AB與點(diǎn)Q，A`Q與直線BC交點(diǎn)即為點(diǎn)PAP+PQ=A`Q，點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短【典例剖析2】【典例2-1】如圖，在中，，是的平分線．若，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，且的面積為，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【典例2-2】如圖，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC邊上的中線且AD＝4，F(xiàn)是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CF+EF的最小值為_(kāi)____．針對(duì)訓(xùn)練2【變式2-1】如圖，在△ABC中，AB=AC=8，S△ABC=16，點(diǎn)P為角平分線AD上任意一點(diǎn)，PE⊥AB，連接PB，則PB+PE的最小值為_(kāi)____．【變式2-2】如圖，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15o，OB=5，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在射線OC上，Q是OA上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PQ的最小值是__________【能力提升2】【提升2-1】如圖，在中，，，，是的角平分線，點(diǎn)，點(diǎn)分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的最小值為_(kāi)__________．【提升2-2】如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點(diǎn)P是OA上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（6，0）是OB上的一定點(diǎn)，點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)____．【聚焦考點(diǎn)3】造橋選址問(wèn)題構(gòu)造平行四邊形AA`NM，則AM轉(zhuǎn)化為A`N，之后再依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接A`B即為A、B之間陸地距離的最小值村莊A和村莊B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)該如何選擇，才能使A與B之間的距離最短構(gòu)造平行四邊形AA`NM，則AM轉(zhuǎn)化為A`N，之后再依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接A`B即為A、B之間陸地距離的最小值A(chǔ)`A`特別地：“兩動(dòng)兩定”型將軍飲馬，平行四邊形的構(gòu)造都是為了消除動(dòng)點(diǎn)間的間距d，所以平行四邊形的兩鄰邊中，一邊是間距d、另一邊是定動(dòng)線段AM或BN中的一條?！镜淅饰?】【典例3-1】如圖，矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D為OB中點(diǎn)，E，F(xiàn)為OA上兩動(dòng)點(diǎn)，且EF＝2，則四邊形CDEF周長(zhǎng)最小值為。解析提示：【典例3-1】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E、F是對(duì)角線BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝，連接CE、CF，則△CEF周長(zhǎng)的最小值為。解析提示：針對(duì)訓(xùn)練3【變式3-1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在EF上．且滿足PQ＝2，則四邊形APQB周長(zhǎng)的最小值為?！咀兪?-2】如圖，已知，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè)），且EF＝2，則四邊形ABFE周長(zhǎng)的最小值為?！灸芰μ嵘?】【提升3-1】如圖，在邊長(zhǎng)為10的菱形ABCD中，對(duì)角線BD＝16．點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，P、Q是BD上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持PQ＝2．則四邊形AEPQ周長(zhǎng)的最小值為。（結(jié)果保留根號(hào)）【提升3-2】已知點(diǎn)A（1，0）函數(shù)y＝x+1的圖象上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，且PQ＝3，求四邊形OPQA的周長(zhǎng)最小值?！揪劢箍键c(diǎn)4】差值最大型1.如圖，定點(diǎn)A與B在定直線l的同側(cè)（A，B兩點(diǎn)到l的距離不相等），在直線上l求作一點(diǎn)P，使的值最大.如圖：連接BA并延長(zhǎng)，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。此時(shí)最大，最大值為AB的長(zhǎng).原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊.2.如圖，定點(diǎn)A，B在定直線l的異側(cè)（A,B兩點(diǎn)到l的距離不相等），在直線l上求作一點(diǎn)P，使的值最大.作法：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，此時(shí)最大，最大值為BA'的長(zhǎng).原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊.【典例剖析4】【典例4-1】、已知：A（1，2），B（4，-2），在直線上找一點(diǎn)P，使最大，并求其最大值?！镜淅?-2】如圖，兩點(diǎn)A，B在直線MN的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為。

針對(duì)訓(xùn)練4【變式4-1】如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均相等，的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上．(1)在圖中畫出與關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的；(2