27　第三章　高考培優(yōu)3　極值點(diǎn)偏移問題

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用高考培優(yōu)3極值點(diǎn)偏移問題1．極值點(diǎn)偏移的判定定理對于可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上只有一個(gè)極大(小)值點(diǎn)x0，方程f(x)＝0的解分別為x1，x2，且a＜x1＜x2＜b.2．證明極值點(diǎn)偏移的相關(guān)問題，一般有以下幾種方法：(1)證明x1＋x2＜2a(或x1＋x2＞2a)：①構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－f(2a－x)，求導(dǎo)，確定函數(shù)y＝f(x)和函數(shù)y＝g(x)的單調(diào)性；②確定x1，x2滿足x1＜a＜x2，且f(x1)＝f(x2)，由函數(shù)值g(x1)與g(a)的大小關(guān)系，得g(x1)＝f(x1)－f(2a－x1)＝f(x2)－f(2a－x1)與零的大小關(guān)系；③由函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，＋∞)上的單調(diào)性得到x2與2a－x1的大小關(guān)系，從而證明相應(yīng)問題．(2)證明x1x2＜a2(或x1x2＞a2)(x1，x2都為正數(shù))：[典例]已知函數(shù)f(x)＝xe－x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求證：x1＋x2>2.解：(1)f′(x)＝e－x(1－x)，x∈R.令f′(x)>0，得x<1；令f′(x)<0，得x>1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)，(2)證明：法一(對稱化構(gòu)造函數(shù)法)：由(1)知，不妨設(shè)0<x1<1<x2，要證x1＋x2>2，只要證x2>2－x1>1.由于f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，故只要證f(x2)<f(2－x1)，由于f(x1)＝f(x2)，故只要證f(x1)<f(2－x1)，令H(x)＝f(x)－f(2－x)＝xe－x－(2－x)ex－2(0<x<1)，因?yàn)?<x<1，所以1－x>0,2－x>x，所以e2－x>ex，即e2－x－ex>0，所以H′(x)>0，所以H(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以H(x)<H(1)＝0，即有f(x1)<f(2－x1)成立，所以x1＋x2>2.法二(比值代換法)：設(shè)0<x1<1<x2，由f(x1)＝f(x2)，得x1e－x1＝x2e－x2，等式兩邊取對數(shù)得lnx1－x1＝lnx2－x2.

極值點(diǎn)偏移問題的常用策略令t＝x－lnx，則g(t)＝et＋t－a，易知g(t)單調(diào)遞增，所以g(t)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)t0.又f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，所以x－lnx＝t0有兩個(gè)實(shí)根x1和x2，證明：因?yàn)閤1，x2是方程lnx－ax2＝0的兩不等實(shí)根，lnx－ax2＝0?2lnx－2ax2＝0，即x1，x2是方程lnx2－2ax2＝0的兩不等實(shí)根，3．已知函數(shù)f(x)＝x2lnx－a(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；解：(1)因?yàn)閒(x