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第十章統(tǒng)計(jì)與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析第2課時(shí)用樣本估計(jì)總體[考試要求]
1.會用統(tǒng)計(jì)圖表對總體進(jìn)行估計(jì),會求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2.能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢和總體離散程度.3.掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本方差.鏈接教材·夯基固本1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)
樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)____________的數(shù)據(jù)
取最高的小矩形底邊______的橫坐標(biāo)中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,處在____________的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))把頻率分布直方圖劃分為左右兩個(gè)______相等的部分,分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)次數(shù)最多中間位置面積中點(diǎn)
樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊______的橫坐標(biāo)之和百分位數(shù)一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值對于數(shù)據(jù)組[a,b),a以下的數(shù)據(jù)比例為m%,b以下的數(shù)據(jù)比例為n%,若m≤p<n,則第p百分位數(shù)為_______________
中點(diǎn)2.計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步,按____________排列原始數(shù)據(jù);第2步,計(jì)算i=____________;第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第
___項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第___項(xiàng)與第_________項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).3.四分位數(shù)(1)第25百分位數(shù),第50百分位數(shù),第75百分位數(shù)這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為四分位數(shù).(2)第______百分位數(shù)又稱第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等;第______百分位數(shù)又稱第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等.從小到大n×p%ji(i+1)25754.總體離散程度的估計(jì)(1)方差和標(biāo)準(zhǔn)差(2)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差(3)樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差[常用結(jié)論]平均數(shù)、方差的公式推廣(2)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為s2.①數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…,xn+a的方差也為s2;②數(shù)據(jù)ax1,ax2,…,axn的方差為a2s2.一、易錯易混辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(
)(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大,說明這組數(shù)據(jù)越集中.(
)(3)任何一組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)與中位數(shù)的值都是相同的.(
)√×√二、教材經(jīng)典衍生1.(人教A版必修第二冊P206探究改編)平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢,它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān),在如圖兩種分布形態(tài)中,a,b,c,d分別對應(yīng)平均數(shù)和中位數(shù)之一,則可能的對應(yīng)關(guān)系是(
)A.a(chǎn)為中位數(shù),b為平均數(shù),c為平均數(shù),d為中位數(shù)B.a(chǎn)為平均數(shù),b為中位數(shù),c為平均數(shù),d為中位數(shù)C.a(chǎn)為中位數(shù),b為平均數(shù),c為中位數(shù),d為平均數(shù)D.a(chǎn)為平均數(shù),b為中位數(shù),c為中位數(shù),d為平均數(shù)√A
[在頻率分布直方圖中,中位數(shù)兩側(cè)小矩形的面積和相等,平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘以小矩形的面積之和近似代替,結(jié)合題圖得,
a為中位數(shù),b為平均數(shù),c為平均數(shù),d為中位數(shù).故選A.]2.(人教A版必修第二冊P204練習(xí)T2改編)某車間12名工人一天生產(chǎn)某產(chǎn)品的質(zhì)量(單位:kg)分別為13.8,13,13.5,15.7,13.6,14.8,14,14.6,15,15.2,15.8,15.4,則所給數(shù)據(jù)的第25,50,75百分位數(shù)分別是________.3.(人教A版必修第二冊P215練習(xí)T2改編)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是28,方差是4,若將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上20,得到一組新數(shù)據(jù),則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是____________,方差是________.4.(人教A版必修第二冊P198練習(xí)T1改編)為了了解全民對足球的熱愛程度,組委會在某場比賽結(jié)束后,隨機(jī)抽取了1000名觀眾進(jìn)行對足球“喜愛度”的調(diào)查評分,將得到的分?jǐn)?shù)分成6段:[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.圖中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,若已知這1000名觀眾評分的中位數(shù)估計(jì)值為87.5,則m=________.0.02
[由題可知,5(m+0.025+0.03)+(87.5-85)×0.05=0.5,解得m=0.02.]典例精研·核心考點(diǎn)
考點(diǎn)一總體百分位數(shù)的估計(jì)[典例1]
(1)某中學(xué)高一年級10位女生的身高(單位:cm)數(shù)據(jù)為148,155,157,159,162,163,164,165,170,172,則數(shù)據(jù)的第50,75百分位數(shù)分別為(
)A.162,165
B.162.5,164.5C.162,164.5 D.162.5,165√(2)(2025·淄博模擬)將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績(成績均為整數(shù))整理后畫出頻率分布直方圖如圖,則此班的模擬考試成績的第80百分位數(shù)是________.(結(jié)果保留兩位小數(shù))
1.計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟2.頻率分布直方圖中第p百分位數(shù)的計(jì)算(1)確定百分位數(shù)所在的區(qū)間[a,b).[跟進(jìn)訓(xùn)練]1.(1)某組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示,設(shè)該組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、第一四分位數(shù)分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關(guān)系是(注:同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值近似代替)(
)A.x3<x1<x2
B.x2<x1<x3C.x1<x3<x2D.x1<x2<x3√(2)身體質(zhì)量指數(shù),也就是BMI指數(shù),簡稱體質(zhì)指數(shù),是國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).某校為了解該校學(xué)生的身體健康情況,從某班隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,得到這20名學(xué)生的BMI指數(shù)分別是15,15.3,15.6,15.9,16.2,16.6,17.5,17.8,18.2,18.7,19.3,19.5,20.3,21.1,21.5,22.7,22.9,23.1,23.4,23.5,則這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是________.
考點(diǎn)二總體集中趨勢的估計(jì)[典例2]某社區(qū)組織了垃圾分類知識競賽活動,從所有參賽選手中隨機(jī)抽取20人,將他們的得分按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分組,繪成頻率分布直方圖(如圖).(1)求x的值;(2)分別求出抽取的20人中得分落在[0,20)和[20,40)內(nèi)的人數(shù);(3)估計(jì)所有參賽選手得分的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).解:(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)得,(0.0050+0.0075+x+0.0125+0.0150)×20=1,解得x=0.0100.(2)由頻率分布直方圖可得,得分落在[0,20)內(nèi)的人數(shù)為20×0.0050×20=2,得分落在[20,40)內(nèi)的人數(shù)為20×0.0075×20=3.(3)估計(jì)所有參賽選手得分的平均數(shù)為0.0050×20×10+0.0075×20×30+0.0150×20×50+0.0125×20×70+0.0100×20×90=56.設(shè)所有參賽選手得分的中位數(shù)為a,
頻率分布直方圖的數(shù)字特征(1)眾數(shù):最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)中位數(shù):中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和相等.(3)平均數(shù):平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對應(yīng)頻率之積的和.[跟進(jìn)訓(xùn)練]2.(1)某射擊運(yùn)動員連續(xù)射擊5次,命中的環(huán)數(shù)(環(huán)數(shù)為整數(shù))形成的一組數(shù)據(jù)中,中位數(shù)為8,唯一的眾數(shù)為9,極差為3,則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(
)A.7.6
B.7.8C.8
D.8.2√(2)(2024·新高考Ⅱ卷)某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻,得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位:kg)并整理得下表:畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù),下列結(jié)論中正確的是(
)A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間√
考點(diǎn)三總體離散程度的估計(jì)[典例3]
(2023·全國乙卷)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng),進(jìn)行10次配對試驗(yàn),每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品,隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理,另一個(gè)用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率,甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,…,10),試驗(yàn)結(jié)果如下:試驗(yàn)序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi53652754353056053352
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