蘇科版2025年新九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假銜接講義(鞏固復(fù)習(xí))考點(diǎn)06二次根式(原卷版+解析)

/八年級(jí)數(shù)學(xué)《暑假作業(yè)?新課程無(wú)憂銜接》（蘇科版）考點(diǎn)06二次根式【暑假作業(yè)】一、單選題1．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A． B． C．8 D．無(wú)法確定2．直線l：y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n為常數(shù)）的圖象如圖，化簡(jiǎn)：|m﹣3|﹣得（）A．3﹣m﹣n B．5 C．﹣1 D．m+n﹣53．下列各式正確的是（）A． B． C． D．4．估計(jì)×（﹣）的值應(yīng)在（）A．0和1之間 B．1和2之間 C．2和3之間 D．3和4之間5．下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．6．如圖．從一個(gè)大正方形中裁去面積為m2和cm2的兩個(gè)小正方形，則留下的陰影部分的面積為（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm27．下列計(jì)算中，正確的是（）A．＝ B．＝﹣3 C．＝ D．3﹣＝28．下列計(jì)算不正確的是（）A．﹣= B．3×2=6 C．（2）2=8 D．=9．下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．10．以下運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A． B．2 C．= D．（a＞0）11．下列根式中，不是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．12．化簡(jiǎn)－()2的結(jié)果是()A．6x－6 B．－6x＋6C．－4 D．4二、填空題13．若x-y=，xy=，則代數(shù)式（x-1）（y+1）的值等于_____．14．若式子＋（k﹣1）0有意義，則一次函數(shù)y＝（k﹣1）x＋1﹣k的圖象可能是______．（填字母代號(hào)）A.B.C.D.15．__________；__________；_________；_________．16．如圖1，在中，．動(dòng)點(diǎn)從的頂點(diǎn)出發(fā)，以cm／s的速度沿勻速運(yùn)動(dòng)回到點(diǎn)．圖2是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度（cm）隨時(shí)間（s）變化的圖象．其中點(diǎn)為曲線部分的最低點(diǎn)．（1）______；（2）圖2中，______．三、解答題17．如圖，已知，，，．求的長(zhǎng)．18．如圖，和均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接為中邊上的高，為中邊上的高，若，且，．（1）求證：．（2）求的度數(shù)．（3）求的長(zhǎng)．19．在數(shù)學(xué)課上，老師說(shuō)統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的平均數(shù)不是只有算術(shù)平均數(shù)一種，好學(xué)的小聰通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索，又得到了兩種平均數(shù)的定義，他把三種平均數(shù)的定義整理如下：對(duì)于兩個(gè)數(shù)a，b，稱為a，b這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b這兩個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)，稱為a，b這兩個(gè)數(shù)的平方平均數(shù)．小聰根據(jù)上述定義，探究了一些問(wèn)題，下面是他的探究過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：（1）若a=-1，b=-2，則M=，N=，P=；（2）小聰發(fā)現(xiàn)當(dāng)a，b兩數(shù)異號(hào)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)N沒(méi)有意義，所以決定只研究當(dāng)a，b都是正數(shù)時(shí)這三種平均數(shù)的大小關(guān)系．結(jié)合乘法公式和勾股定理的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，他選擇構(gòu)造幾何圖形，用面積法解決問(wèn)題：如圖，畫(huà)出邊長(zhǎng)為a+b的正方形和它的兩條對(duì)角線，則圖1中陰影部分的面積可以表示N2．①請(qǐng)分別在圖2，圖3中用陰影標(biāo)出一個(gè)面積為M2，P2的圖形；②借助圖形可知當(dāng)a，b都是正數(shù)時(shí)，M，N，P的大小關(guān)系是：（把M，N，P從小到大排列，并用“＜”或“≤”號(hào)連接）．20．已知數(shù)軸上A、B、C三個(gè)互不重合的點(diǎn)，若A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為c．(1)若a是最大的負(fù)整數(shù)，B點(diǎn)在A點(diǎn)的左邊，且距離A點(diǎn)2個(gè)單位長(zhǎng)度，把B點(diǎn)向右移動(dòng)3+個(gè)單位長(zhǎng)度可與C點(diǎn)重合，請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出A，B，C點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)．(2)在(1)的條件下，化簡(jiǎn)﹣﹣|a﹣b|+|c﹣a|．

八年級(jí)數(shù)學(xué)《暑假作業(yè)?新課程無(wú)憂銜接》（蘇科版）考點(diǎn)06二次根式【暑假作業(yè)】一、單選題1．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A． B． C．8 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】從數(shù)軸上可以看出，，所以，進(jìn)一步根據(jù)絕對(duì)值的意義和二次根式的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知：∴．故選：C．【點(diǎn)睛】考查二次根式的化簡(jiǎn)與絕對(duì)值的意義，注意字母的取值范圍是解題的關(guān)鍵．2．直線l：y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n為常數(shù)）的圖象如圖，化簡(jiǎn)：|m﹣3|﹣得（）A．3﹣m﹣n B．5 C．﹣1 D．m+n﹣5【答案】D【分析】先從一次函數(shù)的圖象判斷m﹣3的正負(fù)值，n﹣2的正負(fù)值，進(jìn)而求出m、n的符號(hào)，然后再化簡(jiǎn)代數(shù)式即可求值，．【詳解】解：由直線y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n為常數(shù)）的圖象可知，m﹣3＞0，n﹣2＜0，∴m＞3，n＜2，|m﹣3|﹣＝m﹣3﹣＝m﹣3+n﹣2＝m+n﹣5．故選：D【點(diǎn)睛】考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值、二次根式的化簡(jiǎn)，根據(jù)一次函數(shù)圖象確定m、n的符號(hào)是解題關(guān)鍵．3．下列各式正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘除法法則進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.，故此選項(xiàng)不正確；B.，此選項(xiàng)正確；C.，故此選項(xiàng)不正確；D.，故此選項(xiàng)不正確；故選：B．【點(diǎn)睛】考查了二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．4．估計(jì)×（﹣）的值應(yīng)在（）A．0和1之間 B．1和2之間 C．2和3之間 D．3和4之間【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算，求出結(jié)果，再估算，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：×（）＝﹣3，而4＜＜5，所以1＜﹣3＜2，故選：B．【點(diǎn)睛】考查無(wú)理數(shù)的估算，二次根式的運(yùn)算，掌握二次根式的計(jì)算方法和無(wú)理數(shù)估算方法是得出正確結(jié)論的關(guān)鍵．5．下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)前三個(gè)，不是最簡(jiǎn)二次根式的分別化成最簡(jiǎn)二次根式，然后再進(jìn)行運(yùn)算，即可判斷正確與否；對(duì)第四個(gè)，根據(jù)二次根式商的性質(zhì)判斷即可．【詳解】A：由于兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式的被開(kāi)方數(shù)不相同，它們不能相加，故不正確；B：化成最簡(jiǎn)二次根式后，其被開(kāi)方數(shù)與的被開(kāi)方數(shù)相同，它們可以合并，且合并結(jié)果正確，故正確；C：由于，故不正確；D：根據(jù)二次根式商的性質(zhì)，要求被開(kāi)方數(shù)中的被除數(shù)非負(fù)，除數(shù)為正數(shù)，故不正確．故選：B【點(diǎn)睛】考查了二次根式的化簡(jiǎn)、運(yùn)算及性質(zhì)，對(duì)于二次根式的性質(zhì)，一定要注意使用的前提條件．6．如圖．從一個(gè)大正方形中裁去面積為m2和cm2的兩個(gè)小正方形，則留下的陰影部分的面積為（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】D【分析】直接利用正方形的性質(zhì)得出兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出大正方形的邊長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】解：∵兩個(gè)小正方形面積為8cm2和18cm2，∴大正方形邊長(zhǎng)為：，∴大正方形面積為（5）2=50，∴留下的陰影部分面積和為：50-8-18=24（cm2）故選：D．【點(diǎn)睛】考查了二次根式的應(yīng)用，正確得出大正方形的邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．7．下列計(jì)算中，正確的是（）A．＝ B．＝﹣3 C．＝ D．3﹣＝2【答案】D【分析】直接利用二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】解：A、＝+2，無(wú)法合并，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、＝3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、＝1，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、3﹣＝2，正確．故選：D．【點(diǎn)睛】考查二次根式的化簡(jiǎn)與加減運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)及加減運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．8．下列計(jì)算不正確的是（）A．﹣= B．3×2=6 C．（2）2=8 D．=【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的加減法對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)分母有理化對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】A．與不能合并，所以A選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；B．原式＝6，所以B選項(xiàng)的計(jì)算正確；C．原式＝4×2＝8，所以C選項(xiàng)的計(jì)算正確；D．原式，所以D選項(xiàng)的計(jì)算正確．故選A．【點(diǎn)睛】考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．9．下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．【詳解】A、=，被開(kāi)方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式；故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、=，被開(kāi)方數(shù)為小數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式；故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，是最簡(jiǎn)二次根式；故C選項(xiàng)正確；D．=，被開(kāi)方數(shù)，含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．考點(diǎn)：最簡(jiǎn)二次根式．10．以下運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A． B．2 C．= D．（a＞0）【答案】C【分析】利用二次根式的乘法法則對(duì)A、B進(jìn)行判斷；利用二次根式的化簡(jiǎn)對(duì)C、D進(jìn)行判斷．【詳解】A．原式，所以A選項(xiàng)的運(yùn)算正確；B．原式＝2，所以，B選項(xiàng)的運(yùn)算正確；C．原式5，所以C選項(xiàng)的運(yùn)算錯(cuò)誤；D．原式＝2ab，所以D選項(xiàng)的運(yùn)算正確．故選C．【點(diǎn)睛】考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．11．下列根式中，不是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用最簡(jiǎn)二次根式的定義進(jìn)而分析得出答案．【詳解】A．無(wú)法化簡(jiǎn)，是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)正確；C．，無(wú)法化簡(jiǎn)，是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．，無(wú)法化簡(jiǎn)，是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】考查了最簡(jiǎn)二次根式，正確把握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．12．化簡(jiǎn)－()2的結(jié)果是()A．6x－6 B．－6x＋6C．－4 D．4【答案】D【詳解】：∴故選D.二、填空題13．若x-y=，xy=，則代數(shù)式（x-1）（y+1）的值等于_____．【答案】2-2【詳解】解：∵=,原式故答案為:14．若式子＋（k﹣1）0有意義，則一次函數(shù)y＝（k﹣1）x＋1﹣k的圖象可能是______．（填字母代號(hào)）A.B.C.D.【答案】B【分析】結(jié)合二次根式有意義的條件和0指數(shù)冪底數(shù)不為零，可找出k的取值范圍，再結(jié)合一次函數(shù)系數(shù)與圖像的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：有意義解得：又在一次函數(shù)中，比例系數(shù)，圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限；常數(shù)項(xiàng)，圖像與y軸交于y軸負(fù)半軸故答案是：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式有意義的條件、0指數(shù)冪底數(shù)不為零、一次函數(shù)系數(shù)與圖像的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型，難度不大．解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)系數(shù)與圖像的關(guān)系和數(shù)形結(jié)合思想．一次函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，圖像過(guò)第一、三象限；當(dāng)時(shí)，圖像過(guò)第二、四象限；當(dāng)時(shí)，圖像交y軸正半軸；當(dāng)時(shí)，圖像過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，圖像交y軸負(fù)半軸．15．__________；__________；_________；_________．【答案】73【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，二次根式的除法法則，乘法法則，等化簡(jiǎn)即可求解．【詳解】解：7；；；．故答案為：7；3；；．【點(diǎn)睛】考查二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘除等知識(shí)，熟知二次根式的性質(zhì)和乘除法則是解題關(guān)鍵．16．如圖1，在中，．動(dòng)點(diǎn)從的頂點(diǎn)出發(fā)，以cm／s的速度沿勻速運(yùn)動(dòng)回到點(diǎn)．圖2是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度（cm）隨時(shí)間（s）變化的圖象．其中點(diǎn)為曲線部分的最低點(diǎn)．（1）______；（2）圖2中，______．【答案】6【分析】從圖（2）看，AB=3×2=6=AC，AP的最小值為4，即AH=4；在Rt△AHB中，AB2=AH2+BH2，則BH=，進(jìn)而求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∵AB=AC，故BH=CH=BC，從圖（2）看，當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)B處，即AB=3×2=6=AC，從圖（2）看，點(diǎn)Q為曲線部分的最低點(diǎn)，即AP的最小值為4，即AH=4，在Rt△AHB中，AB2=AH2+BH2，則BH=，故BC=4；△ABC的周長(zhǎng)為6+6+4=12+4，則m=（12+4）=6+2，故答案為：6，6+2．【點(diǎn)睛】考查的是動(dòng)點(diǎn)圖象問(wèn)題，此類問(wèn)題關(guān)鍵是：弄清楚不同時(shí)間段，圖象和圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解．三、解答題17．如圖，已知，，，．求的長(zhǎng)．【答案】【分析】先求解再利用含的直角三角形的性質(zhì)求解再利用勾股定理求解，再利用勾股定理求解的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∴∵，∴＞∴【點(diǎn)睛】考查的是含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握直角三角形中的基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，和均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接為中邊上的高，為中邊上的高，若，且，．（1）求證：．（2）求的度數(shù)．（3）求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）120°；（3）【分析】（1）根據(jù)△ACB和△DCE均為等腰三角形得到腰相等和底角相等，推出∠ACD=∠BCE，利用SAS即可證明；（2）根據(jù)△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ADC=∠BEC=150°，再通過(guò)角的計(jì)算即可算出∠AEB的度數(shù)；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合頂角的度數(shù)，即可得出底角的度數(shù)，利用（1）（2）的結(jié)論，通過(guò)解直角三角形即可求出線段AD、BE的長(zhǎng)度，二者相加即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，∴∠CAB=∠CBA，∠CDE=∠CED，AC=BC，DC=EC，∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，∴∠ADC=∠BEC=150°，∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=30°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=150°-30°=120°；（3）∵∠CDM=∠CEM=×（180°-120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴CD=2CM=2，∴DM==，∴DE=2DM=，∵∠BEC=∠ADC=180°-30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC-∠CEM=150°-30°=120°，∴∠BEN=180°-120°=60°．在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE=2EN，又BN=2，∴BE==，∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=．【點(diǎn)睛】考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考常考題型．19．在數(shù)學(xué)課上，老師說(shuō)統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的平均數(shù)不是只有算術(shù)平均數(shù)一種，好學(xué)的小聰通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索，又得到了兩種平均數(shù)的定義，他把三種平均數(shù)的定義整理如下：對(duì)于兩個(gè)數(shù)a，b，稱為a，b這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b這兩個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)，稱為a，b這兩個(gè)數(shù)的平方平均數(shù)．小聰根據(jù)上述定義，探究了一些問(wèn)題，下面是他的探究過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：（1）若a=-1，b=-2，則M=，N=，P=；（2）小聰發(fā)現(xiàn)當(dāng)a，b兩數(shù)異號(hào)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)N沒(méi)有意義，所以決定只研究當(dāng)a，b都是正數(shù)時(shí)這三種平均數(shù)的大小關(guān)系．結(jié)合乘法公式和勾股定理的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，他選擇構(gòu)造幾何圖形，用面積法解決問(wèn)題：如圖，畫(huà)出邊長(zhǎng)為a+b的正方形和它的兩條對(duì)角線，則圖1中陰影部分的面積可以表示N2．①請(qǐng)分別在圖2，圖3中用陰影標(biāo)出一個(gè)面積為M2，P2的圖形；②借助圖形可知當(dāng)a，b都是正數(shù)時(shí)，M，N，P的大小關(guān)系是：（把M，N，P從小到大排列，并用“＜”或“≤”號(hào)連接）．【答案】（1），，；（2）①見(jiàn)解析；②．【分析】（1）將分別代入求值即可得；（2）①分別求出，再根據(jù)正方形