蘇科版2025年新九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假銜接講義2.6正多邊形與圓(原卷版+解析)

/2.6正多邊形與圓【推本溯源】1.之間所學(xué)到的正多邊形是？那什么叫正多邊形？正多邊形：的多邊形叫做正多邊形2.認(rèn)識(shí)圓內(nèi)接正多邊形用量角器把一個(gè)圓分成n等分，依次連接各等分點(diǎn)所得的n邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形，這個(gè)圓是這個(gè)正n邊形的。正多邊形的外接圓的叫做正多邊形的中心，外接圓的叫做正多邊形的半徑.3.與正多邊形的有關(guān)概念名稱定義名稱定義中心半徑邊心距中心角4.正多邊形的計(jì)算名稱公式內(nèi)角正n變形的每個(gè)內(nèi)角都為中心角正n邊形的每個(gè)中心角都為外角正n邊形的每個(gè)外角都為邊心距正n邊形的邊心距周長(zhǎng)正n邊形的周長(zhǎng)面積正n邊形的面積5.正多邊形的對(duì)稱性正多邊形都是圖形，一個(gè)正n邊形共有條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都經(jīng)過正n邊形的.一個(gè)正多邊形，如果有條邊，那么它又是圖形，對(duì)稱中心就是這個(gè)正多邊形的。6.正多邊形的畫法（1）量角器畫法在半徑為R的圓中，先用量角器畫一個(gè)度數(shù)為的圓心角，這個(gè)角所對(duì)的弧就是圓周的，然后在圓上依次截取這條弧的等弧，就得到圓的n等分點(diǎn)，順次連接各等分點(diǎn)即可作出半徑為R的正n邊形。（2）尺規(guī)作圖畫法①作正方形作法：1.在圓O中作兩條互相垂直的直徑AC、BD.2.依次連接A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，四邊形ABCD即可畫出。②作正六邊形作法：1.在圓O中畫出任意一條直徑AD；2.分別以點(diǎn)A、D為圓心，圓O的半徑為半徑作弧，與圓O相交與點(diǎn)B、F和點(diǎn)C、E；3.依次連接A、B、C、D、E、F六個(gè)點(diǎn)，即可畫出正六邊形?！窘饣蟆坷?：如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于，若的周長(zhǎng)是，則正六邊形的邊長(zhǎng)是（）

A． B．3 C．6 D．例2：正六邊形的半徑為4，則它的邊心距是（）A．2 B．4 C． D．例3：我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)的面積，可得的估計(jì)值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得的估計(jì)值為（）A． B． C．3 D．例4：如圖，點(diǎn)O是正六邊形的中心，以為邊構(gòu)造正五邊形，則___________．例5：如圖，正五邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)F．(1)求的度數(shù)；(2)求證：四邊形為菱形．【摩拳擦掌】1．（2023·河北保定·保定市第十七中學(xué)?？既＃┤鐖D，將一張正六邊形紙片的陰影部分剪下，拼成一個(gè)四邊形，若拼成的四邊形的面積為S，則紙片的剩余部分的面積為（

）

A． B． C． D．S2．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，則（

）

A． B． C． D．3．（2023·廣東汕頭·汕頭市潮陽實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？级＃┫铝姓f法正確的是（

）A．五邊形的外角和是B．對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形C．三角形的外心是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)D．圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)與該圓的半徑相等4．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）將一個(gè)正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角的大小不可能是（

）A．60° B．90° C．180° D．360°5．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）刺繡是我國(guó)獨(dú)特的民間傳統(tǒng)手工藝品之一，至少有二三千年歷史.如圖是用紅色紗線完成的正五角星刺繡作品，則圖中的度數(shù)是__________度.6．（2023·廣東茂名·校考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)正多邊形的中心角為36°，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為_______度．7．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖是由中國(guó)結(jié)和雪花兩種元素組成的一個(gè)圖案，這個(gè)圖案繞著它的旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角度后能夠與它本身重合，則角可以是________度．（寫出一個(gè)即可）8．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，用若干個(gè)全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個(gè)正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個(gè)數(shù)是________個(gè)．

9．（2022秋·云南昆明·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)、、、都在上，，．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)；10．（2023春·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作的一個(gè)內(nèi)接正方形（保留作圖痕跡，不寫作法）．11．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，若一個(gè)正方形和一個(gè)正六邊形有一邊重合．(1)用無刻度的直尺畫出這個(gè)圖形的對(duì)稱軸；(2)求的度數(shù)．12．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知．(1)求作的內(nèi)接正方形（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若的半徑為，求它的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)．【知不足】1．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)校考二模）下列圖形中，旋轉(zhuǎn)后能與原圖形重合的是（）A．等邊三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正八邊形2．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將一個(gè)正邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)或都能和其本身重合，則的最小值是（

）

A．6 B．8 C．12 D．243．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)F在弧上．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．4．（2023·廣東廣州·?？级＃┤鐖D，是的內(nèi)接正六邊形一邊，點(diǎn)P是優(yōu)弧上的一點(diǎn)圖6點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合)且，與交于點(diǎn)C，則的度數(shù)為_______________．5．（2023·北京海淀·北京市師達(dá)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是內(nèi)接正五邊形的一條邊，點(diǎn)在優(yōu)弧上，則的度數(shù)為______．6（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）如果一個(gè)正多邊形的中心角是，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為________．7．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，正六邊形與相切于點(diǎn)、，則______°．

8．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段、的端點(diǎn)A、C、E、F均在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)在方格紙中畫出以為對(duì)角線的正方形（字母順序?yàn)槟鏁r(shí)針順序），點(diǎn)B、D在小正方形的頂點(diǎn)上；(2)在方格紙中畫出以為頂角的等腰三角形（非等腰直角三角形），點(diǎn)C在小正方形的格點(diǎn)上，連接，并直接寫出線段的長(zhǎng)．9．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，求邊長(zhǎng)為a的正方形的外接圓的半徑長(zhǎng)．

10．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的直徑，，是的弦，，延長(zhǎng)到，連接，．

(1)求證：是的切線；(2)以為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)等于________．11．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，，是的弦，，延長(zhǎng)到，連接，．(1)求證：是的切線；(2)以為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)等于________．【一覽眾山小】1．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖，一個(gè)正多邊形紙片被一塊矩形擋板遮住一部分，則這個(gè)正多邊形紙片的邊數(shù)是（

）

A．4 B．5 C．6 D．72．（2023·河北承德·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正六邊形紙片上剪一個(gè)正方形，若，則得到的正方形邊長(zhǎng)最大為(

)A． B． C． D．3．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的圓心O與正方形的中心重合，已知的半徑和正方形的邊長(zhǎng)都為4，則圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值為（

）．

A． B．2 C． D．4．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點(diǎn)F在y軸正半軸上，將正六邊形繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，那么經(jīng)過第2026次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．5．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）劉徽是中國(guó)古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計(jì)算圓的面積．設(shè)的半徑為，若用的內(nèi)接正六邊形的面積來近似估計(jì)的面積，則的面積約為________．6．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形的面積為，的面積為，則_________．7．（2023·湖南長(zhǎng)沙·?？既＃┤鐖D所示，已知正八邊形內(nèi)接于，連接，相交于點(diǎn)．若的半徑為1，以下結(jié)論正確的是______．（填序號(hào)）①；②；③的面積為；④．

8.（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)是正六邊形內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則點(diǎn)到這個(gè)正六邊形六條邊的距離之和為__________．9．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）李老師帶領(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長(zhǎng)L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)C的比值，稱作這個(gè)正n邊形的“正圓度”．如圖，正三角形的邊長(zhǎng)為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為，因此___________；(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”；(3)[總結(jié)]隨著n的增大，具有怎樣的規(guī)律，試通過計(jì)算，結(jié)合圓周率的誕生，簡(jiǎn)要概括．10．（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）圖①、圖②、圖③都是的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)、均在格點(diǎn)上．圖①、圖②中的點(diǎn)在上，在圖①、圖②、圖③給定的網(wǎng)格中，僅用無刻度的直尺，按下列要求完成畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，并保留作圖痕跡．(1)在圖①中畫一個(gè)的內(nèi)接正方形．(2)在圖②中畫一個(gè)的內(nèi)接四邊形，使該四邊形只是軸對(duì)稱圖形，且點(diǎn)在該四邊形內(nèi)部．(3)在圖③中畫一個(gè)四邊形，使該四邊形對(duì)角互補(bǔ)，其中一個(gè)內(nèi)角為45°，且點(diǎn)在該四邊形的一條邊上．11．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是的外接圓，交邊于點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)是以點(diǎn)為中心的正六邊形的一邊時(shí)，求證：．12．（2023·山西·校聯(lián)考二模）如圖，正方形內(nèi)接于，連接，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作的切線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G．(1)試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)求的度數(shù)．

2.6正多邊形與圓教材知識(shí)總結(jié)教材知識(shí)總結(jié)正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

正多邊形的重要元素

1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓．

2.正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

3.正多邊形的有關(guān)計(jì)算

(1)正ｎ邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是；

(2)正ｎ邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.正多邊形的性質(zhì)

1.正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.

2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個(gè)全等的直角三角形.

3.正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.

4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

正多邊形的畫法

1.用量角器等分圓：由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓：對(duì)于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對(duì)的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn)。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn)。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把⊙O12等分……。看例題，漲知識(shí)看例題，漲知識(shí)【例題1】如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)F在上，求的度數(shù)．【答案】【分析】如圖所示，連接OC、OD，由正五邊形的性質(zhì)可得的度數(shù)，由圓周角與圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，即可得出答案．【解析】如圖所示，連接OC、OD，五邊形是正五邊形，，．【例題2】⊙O半徑為r，其內(nèi)接正三角彩、正四邊形、正六邊形的邊長(zhǎng)分別為a，b，c．（1）求a，b，c；（2）以a，b，c為邊可否構(gòu)成三角形？如果能，構(gòu)成的是什么三角形？如果不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），，r；（2）能構(gòu)成三角形，是直角三角形，可利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判定【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，再由正多邊形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）如圖1所示，在正三角形ABC中，連接OB，過O作OD⊥BC于D，則∠OBC＝30°，BD＝OB?cos30°＝r，故a＝BC＝2BD＝r；如圖2所示，在正方形ABCD中，連接OB、OC，過O作OE⊥BC于E，則△OBE是等腰直角三角形，2BE2＝OB2，即BE＝r，故b＝BC＝r；如圖3所示，在正六邊形ABCDEF中，連接OA、OB，過O作OG⊥AB，則△OAB是等邊三角形，故AG＝OA?cos60°＝r，c＝AB＝2AG＝r；（2）能構(gòu)成三角形，構(gòu)成直角三角形；理由如下：∵a＝r，b＝r，c＝r，∴c2＋b2＝a2，∴能構(gòu)成直角三角形．【例題3】如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分∠BAF．(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）如圖，連接AE，AD，AC，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到結(jié)論；（2）如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，推出△ODE是等邊三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根據(jù)勾股定理得到OGr，根據(jù)三角形和圓的面積公式即可得到結(jié)論．【解析】(1)證明：如圖，連接AE，AD，AC，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴EF＝ED＝CD＝BC，∴，∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，∴過頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分∠BAF；(2)解：如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，∴△ODE是等邊三角形，∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，∴∠EOG＝30°，∴EGr，∴OGr，∴正六邊形ABCDEF的面積＝6rrr2，∵⊙O的面積＝πr2，∴．【例題4】已知A、B、C、D四點(diǎn)在同一圓上，請(qǐng)僅用無刻度直尺完成下列作圖．（不寫作法，保留作圖痕跡）（1）如圖①，AB＝CD，在圖①中作出該圓的一條直徑；（2）如圖②，AB、BC、CD是圓內(nèi)接正五邊形的三條邊，在圖②中作出該圓的圓心．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連接AD，BC交于點(diǎn)K，延長(zhǎng)BA交DC的延長(zhǎng)線于G，作直線KG交圓與E，F(xiàn)，線段EF即為這個(gè)圓的一條直徑；（2）連接AC，BD交于點(diǎn)K，延長(zhǎng)DC、AB交于點(diǎn)G，連接GK交圓于點(diǎn)P，連接BP與AC交于點(diǎn)Q，連接DQ交GP于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為這個(gè)圓的圓心．【解析】解：（1）如圖，EF即為所求；（2）如圖，點(diǎn)O即為所求．課后習(xí)題鞏固一下課后習(xí)題鞏固一下一、單選題1．如圖，已知⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．3【答案】C【分析】利用圓的周長(zhǎng)先求出圓的半徑，正六邊形的邊長(zhǎng)等于圓的半徑，正六邊形一條邊與圓心構(gòu)成等邊三角形，根據(jù)邊心距即為等邊三角形的高用勾股定理求出OG．【解析】∵圓O的周長(zhǎng)為，設(shè)圓的半徑為R，∴∴R=3連接OC和OD，則OC=OD=3∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD=，∴△OCD是等邊三角形，OG垂直平分CD，∴OC=OD=CD，∴故選C2．公元263年，我國(guó)數(shù)學(xué)家利用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率．割圓術(shù)的基本思想是“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．隨后，公元480年左右，我國(guó)另一位數(shù)學(xué)家又進(jìn)一步得到圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后7位，由此可知，這兩位數(shù)學(xué)家依次為（

）A．劉徽，祖沖之 B．祖沖之，劉徽 C．楊輝，祖沖之 D．秦九韶，楊輝【答案】A【分析】掌握割圓術(shù)和圓周率的發(fā)明過程是解題的關(guān)鍵．【解析】解：3世紀(jì)中期，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法，所謂割圓術(shù)，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法．圓周率不是某一個(gè)人發(fā)明的，而是在歷史的進(jìn)程中，不同的數(shù)學(xué)家經(jīng)過無數(shù)次的演算得出的．古希臘大數(shù)學(xué)家阿基米德(公元前287-212年)開創(chuàng)了人類歷史上通過理論計(jì)算圓周率近似值的先河．公元480年左右，南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的結(jié)果，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值31415927，還得到兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)值．故選：A．3．我國(guó)南朝的數(shù)學(xué)家祖沖之發(fā)展了劉徽的“割圓術(shù)”（即圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)不斷增加，它的周長(zhǎng)越來越接近圓的周長(zhǎng)），在公元5世紀(jì)又進(jìn)一步求得圓周率的值在3.1415926和3.1415927之間，是第一個(gè)將圓周率的計(jì)算精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的人，使中國(guó)對(duì)圓周率的計(jì)算在世界上領(lǐng)先一千多年．依據(jù)“割圓術(shù)”，由圓內(nèi)接正六邊形算得的圓周率的近似值是(

)A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14【答案】B【分析】設(shè)半徑為的圓內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)為，圓的直徑為，則，然后即可解決問題【解析】解：由題意時(shí)，，故選：B．4．正六邊形的中心角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】據(jù)正多邊形的中心角的定義，可得正六邊形的中心角是：360°÷6=60°．【解析】解：正六邊形的中心角是：360°÷6=60°．故選：C．5．已知一個(gè)正多邊形的中心角為45°，則以該正多邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形的種類數(shù)（全等的三角形為同一類）是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)可求出圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的定義和正八邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解析】解：∵一個(gè)正多邊形的中心角為45°，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為8，如圖，以正八邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形（全等的三角形為同一類）有△ABC，△ACF，△ACG共3個(gè)，故選：C．6．如圖，兩張完全相同的正六邊形紙片（邊長(zhǎng)為）重合在一起，下面一張保持不動(dòng)，將上面一張紙片六邊形沿水平方向向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則上面正六邊形紙片面積與折線掃過的面積（陰影部分面積）之比是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，，，交于點(diǎn)O．連接交于點(diǎn)G．連接．由于六邊形是正六邊形，可得：六邊相等，六個(gè)內(nèi)角相等，可求出各內(nèi)角的度數(shù)為：．由于點(diǎn)O是正六邊形的中心，可得：．可證出．所以是等邊三角形，四邊形是菱形，同理可得出：四邊形是菱形，四邊形是菱形，且這三個(gè)菱形全等．由于四邊形是菱形，所以．在等邊三角形中，邊長(zhǎng)為2a，可求出．所以，可求出．由題意得：、、，三點(diǎn)共線，四邊形是平行四邊形，所以，可求出所以．【解析】解：連接，，，交于點(diǎn)O連接交點(diǎn)G，連接六邊形是正六邊形點(diǎn)O是正六邊形的中心在和中四邊形是菱形同理可證：四邊形是菱形，四邊形是菱形菱形菱形菱形四邊形是菱形，，，在中，六邊形是正六邊形由平移得：、、，三點(diǎn)共線，四邊形是平行四邊形，同理：四邊形是平行四邊形，且故選A．7．大自然中有許多小動(dòng)物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實(shí)用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測(cè)研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個(gè)巢房的橫截面為正六邊形，若對(duì)角線的長(zhǎng)約為8mm，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（

）A．2mm B． C． D．4mm【答案】D【分析】如圖，連接CF與AD交于點(diǎn)O，易證△COD為等邊三角形，從而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．【解析】連接CF與AD交于點(diǎn)O，∵為正六邊形，∴∠COD==60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，∴△COD為等邊三角形，∴CD=CO=DO=4mm，即正六邊形的邊長(zhǎng)為4mm，故選：D．8．已知正六邊形的邊長(zhǎng)為4，則這個(gè)正六邊形的半徑為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)正六邊形的特征和正三角形的性質(zhì)計(jì)算求值即可；【解析】解：∵正六邊形的六條邊平分整個(gè)外接圓，∴每條邊所對(duì)的圓心角為360°÷6=60°，∴每條邊的兩個(gè)端點(diǎn)與外接圓圓心的連線構(gòu)成等邊三角形，∴外接圓半徑=正六邊形邊長(zhǎng)=4，故選：A．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，軸，交y軸于點(diǎn)P．將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)4次一個(gè)循環(huán)，推出經(jīng)過第2022次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A的坐標(biāo)即可．【解析】解：正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)為2，中心與原點(diǎn)O重合，軸，∴AP＝1，AO＝2，∠OPA＝90°，∴OP＝＝，∴A（1，），第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，-1）；第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，）；第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，1）；第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）；∵將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，∴4次一個(gè)循環(huán)，∵2022÷4＝505……2，∴經(jīng)過第2022次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，），故選：B10．問題：“如圖1，平面上，正方形內(nèi)有一長(zhǎng)為12，寬為6的矩形紙片，它可以在正方形的內(nèi)部及邊界通過移轉(zhuǎn)（即平移或旋轉(zhuǎn)）的方式，自由地從橫放移轉(zhuǎn)到豎放，求正方形邊長(zhǎng)的最小整數(shù)n．”甲、乙、丙三名同學(xué)分別作了自認(rèn)為邊長(zhǎng)最小的正方形，求出該正方形的邊長(zhǎng)x，再取最小整數(shù)n．甲：如圖2，思路是當(dāng)x為矩形對(duì)角線長(zhǎng)時(shí)就可以移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果?。遥喝鐖D3，思路是當(dāng)x為矩形外接圓直徑長(zhǎng)時(shí)就可以移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果?。喝鐖D4，思路是當(dāng)x為矩形的長(zhǎng)與寬之和時(shí)就可以移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取．對(duì)甲、乙、丙評(píng)價(jià)正確的是（

）A．甲的思路錯(cuò)，n值正確 B．乙的思路對(duì)，n值正確C．丙的思路對(duì)，n值正確 D．甲、乙的思路都錯(cuò)，丙的思路對(duì)【答案】B【分析】根據(jù)矩形中對(duì)角線為最長(zhǎng)的線段，當(dāng)最長(zhǎng)的線段能夠在正方形中移轉(zhuǎn)時(shí)，矩形就能夠正常移轉(zhuǎn)，根據(jù)勾股定理計(jì)算出矩形的對(duì)角線就可以進(jìn)行判斷得到最終的答案．【解析】解：設(shè)矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)度為，為，∴=∵，∴∵矩形紙片中最長(zhǎng)的地方為對(duì)角線∴當(dāng)x為矩形對(duì)角線長(zhǎng)時(shí)，矩形就可以移轉(zhuǎn)過去甲的思路是正確的，但是結(jié)果取錯(cuò)誤故A錯(cuò)誤∵矩形的外接圓直徑等于矩形的對(duì)角線長(zhǎng)度∴乙的思路正確故選：B．二、填空題11．如圖，由六塊相同的含30°角的直角三角尺拼成一個(gè)大的正六邊形，內(nèi)部留下一個(gè)小的正六邊形空隙，如果該直角三角尺的較短直角邊的長(zhǎng)是1分米，那么這個(gè)小的正六邊形的面積是_____平方分米．【答案】【分析】求出內(nèi)部留的小正六邊形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)正六邊形的面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：由含30°的直角三角形的性質(zhì)可知斜邊是短直角邊的2倍；根據(jù)拼圖可知，內(nèi)部留下一個(gè)小的正六邊形的邊長(zhǎng)為1分米，所以它的面積為16（平方分米），故答案為：．12．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，連接OC、OD，若OC長(zhǎng)為2cm，則正六形ABCDEF的周長(zhǎng)為______cm．【答案】12【分析】連接OC，OD，證出△COD是等邊三角形即可求得答案．【解析】解：∵多邊形ABCDEF為正六邊形，∴∠COD＝360°×＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等邊三角形，∵OC長(zhǎng)為2cm，∴CD＝2cm，∴正六形ABCDEF的周長(zhǎng)為2×6＝12（cm），故答案為：12．13．如圖，在正六邊形中，連接，則____________度．【答案】30【分析】連接BE，交CF與點(diǎn)O，連接OA，先求出，再根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)求解即可．【解析】連接BE，交CF與點(diǎn)O，連接OA，在正六邊形中，，，故答案為：30．14．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P是劣弧上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合），則∠CPD＝________．【答案】36°【分析】連接OC、OD，求出∠COD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理解答即可．【解析】解：連接OC、OD，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，，，故答案為：36°．15．如圖，AC、AD為正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線，若該正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則△ACD的周長(zhǎng)為_____．【答案】【分析】求出正六邊形的內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的判斷和性質(zhì)以及角的和差關(guān)系即可求解．【解析】解：∵正六邊形ABCDEF，∴∠B＝∠BCD120°，AB＝BC，∴∠ACB＝∠BCA＝30°，∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，由對(duì)稱性可得，AD是正六邊形的對(duì)稱軸，∴∠ADC＝∠ADE∠CDE＝60°，在Rt△ACD中，CD＝2，∠ADC＝60°，∴AD＝2CD＝4，ACCD＝2，∴△ACD的周長(zhǎng)為AC+CD+AD＝22+4＝26，故答案為：26．16．如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫圓弧交AC于點(diǎn)F，連接DF．則∠FDC的度數(shù)是_____．【答案】36【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為108°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠EAC＝∠DCA＝72°，進(jìn)而可得四邊形AEDF是平行四邊形，求出∠DFC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出答案即可．【解析】解：∵正五邊形ABCDE，∴∠ABC＝∠EAB==108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠ACB＝∠BAC==36°，∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°，∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，∴DE∥AC，又∵DE＝AE＝AF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AE∥DF，∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA，∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案為：36°．三、解答題17．如圖，為正五邊形的外接圓，已知，請(qǐng)用無刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫圖痕跡．(1)在圖1中的邊上求作點(diǎn)，使；(2)在圖2中的邊上求作點(diǎn)，使．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）連接AO并延長(zhǎng)與CD相交，連接EF交AO延長(zhǎng)線于M，連接BM與DE的交點(diǎn)即為所求作；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接BO并延長(zhǎng)與DE相交，連接AG交BO延長(zhǎng)線于N，連接CN并延長(zhǎng)即可．【解析】(1)連接AO并延長(zhǎng)與CD相交，連接EF交AO延長(zhǎng)線于M，連接BM交DE于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為所求作，如圖1所示；理由：∵⊙O為正五邊形的外接圓，∴直線AO是正五邊形ABCDE的一條對(duì)稱軸，點(diǎn)B與點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)D分別是一對(duì)