2025年新高二數(shù)學(xué)（人教A版暑假銜接）第三章《圓錐曲線的方程》綜合檢測卷（培優(yōu)B卷）(解析版)

高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊第三章綜合檢測卷（培優(yōu)B卷）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．橢圓與橢圓的（）A．長軸長相等 B．短軸長相等C．離心率相等 D．焦距相等【答案】D【分析】分別求出兩個橢圓的長短半軸長、半焦距、離心率，即可判斷作答.【詳解】橢圓的焦點在x軸上，長軸長為10，短軸長為6，焦距為8，離心率為.橢圓的焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為，焦距為8，離心率為，所以兩橢圓焦距相等.故選：D.2．已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，準(zhǔn)線為l，A是l上一點，B是直線AF與C的一個交點，若，則|BF|＝（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【分析】根據(jù)平面向量共線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線定義進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線C：x2＝4y的焦點為F（0，1），準(zhǔn)線為l：y＝－1，設(shè)A（a，－1），B（m，n），則，，∵，∴－2＝－4（n－1），∴，∴由拋物線的定義可得故選：B．3．點為橢圓上任意一點，分別為左、右焦點，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．不存在【答案】B【分析】設(shè)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，結(jié)合點在橢圓上得坐標(biāo)關(guān)系，即可得最值.【詳解】

設(shè)，所以，所以當(dāng)時，取到最大值，最大值為3．故選：B．4．已知雙曲線（，）的左右焦點分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點為P，若直線與圓E：相切，則雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先設(shè)直線與圓相切于點，根據(jù)題意，得到，再由，根據(jù)勾股定理求出，從而可得漸近線方程.【詳解】設(shè)直線與圓相切于點因為是以圓的直徑為斜邊的圓內(nèi)接三角形，所以又因為圓與直線的切點為，所以又，所以，則因此，因此有所以，因此漸近線的方程為.故選：A【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于中檔題.5．過拋物線的焦點且傾斜角為銳角的直線與交于兩點，過線段的中點且垂直于的直線與的準(zhǔn)線交于點，若，則的斜率為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義分析可得，，進(jìn)而可得的傾斜角和斜率.【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，如圖，過作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于，因為，所以，可知與軸的正方向的夾角為，則的斜率為，故選：A.

6．已知是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，且．，則C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用橢圓定義結(jié)合余弦定理得到，再結(jié)合，求出橢圓方程.【詳解】在橢圓中，由橢圓的定義可得，因為，所以，在中，，由余弦定理得，即，所以，又．所以，所以橢圓C的方程為．故選：C．7．已知拋物線的焦點，過焦點的直線交拋物線于兩點，若是線段的中點，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．準(zhǔn)線方程為C． D．點到準(zhǔn)線的距離為6【答案】D【分析】由焦點坐標(biāo)可求出的值和準(zhǔn)線方程，從而可判斷AB，利用點差法可求出直線的斜率，從而可求出直線的方程，可求出和到準(zhǔn)線的距離，可判斷CD【詳解】因為拋物線的焦點，所以，得，準(zhǔn)線方程為，拋物線方程為，所以AB正確，設(shè)，則，，兩式相減得，所以，所以，所以直線的斜率為2，所以直線的方程為，代入拋物線方程整理得，所以，所以，所以C正確，由，得，所以，所以點到準(zhǔn)線的距離為5，所以D錯誤，故選：D8．已知點P為雙曲線的右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的左、右焦點，若（為坐標(biāo)原點），且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用向量運(yùn)算可得，即，由為的中位線，得到，所以，再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率.【詳解】取的中點，則由，得，即；在中，為的中位線，所以，所以；由雙曲線定義知，且，故，所以，解得：，故選：.【點睛】本題綜合考查向量運(yùn)算與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，難度一般.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．設(shè)為拋物線：（）的焦點，為坐標(biāo)原點，為上一點，且，則（

）A．B．C．直線的斜率為D．的面積為【答案】ABD【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定的值，得拋物線方程與焦點坐標(biāo)，再由拋物線定義求得的坐標(biāo)，確定直線的斜率與的面積，逐項判斷即可得答案.【詳解】由題意得，又，故解得，所以拋物線的方程為，焦點，故A，B正確；

由拋物線定義及，所以代入拋物線方程可得得，所以，故C不正確；則的面積，故D正確.故選：ABD.10．已知曲線：，則（

）A．當(dāng)時，是雙曲線，其漸近線方程為B．當(dāng)時，是橢圓，其離心率為C．當(dāng)時，是圓，其圓心為，半徑為D．當(dāng)，時，是兩條直線【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐曲線的方程及其性質(zhì)，對選項逐個驗證即可．【詳解】對于選項A，或，當(dāng)時，原方程可化為，所以是焦點在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，當(dāng)時，原方程可化為，所以是焦點在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，故A正確；對于選項B，當(dāng)時，，原方程可化為，所以是焦點在軸上的橢圓，所以，所以，故B錯誤；對于選項C，當(dāng)時，原方程可化為，所以是圓，其圓心為，半徑為，故C正確；對于選項D，若，時，原方程可化為，當(dāng)時，，此時是兩條直線，當(dāng)時，上面方程無解，此時不表示任何圖形，故D錯誤．故選：AC．11．已知橢圓C：的左、右焦點分別為,焦距為，離心率為，P為橢圓左半邊上一點，連接交y軸于點N，，其中O為坐標(biāo)原點，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的長軸長為3B．C．若點Q在橢圓C上，則的最大值為D．點P到x軸的距離為【答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓的焦距和離心率判斷選項；由得到，利用相似比可判斷；利用橢圓的性質(zhì)可判斷；設(shè)P在x軸上的投影為G，得到，結(jié)合勾股定理，進(jìn)而求解即可.【詳解】焦距為，離心率為，得，，因為，勾股定理得，，對于A選項，，所以橢圓的長軸長為，故A選項錯誤；對于B選項，由題意得，，因為，所以，則，故，，B選項正確；對于C選項，因為Q在橢圓C上，則，故C選項正確；對于D選項，設(shè)P在x軸上的投影為G，則，則，所以，又，解得，則P到x軸的距離為，故D選項正確；故選：BCD．12．已知拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則的最小值為4C．以線段為直徑的圓與直線相切D．若，則直線的斜率為1【答案】AC【分析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，設(shè)出點A，B的坐標(biāo)及直線AB方程，再結(jié)合各選項的條件分別計算判斷作答.【詳解】拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線，設(shè)點，對于A，顯然在拋物線上，則，A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，有，因此當(dāng)時取得最小值5，B不正確；對于C，，線段AB的中點M縱坐標(biāo)為，則，顯然點M是以線段為直徑的圓的圓心，點M到直線的距離為，所以圓M與直線相切，C正確；對于D，顯然直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為：，由消去y得：，有，由得：，于是得，解得，D不正確.故選：AC填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線：的離心率為，則雙曲線的兩條漸近線夾角（銳角）的正切值為.【答案】【分析】由雙曲線的離心率求出漸近線的斜率，根據(jù)直線的夾角公式即可求得答案.【詳解】因為雙曲線的離心率為，所以，即，則，故雙曲線兩條漸漸近線的斜率為，設(shè)雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則，故答案為：14．若線段AB的兩個端點分別在x軸、y軸上滑動，，點M是線段AB上一點，且，則動點M的軌跡方程是.【答案】【分析】利用，根據(jù)題意可得，進(jìn)而結(jié)合兩點間距離公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)，則，如圖，因為，，可得，則，解得，又因為，整理得，則所求動點M的軌跡方程為故答案為：.

15．過橢圓的左焦點且斜率為的弦的長是．【答案】/【分析】設(shè)點、，寫出直線的方程，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值.【詳解】設(shè)點、，在橢圓中，，，，所以，橢圓的左焦點坐標(biāo)為，則直線的方程為，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，.故答案為：.16．已知為拋物線上的動點，為拋物線的焦點，點，則周長的最小值為.【答案】7【分析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過作于，過作于，由拋物線的性質(zhì)可將的周長轉(zhuǎn)化為，由圖可知當(dāng)三點共線時，取得最小值，從而可求得答案.【詳解】當(dāng)時，，所以點在拋物線內(nèi)，由，得焦點為，準(zhǔn)線為，過作于，過作于，則，所以的周長為，由圖可知當(dāng)三點共線時，取得最小值，此時的最小值為，因為，所以的最小值為7，即的周長的最小值為7，故答案為：7

解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，當(dāng)為何值時：(1)方程表示雙曲線；(2)表示焦點在軸上的雙曲線；(3)表示焦點在軸上的雙曲線．【答案】(1)或(2)(3)【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的分母的正負(fù)解決即可．【詳解】（1）因為，即，方程表示雙曲線，所以，解得或；所以或；（2）因為，即，焦點在軸上的雙曲線，則，解得，所以；（3）因為1，即，焦點在y軸上的雙曲線，則，解得，所以.18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：的左焦點為F1(－2，0)，且點P(0，2)在橢圓C1上．（1）求橢圓C1的方程；（2）設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y2＝8x相切，求直線l的方程【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）因為橢圓的左焦點為，所以，點代入橢圓，得，由此能求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，由，得．因為直線與橢圓相切，所以△．再由直線和拋物線相切，聯(lián)立方程，運(yùn)用判別式為0，由此能求出直線的方程．【詳解】解：（1）因為橢圓的左焦點為，所以，點代入橢圓，得，即，所以，所以橢圓的方程為；（2）直線的斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為，由，消去并整理得，因為直線與橢圓相切，所以△整理得①由，消去并整理得，因為直線與拋物線相切，所以△，整理得②綜合①②，解得或，所以直線的方程為或．【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．19．在①；②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并對其求解.問題：已知拋物線的焦點為F，點在拋物線C上，且___________.（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過拋物線C的焦點F，l與拋物線C相交于A，B兩點，且，求直線l的方程.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）若選擇條件①，利用焦半徑公式求，若選擇條件②，代入點，求；（2）直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示，求.【詳解】（1）若選擇條件①，根據(jù)焦半徑公式可知，解得：，所以拋物線方程是；若選擇條件②，即，代入拋物線方程，得，所以拋物線方程是；（2）拋物線的焦點，當(dāng)直線的斜率不存在時，，所以直線的斜率存在，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，化簡為，，，解得：，所以直線的方程是或20．點為拋物線上一點，為其焦點，已知．(1)求與的值；(2)以點為切點作拋物線的切線，交y軸于點N，求的面積．【答案】(1)，．(2)10【分析】（1）由根據(jù)拋物線的定義求出可得拋物線方程；（2）求出拋物線過點的切線，得出點的坐標(biāo)即可求三角形面積.【詳解】（1）由拋物線的定義可知，即，拋物線的方程為.又在拋物線上，所以，故，．（2）設(shè)過M點的方程為，由，消去得，即，令，解得，所以切線方程為.令，得，即,又，，.

21．設(shè)分別是雙曲線的左?右兩焦點，過點的直線與的右支交于兩點，曲線的虛軸的端點與其焦點的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)當(dāng)時，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合題意可得，解方程組即可求解；（2）由（1）知，，，進(jìn)而得到，，，在中，由余弦定理可得，進(jìn)而得到，進(jìn)而得出直線的斜率為，進(jìn)而求解.【詳解】（1）由題意可得，，解得，，，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）知，，則，因為直線過點，所以，即，由，，則，在中，由余弦定理得，所以，則，即直線的斜率為，所以，即，即直線的方程為.

22．已知，為橢圓C的左右焦點，且拋物線的焦點為，M為橢圓的上頂點，的面積為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線l與橢圓C交于A，B兩