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人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第19章一次函數(shù)19.3課題學(xué)習(xí)選擇方案目錄學(xué)習(xí)目標(biāo)01情景導(dǎo)入02新知探究03課本例題0405課本練習(xí)06分層練習(xí)0807課本習(xí)題課堂小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.會(huì)用一次函數(shù)知識(shí)解決方案選擇問(wèn)題,體會(huì)函數(shù)模型思想;(重點(diǎn)、難點(diǎn))
2.能從不同的角度思考問(wèn)題,優(yōu)化解決問(wèn)題的方法;
3.能進(jìn)行解決問(wèn)題過(guò)程的反思,總結(jié)解決問(wèn)題的方法.用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的策略:一要利用好圖(表)中的信息;二要采用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式;三要注意分段函數(shù)的應(yīng)用;四要注意自變量在不同階段的取值范圍.情景導(dǎo)入做一件事情,有時(shí)有不同的實(shí)施方案,比較這些方案,從中選擇最佳方案作為行動(dòng)計(jì)劃,是非常必要的。在選擇方案時(shí),往往需要從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行分析,涉及變量的問(wèn)題常用到函數(shù)。新知探究活動(dòng)一
怎樣選取上網(wǎng)收費(fèi)方式?收費(fèi)方式月使用費(fèi)/元包時(shí)上網(wǎng)時(shí)間/時(shí)超時(shí)費(fèi)/(元/分)A30250.05B50500.05C120不限時(shí)下表給出A,B,C三種上寬帶網(wǎng)的收費(fèi)方式.1.哪種方式上網(wǎng)費(fèi)是會(huì)變化的?哪種不變?A、B會(huì)變化,C不變2.在A、B兩種方式中,上網(wǎng)費(fèi)由哪些部分組成?上網(wǎng)費(fèi)=月使用費(fèi)+超時(shí)費(fèi)3.影響超時(shí)費(fèi)的變量是什么?上網(wǎng)時(shí)間4.這三種方式中有一定最優(yōu)惠的方式嗎?沒(méi)有一定最優(yōu)惠的方式,與上網(wǎng)的時(shí)間有關(guān)收費(fèi)方式月使用費(fèi)/元包時(shí)上網(wǎng)時(shí)間/時(shí)超時(shí)費(fèi)/(元/分)A30250.05B50500.055.設(shè)月上網(wǎng)時(shí)間為x小時(shí),則方式A、B的上網(wǎng)費(fèi)y1、y2都是x的函數(shù),要比較它們,需在x>0的條件下,考慮何時(shí)(1)
y1=y2;
(2)
y1<y2;(3)
y1>y2.6.在方式A中,超時(shí)費(fèi)一定會(huì)產(chǎn)生嗎?什么情況下才會(huì)有超時(shí)費(fèi)?不一定,只有在上網(wǎng)時(shí)間超過(guò)25小時(shí)時(shí)才會(huì)產(chǎn)生.合起來(lái)可寫(xiě)為:當(dāng)0≤x≤25時(shí),y1=30;當(dāng)x>25時(shí),y1=30+0.05×60(x-25)=3x-45.收費(fèi)方式月使用費(fèi)/元包時(shí)上網(wǎng)時(shí)間/時(shí)超時(shí)費(fèi)/(元/分)A30250.05B50500.05C120不限時(shí)7.你能自己寫(xiě)出方式B的上網(wǎng)費(fèi)y2關(guān)于上網(wǎng)時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式嗎?方式C的上網(wǎng)費(fèi)y3關(guān)于上網(wǎng)時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式呢?當(dāng)x≥0時(shí),y3=120.當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間__________時(shí),選擇方式A最省錢(qián).當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間__________時(shí),選擇方式B最省錢(qián).當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間_________時(shí),選擇方式C最省錢(qián).在同一坐標(biāo)系畫(huà)出它們的圖象:活動(dòng)2怎樣租車(chē)?某學(xué)校計(jì)劃在總費(fèi)用2300元的限額內(nèi),租用汽車(chē)送234名學(xué)生和6名教師集體外出活動(dòng),每輛汽車(chē)上至少有1名教師.現(xiàn)有甲、乙兩種大客車(chē),它們的載客量和租金如表所示:?jiǎn)栴}1:租車(chē)的方案有哪幾種?共三種:(1)單獨(dú)租甲種車(chē);(2)單獨(dú)租乙種車(chē);(3)甲種車(chē)和乙種車(chē)都租.甲種客車(chē)乙種客車(chē)載客量/(人/輛)4530租金/(元/輛)400280問(wèn)題2:如果單獨(dú)租甲種車(chē)需要多少輛?乙種車(chē)呢?問(wèn)題3:如果甲、乙都租,你能確定合租車(chē)輛的范圍嗎?汽車(chē)總數(shù)不能小于6輛,不能超過(guò)8輛.單獨(dú)租甲種車(chē)要6輛,單獨(dú)租乙種車(chē)要8輛.甲種客車(chē)乙種客車(chē)載客量/(人/輛)4530租金/(元/輛)400280問(wèn)題4:要使6名教師至少在每輛車(chē)上有一名,你能確定排除哪種方案?你能確定租車(chē)的輛數(shù)嗎?說(shuō)明了車(chē)輛總數(shù)不會(huì)超過(guò)6輛,可以排除方案(2)——單獨(dú)租乙種車(chē);所以租車(chē)的輛數(shù)只能為6輛.問(wèn)題5:在問(wèn)題3中,合租甲、乙兩種車(chē)的時(shí)候,又有很多種情況,面對(duì)這樣的問(wèn)題,我們?cè)鯓犹幚砟??方?:分類(lèi)討論——分3種情況;方法2:設(shè)租甲種車(chē)x輛,確定x的范圍.設(shè)租用x輛甲種客車(chē),則租車(chē)費(fèi)用y(單位:元)是x
的函數(shù),即怎樣確定x
的取值范圍呢?甲種客車(chē)乙種客車(chē)載客量/(人/輛)4530租金/(元/輛)400280答:設(shè)租車(chē)費(fèi)用為y元.因?yàn)樽庥眉追N客車(chē)x輛,所以租用乙種客車(chē)(6-x)輛.根據(jù)表格可知,y=400x+280(6-x),化簡(jiǎn)得y=120x+1680.甲種客車(chē)乙種客車(chē)載客量/(人/輛)4530租金/(元/輛)400280根據(jù)題意,存在兩個(gè)不等關(guān)系:①240名師生都有車(chē)坐,則45x+30(6-x)≥
240;②總費(fèi)用在2300元的限額內(nèi),則y≤2300,即120x+1680≤2300.甲種客車(chē)乙種客車(chē)載客量/(人/輛)4530租金/(元/輛)400280兩種方案:①4輛甲種客車(chē),2輛乙種客車(chē);②5輛甲種客車(chē),1輛乙種客車(chē).因?yàn)閥是x的一次函數(shù)﹐且y隨x的增大而增大,所以當(dāng)x=4時(shí),y有最小值,最小值為120×4+1680=2160.
解決含有多個(gè)變量的問(wèn)題時(shí),可以分析這些變量之間的關(guān)系,從中選取一個(gè)取值能影響其他變量的值的變量作為自變量,然后根據(jù)問(wèn)題的條件尋求可以反映實(shí)際問(wèn)題的函數(shù),以此作為解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.概念歸納活動(dòng)1(1)根據(jù)下表的數(shù)據(jù),在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出世界人口增長(zhǎng)曲線(xiàn)圖.年份
x19601974198719992010人口數(shù)
y/億3040506069世界人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表年份
x19601974198719992010人口數(shù)
y/億3040506069世界人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表
①
列表
②
描點(diǎn)
③
畫(huà)線(xiàn)
(2)選擇一個(gè)近似于人口增長(zhǎng)曲線(xiàn)的一次函數(shù),寫(xiě)出它的解析式.年份
x19601974198719992010人口數(shù)
y/億3040506069世界人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表回想一下一次函數(shù)解析式的求法以及求解步驟?1.設(shè)函數(shù)的解析式:設(shè)年份為
x,人口數(shù)為
y,則有
y=kx+b2.選擇兩個(gè)合適的點(diǎn);3.列出方程組并解答:1960k+b=302010k+b=69k=0.78b=-1498.8解得4.將
k和
b帶入解析式:y=0.78x-1498.8(答案不唯一)年份
x19601974198719992010人口數(shù)
y/億3040506069世界人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表(2)選擇一個(gè)近似于人口增長(zhǎng)曲線(xiàn)的一次函數(shù),寫(xiě)出它的解析式.解:將
x=2020帶入到解析式中y=0.78×2020-1498.8答:估計(jì)2020年的世界人口數(shù)將達(dá)到76.8億.年份
x19601974198719992010人口數(shù)
y/億3040506069世界人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表(3)按照這樣的增長(zhǎng)趨勢(shì),估計(jì)2020年的世界人口數(shù).活動(dòng)2
水龍頭關(guān)閉不嚴(yán)會(huì)造成滴水,為了調(diào)查漏水量與漏水時(shí)間的關(guān)系,可進(jìn)行以下的試驗(yàn)與研究:
(1)在滴水的水龍頭下放置一個(gè)能顯示水量的容器,每5min記錄一次容器中的水量,并填寫(xiě)下表.時(shí)間
t/min051015202530水量
w/mL05099150200251300(2)建立直角坐標(biāo)系,以橫軸表示時(shí)間
t,縱軸表示水量
w
,描出以上述試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的各點(diǎn),并觀察它們的分布規(guī)律.時(shí)間
t/min051015202530水量
w/mL05099150200251300(3)試寫(xiě)出
w關(guān)于
t的函數(shù)解析式,并由它估算這種漏水狀態(tài)下一天的漏水量.時(shí)間
t/min051015202530水量
w/mL05099150200251300w=10t一天有24小時(shí),一小時(shí)60分鐘24×60=1440(min)
w=1440×10=14400(mL)1.小亮現(xiàn)已存款
100
元,他計(jì)劃今后三年每月存款
10
元.存款總金額
y(單位:元)將隨時(shí)間x(單位:月)的變化而改變.指出其中的常量與變量,自變量與函數(shù),并寫(xiě)出函數(shù)解析式.解:
函數(shù)解析式
y=10x+100(0
≤
x
≤
36,x為整數(shù)),其中常量是
10,100,變量是存款總數(shù)
y
與時(shí)間
x,自變量是時(shí)間
x,函數(shù)是存款總數(shù)
y.復(fù)習(xí)題2.判斷下列各點(diǎn)是否在直線(xiàn)y=2x+6上.這條直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交于何處?解:
當(dāng)
x=-5時(shí),y=2×(-5)+6=-4.當(dāng)
x=-7時(shí),y=2×(-7)+6=-8≠20;當(dāng)
x=-時(shí),y=2×(-)+6=-1≠1;當(dāng)
x=時(shí),y=2×+6==.所以點(diǎn)
在直線(xiàn)
y=2x+6上.點(diǎn)
不在直線(xiàn)
y=2x+6上.這條直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)(0,6),(-3,0).2.判斷下列各點(diǎn)是否在直線(xiàn)y=2x+6上.這條直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交于何處?3.填空:(1)直線(xiàn)
經(jīng)過(guò)第_______________象限,y
隨
x
的增大而_______;(2)直線(xiàn)
y=3x-2經(jīng)過(guò)第_______________象限,y
隨
x
的增大而_______.一、二、四減小一、三、四增大4.根據(jù)下列條件分別確定函數(shù)y=kx+b的解析式:
(1)y與x成正比例,當(dāng)x=5時(shí),y=6;解:(1)因?yàn)?/p>
y
與
x
成正比例,所以
b
=
0.又當(dāng)
x
=
5時(shí),y
=
6,所以
6
=
5k,解得
k=.所以函數(shù)解析式為
y=x.(2)直線(xiàn)y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,6)與點(diǎn).(2)因?yàn)橹本€(xiàn)
y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,6)與點(diǎn)
,所以
解得
所以函數(shù)解析式為
y=
x
.5.試根據(jù)函數(shù)
y
=
3x-15
的性質(zhì)或圖象,確定
x
取何值時(shí):
(1)y
>
0;
(2)y
<
0.解:在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)
y=3x-15
的圖象:(1)由圖象知,當(dāng)
x
>
5
時(shí),直線(xiàn)在
x
軸的上方,即此時(shí)
y
>
0,所以當(dāng)
x
>
5
時(shí),y
>
0;5.試根據(jù)函數(shù)
y
=
3x-15
的性質(zhì)或圖象,確定
x
取何值時(shí):
(1)y
>
0;
(2)y
<
0.(2)由圖象知,當(dāng)
x
<
5
時(shí),直線(xiàn)在
x
軸的下方,即此時(shí)
y
<
0,所以當(dāng)
x
<
5
時(shí),y
<
0.6.在某火車(chē)站托運(yùn)物品時(shí),不超過(guò)
1kg
的物品需付
2
元,以后每增加
1kg(不足
lkg按1kg
計(jì))需增加托運(yùn)費(fèi)0.5元.
設(shè)托運(yùn)
pkg(p為整數(shù))物品的費(fèi)用為
c
元.
試寫(xiě)出
c
的計(jì)算公式.解題策略:對(duì)于分段函數(shù),在不同的自變量取值范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)著不同的解析式綜合運(yùn)用解:
因?yàn)楫?dāng)
p=
1
時(shí),c
=
2,
當(dāng)
p
>
1
時(shí),c
=2
+
(p-1)×0.5=p+
,所以
c
的計(jì)算公式:
p+(p>1且
p
為整數(shù)).
c=綜合運(yùn)用6.在某火車(chē)站托運(yùn)物品時(shí),不超過(guò)
1kg
的物品需付
2
元,以后每增加
1kg(不足
lkg按1kg
計(jì))需增加托運(yùn)費(fèi)0.5元.
設(shè)托運(yùn)
pkg(p為整數(shù))物品的費(fèi)用為
c
元.
試寫(xiě)出
c
的計(jì)算公式.7.某水果批發(fā)市場(chǎng)規(guī)定,批發(fā)蘋(píng)果不少于100kg時(shí),批發(fā)價(jià)為2.5元/kg.小王攜帶現(xiàn)金3000元到這市場(chǎng)采購(gòu)蘋(píng)果,并以批發(fā)價(jià)買(mǎi)進(jìn).設(shè)購(gòu)買(mǎi)的蘋(píng)果為xkg,小王付款后還剩余現(xiàn)金y元.試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并指出自變量x的取值范圍.求自變量的取值范圍1.批發(fā)蘋(píng)果不少于100kg,2.y
≥
0.解:
y與
x
之間的函數(shù)解析式為
y
=3000
-
2.5x,因?yàn)槭S喱F(xiàn)金
y
≥
0,所以
3
000-2.5x
≥
0,所以
x
≤
1200,所以自變量
x
的取值范圍是
100
≤
x≤
1
200.7.某水果批發(fā)市場(chǎng)規(guī)定,批發(fā)蘋(píng)果不少于100kg時(shí),批發(fā)價(jià)為2.5元/kg.小王攜帶現(xiàn)金3000元到這市場(chǎng)采購(gòu)蘋(píng)果,并以批發(fā)價(jià)買(mǎi)進(jìn).設(shè)購(gòu)買(mǎi)的蘋(píng)果為xkg,小王付款后還剩余現(xiàn)金y元.試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并指出自變量x的取值范圍.8.勻速地向一個(gè)容器內(nèi)注水,最后把容器注滿(mǎn).在注水過(guò)程中,水面高度h隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖所示(圖中OABC為一折線(xiàn)).這個(gè)容器的形狀是下圖中哪一個(gè)?勻速地向另兩個(gè)容器注水時(shí),你能畫(huà)出水面高度h隨時(shí)間t變化的圖象(草圖)嗎?解:從圖象上看,在注水過(guò)程中,容器的中間部分的水面高度h隨時(shí)間t的變化最緩慢,其次是容器的下面部分,變化最迅速的應(yīng)該是容器的上面部分,因此可以斷定這個(gè)容器的形狀是圖(3).(1)向圖(1)的容器注水時(shí)水面高度h隨時(shí)間t變化的圖象:(2)向圖(2)的容器注水時(shí)水面高度h隨時(shí)間t變化的圖象:9.已知等腰三角形周長(zhǎng)為20.(1)寫(xiě)出底邊長(zhǎng)y關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)解析式(x為自變量);(2)寫(xiě)出自變量取值范圍;(3)在直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)圖象.解:(1)因?yàn)?x
+
y
=20,所以
y
=20
-
2x.
所以底邊長(zhǎng)
y
與腰長(zhǎng)
x
之間的函數(shù)關(guān)系式為
y
=
20
-
2x.9.已知等腰三角形周長(zhǎng)為20.(1)寫(xiě)出底邊長(zhǎng)y關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)解析式(x為自變量);(2)寫(xiě)出自變量取值范圍;(3)在直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)圖象.(2)因?yàn)槿切稳我鈨蛇呏鸵笥诘谌叄?/p>
把
y=20-2x
代入,得x+y>x,x+x>y,x+20-2x>x,x+x>20-2x,解得
5
<
x
<
10,即自變量
x
的取值范圍是
5
<
x
<
10.(3)圖象如圖所示.9.已知等腰三角形周長(zhǎng)為20.(1)寫(xiě)出底邊長(zhǎng)y關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)解析式(x為自變量);(2)寫(xiě)出自變量取值范圍;(3)在直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)圖象.10.已知點(diǎn)A(8,0)及在第一象限的動(dòng)點(diǎn)P(x,y),且
x+y=10.設(shè)△OPA的面積為S.
(1)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)求x的取值范圍;
(3)當(dāng)S=12時(shí),求P點(diǎn)坐標(biāo);
(4)畫(huà)出函數(shù)S的圖象.利用三角形的面積求一次函數(shù)的解析式,關(guān)鍵是要找到合適的底和高.解:(1)因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)
P(x,y)
在第一象限,所以
x
>
0,y
>
0.因?yàn)?/p>
x
+
y
=
10,所以
y
=
10
-
x,
所以
,即
S
關(guān)于
x
的函數(shù)解析式為
S=-4x+40;
10.已知點(diǎn)A(8,0)及在第一象限的動(dòng)點(diǎn)P(x,y),且x+y=10.設(shè)△OPA的面積為S.
(1)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式;10.已知點(diǎn)A(8,0)及在第一象限的動(dòng)點(diǎn)P(x,y),且x+y=10.設(shè)△OPA的面積為S.
(2)求x的取值范圍;
(3)當(dāng)S=12時(shí),求P點(diǎn)坐標(biāo);(2)因?yàn)辄c(diǎn)
P
在第一象限內(nèi),所以
x
的取值范圍是0
<
x
<
10;(3)當(dāng)
S
=
12
時(shí),-4x
+
40
=12,x=
7,則
y
=10-x=
3,所以當(dāng)
S
=
12
時(shí),P
點(diǎn)的坐標(biāo)為(7,3).10.已知點(diǎn)A(8,0)及在第一象限的動(dòng)點(diǎn)P(x,y),且x+y=10.設(shè)△OPA的面積為S.
(4)畫(huà)出函數(shù)S的圖象.(4)函數(shù)
S
的圖象如圖所示:11.(1)畫(huà)出函數(shù)y=|x-1|的圖象.
(2)設(shè)P(x,0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),它與x軸上表示-3的點(diǎn)的距離為y.求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象.解:(1)因?yàn)?/p>
y=|x-1|=所以函數(shù)
y=|x-1|的圖象如圖所示:x-1(x≥1),-x+1(x<1),11.(1)畫(huà)出函數(shù)y=|x-1|的圖象.
(2)設(shè)P(x,0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),它與x軸上表示-3的點(diǎn)的距離為y.求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象.(2)
y=|x-(-3)|=|x+3|=這個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示:x+3(x≥-3),-x-3(x<-3),12.A,B兩地相距25km.甲8:00由A地出發(fā)騎自行車(chē)去B地,速度為10km/h;乙9:30由A地出發(fā)乘汽車(chē)也去B地,速度為40km/h.
(1)分別寫(xiě)出兩個(gè)人的行程關(guān)于時(shí)刻的函數(shù)解析式;
(2)乙能否在途中超過(guò)甲?如果能超過(guò),何時(shí)超過(guò)?AB甲乙這題是行程問(wèn)題,由于是以平均速度考慮問(wèn)題,因此兩人的運(yùn)動(dòng)形式都按勻速運(yùn)動(dòng)考慮.解:(1)設(shè)甲、乙行駛中的時(shí)刻為
x
時(shí),甲、乙行駛的路程分別為
y甲,y乙,則有
y甲=10(x-8)
=10x-80
(8
≤
x
≤
10.5),y乙=
40(x
-
9.5)
=40x
-
380
(9.5≤
x
≤
10.125);(2)令y甲<
y乙,則10x-80
<
40x-380.
所以
x
>
10,即
10
時(shí)以后乙超過(guò)甲.12.A,B兩地相距25km.甲8:00由A地出發(fā)騎自行車(chē)去B地,速度為10km/h;乙9:30由A地出發(fā)乘汽車(chē)也去B地,速度為40km/h.
(1)分別寫(xiě)出兩個(gè)人的行程關(guān)于時(shí)刻的函數(shù)解析式;
(2)乙能否在途中超過(guò)甲?如果能超過(guò),何時(shí)超過(guò)?一個(gè)有進(jìn)水管與出水管的容器,從某時(shí)刻開(kāi)始4min內(nèi)只進(jìn)水不出水,在隨后的8min內(nèi)既進(jìn)水又出水,每分的進(jìn)水量和出水量是兩個(gè)常數(shù).容器內(nèi)的水量y(單位:L)與時(shí)間x(單位:min)之間的關(guān)系如圖所示.(1)當(dāng)0≤x≤4時(shí),求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.(2)當(dāng)4<x≤12時(shí),求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.(3)每分進(jìn)水、出水各多少升?拓廣探索解:(1)設(shè)
y
關(guān)于
x
的函數(shù)解析式為
y=kx(0
≤
x
≤
4).由題意知
20
=
4k,解得
k
=
5.
所以當(dāng)
0
≤
x
≤
4
時(shí),y
關(guān)于
x
的函數(shù)解析式為
y
=5x.
(1)當(dāng)0≤x≤4時(shí),求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.(2)當(dāng)4<x≤12時(shí),求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.(2)設(shè)
y
關(guān)于
x
的函數(shù)解析式為
y=k'x
+
b'
(4<
x≤
12
).20=4k'+b'
,30=12k'+b'
,由圖象知
解得所以當(dāng)4<
x≤
12
時(shí),y
關(guān)于
x
的函數(shù)解析式為
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