能力提升：軸對稱（解析版）

軸對稱能力提升篇一、單選題：1．如圖，正方形網格中，A，B兩點均在直線a上方，要在直線a上求一點P，使PA＋PB的值最小，則點P應選在（

）A．C點 B．D點 C．E點 D．F點【答案】C【分析】取A點關于直線a的對稱點G，連接BG與直線a交于點E，點E即為所求．【詳解】解：如圖所示，取A點關于直線a的對稱點G，連接BG與直線a交于點E，點E即為所求，故選C．【點睛】本題主要考查了軸對稱最短路徑問題，解題的關鍵在于能夠熟練掌握軸對稱最短路徑的相關知識．2．一張正方形紙片經過兩次對折，并在如圖所示的位置上剪去一個小正方形，打開后的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面圖形的折疊及圖形的對稱性展開圖解題．【詳解】由第一次對折后中間有一個矩形，排除B、C；由第二次折疊矩形正在折痕上，排除D；故選：A．【點睛】本題考查的是學生的立體思維能力及動手操作能力，關鍵是由平面圖形的折疊及圖形的對稱性展開圖解答．3．如圖，點為內一點，分別作點關于、的對稱點，，連接交于，交于，，則的周長為（

）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】B【分析】根據軸對稱的性質可得P1M＝PM，P2N＝PN，然后根據三角形的周長定義，求出△PMN的周長為P1P2，從而得解．【詳解】解：∵點關于、的對稱點，，∴，，∴△PMN的周長，∵∴△PMN的周長為．故選：．【點睛】本題考查軸對稱的性質，解題時注意：對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等．4．如圖，△ABC中，∠A＝20°，沿BE將此三角形對折，又沿BA′再一次對折，點C落在BE上的C′處，此時∠C′DB＝74°，則原三角形的∠C的度數為（

）A．27° B．59° C．69° D．79°【答案】D【分析】由折疊的性質得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，則∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，由三角形內角和定理得∠3＋∠C＝106°，在△ABC中，由三角形內角和定理得∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，得出∠3＝27°，即可得出結果．【詳解】解：如圖所示：∵△ABC沿BE將此三角形對折，又沿BA′再一次對折，點C落在BE上的C′處，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，∴∠1＝∠2＝∠3，∴∠ABC＝3∠3，在△BCD中，∠3＋∠C＋∠CDB＝180°，∴∠3＋∠C＝180°?74°＝106°，在△ABC中，∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴20°＋2∠3＋106°＝180°，∴∠3＝27°，∴∠C＝106°-∠3＝79°．故選：D．【點睛】本題考查了翻折變換的性質、三角形內角和定理；熟練掌握翻折變換的性質和三角形內角和定理，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．二、填空題：5．如圖，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．點E為邊DC上的一個動點，△AD'E與△ADE關于直線AE對稱，當△CD'E為直角三角形時，DE的長為______．【答案】3或6【分析】分兩種情況分別求解，（1）當∠CED′＝90°時，如圖（1），根據軸對稱的性質得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝6；（2）當∠ED′A＝90°時，如圖（2），根據軸對稱的性質得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直線上，根據勾股定理得AC＝10，設DE＝D′E＝x，則EC＝CD?DE＝8?x，根據勾股定理得，D′E2＋D′C2＝EC2，代入相關的值，計算即可．【詳解】解：當∠CED′＝90°時，如圖（1），∵∠CED′＝90°，根據軸對稱的性質得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝6；（2）當∠ED′A＝90°時，如圖（2），根據軸對稱的性質得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD′E為直角三角形，即∠CD′E＝90°，∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°，∴A、D′、C在同一直線上，根據勾股定理得，∴CD′＝10?6＝4，設DE＝D′E＝x，則EC＝CD?DE＝8?x，在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2，即x2＋16＝(8?x)2，解得x＝3，即DE＝3；綜上所述：DE的長為3或6；故答案為：3或6．【點睛】本題考查了矩形的性質、勾股定理、軸對稱的性質，熟練掌握矩形的性質、勾股定理、軸對稱的性質的綜合應用，分情況討論，作出圖形是解題關鍵．6．如圖，在等腰直角中，，，為的中點，，點為上一動點，則的最小值為______．【答案】【分析】作關于的對稱點，連接，，依據軸對稱的性質，即可得到，，，根據，可得當，，，在同一直線上時，的最小值等于的長，根據全等三角形的對應邊相等，即可得出的最小值為．【詳解】解：如圖1所示，作關于的對稱點，連接，，則，，，，，，，是的中點，，，，當，，，在同一直線上時，如圖2所示，的最小值等于的長，，，，，，的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱—線路最短問題，一般涉及到最短距離的問題，要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．7．如圖，已知∠AOB＝7°，一條光線從點A出發(fā)后射向OB邊，若光線與OB邊垂直，則光線沿原路返回到點A，此時∠A＝90°－7°＝83°，當∠A＜83°時，光線射到OB邊上的點A1后，經OB反射到線段AO上的點A2，易知∠1＝∠2，若A1A2⊥AO，光線又會沿A2→A1→A原路返回到點A，此時∠A＝__°若光線從點A發(fā)出后，經若干次反射能沿原路返回到點A，則銳角∠A的最小值＝________°【答案】

76

6【分析】（1）由A1A2⊥AO，∠AOB＝7°，可得∠2＝83°，由∠1＝∠2得∠1＝83°，從而求出∠AA1A2＝14°，即可求出∠A＝76°；（2）根據題意可知光線原路返回，最后的線垂直于BO，中間的角，從里往外，是7°的2倍，4倍，8倍.....n倍.，得出2∠1＝180°－14°×n，根據外角的性質，可得∠A＝∠1－7°＝83°－7°×n，當n＝11時，∠A＝6°，即可求出∠A的最小值．【詳解】解：（1）A1A2⊥AO，∠AOB＝7°，∴∠1＝∠2＝90°－7°＝83°，∴∠A＝∠1－∠AOB＝76°；（2）當MN⊥OA時，光線沿原路返回，∴∠4＝∠3＝90°－7°＝83°，∴∠6＝∠5＝∠4－∠AOB＝83°－7°＝76°＝90°－2×7°，∴∠8＝∠7＝∠6－∠AOB＝76°－7°＝90°－3×7°，∴∠9＝∠8－∠AOB＝69°－7°＝62°＝90°－4×7°，由以上規(guī)律可知，∠A＝90°－2n?7°，當n＝6時，∠A取得最小值，最小度數為6°，故答案為：76，6．【點睛】本題主要考查直角三角形的性質和三角形的外角性質及入射角等于反射角，根據三角形的外角性質及入射角等于反射角得出與∠A具有相同位置的角的度數變化規(guī)律是解題的關鍵．8．如圖，將沿著過中點的直線折疊，使點落在邊上的處，稱為第1次操作，折痕到的距離記為，還原紙片后，再將沿著過中點的直線折疊，使點落在邊上的處，稱為第2次操作，折痕到的距離記為，按上述方法不斷操作下去…經過第2020次操作后得到的折痕到的距離記為，若，則的值為______．【答案】【分析】根據中點的性質及折疊的性質可得DA=DA?=DB,從而可得∠ADA?=2∠B,結合折疊的性質可得.，∠ADA?=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,繼而判斷DE//

BC,得出DE是△ABC的中位線，證得AA?⊥BC,AA?=2，由此發(fā)現規(guī)律：同理…于是經過第n次操作后得到的折痕Dn-1

En-1到BC的距離，據此求得的值．【詳解】解：如圖連接AA?,由折疊的性質可得：AA?⊥DE,DA=

DA?

,A?、A?…均在AA?上又∵

D是AB中點，∴DA=

DB

,

∵DB=

DA?

,∴∠BA?D=∠B

,∴∠ADA?=∠B+∠BA?D=2∠B,又∵∠ADA?

=2∠ADE

,∴∠ADE=∠B∵DE//BC,∴AA?⊥BC

,∵h?=1∴AA?

=2,∴同理：；；…∴經過n次操作后得到的折痕Dn-1En-1到BC的距離∴【點睛】本題考查了中點性質和折疊的性質，本題難度較大，要從每次折疊發(fā)現規(guī)律，求得規(guī)律的過程是難點．三、解答題：9．如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折形成的，若∠1：∠2：∠3＝13：3：2，CD與BE交于O點，求∠EOC的度數【答案】100°【分析】根據題意可得，∠1：∠2：∠3＝13：3：2，且，則∠1＝130°，∠3＝20°，根據折疊的性質，翻折變換的特點即可求解．【詳解】解：如圖，AE與DC交于點P，∵∠1：∠2：∠3＝13：3：2，且，∴∠1＝130°，∠3＝20°，∴由翻折可得∠DCA=∠3＝20°，∠EAB=∠1＝130°，∵∠PAC＝360°﹣2∠1＝100°，∴∠EPD＝∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠DCA＝60°．由翻折的性質可知∠E＝∠3＝20°．∴∠EOC＝180°﹣∠EPD﹣∠E＝180°﹣60°﹣20°＝100°．【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形的內角和定理以及周角的意義，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．10．如圖，ABCD為一長方形紙片，E為BC上一點，將紙片沿AE折疊，B點落在長方形外的F點．(1)如圖1，當∠BEA＝35°時，∠FAD的度數為．（直接填空）(2)如圖2，連BD，若∠CBD＝25°，AFBD，求∠BAE；(3)如圖3，當AFBD時，設∠CBD＝，請你求出∠BAE的度數．（用表示）【答案】(1)20°(2)57.5°(3)【分析】（1）先求出∠BAE的度數，然后根據翻折得出∠FAE的度數，再根據平行線的性質求出∠DAE的度數，即可得出結論；（2）先根據AD∥BC，∠CBD=25°得出∠ADB=25°，再由AF∥BD得出∠FAD=25°，故可得出∠AGF的度數，由平行線的性質得出∠BEF的度數，根據翻折變換的性質得出∠BEA的度數，根據直角三角形的性質即可得出結論；（3）同（2）的證明過程即可．（1）解：由題意知ADBC，∠B=90°，又∠BEA＝35°，∴∠BAE=55°，∵翻折，∴∠FAE=∠BAE=55°，∵ADBC，∴∠EAD=∠BEA=35°．∴∠FAD=∠FAE-∠EAD=20°故答案為：20°；（2）解∶如圖2，∵ADBC，∠CBD=25°，∴∠ADB=25°．∵AFBD，∴∠FAD=25°，∴∠AGF=90°