大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2025年秋季學(xué)期期中考試試題卷（含答案詳解）

大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2025年秋季學(xué)期期中考試試題卷（含答案詳解）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則P{X≥0}=_________。A.0.5B.0.3C.0.7D.0.22.設(shè)隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），且μ=0，σ=1，則P{|X|≤1}=_________。A.0.6826B.0.9544C.0.9973D.0.99873.設(shè)隨機(jī)變量X～B（n，p），則E（X）=_________。A.npB.np(1-p)C.np2D.np(1-p)24.設(shè)隨機(jī)變量X～P（λ），則E（X）=_________。A.1/λB.λC.1/λ2D.λ25.設(shè)隨機(jī)變量X～U（a，b），則E（X）=_________。A.(a+b)/2B.(a-b)/2C.b/2D.a/26.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X～N（μ?，σ?2），Y～N（μ?，σ?2），則E（X+Y）=_________。A.μ?+μ?B.μ?-μ?C.μ?/2+μ?/2D.μ?/2-μ?/27.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X～E（λ），Y～E（λ），則E（XY）=_________。A.1/λB.λC.1/λ2D.λ28.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X～U（a，b），Y～U（a，b），則E（X+Y）=_________。A.(a+b)/2B.(a-b)/2C.b/2D.a/29.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X～N（μ?，σ?2），Y～N（μ?，σ?2），則D（X+Y）=_________。A.σ?2+σ?2B.σ?2-σ?2C.σ?2/2+σ?2/2D.σ?2/2-σ?2/210.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X～E（λ），Y～E（λ），則D（X+Y）=_________。A.1/λB.λC.1/λ2D.λ2二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）1.設(shè)隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則P{X≤μ}=_________。2.設(shè)隨機(jī)變量X～B（n，p），則P{X=k}=_________。3.設(shè)隨機(jī)變量X～P（λ），則P{X=k}=_________。4.設(shè)隨機(jī)變量X～U（a，b），則P{a≤X≤b}=_________。5.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X～N（μ?，σ?2），Y～N（μ?，σ?2），則P{|X-Y|≤k}=_________。三、解答題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）1.設(shè)隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），求P{μ-σ≤X≤μ+σ}。2.設(shè)隨機(jī)變量X～B（n，p），求E（X2）。3.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X～E（λ），Y～E（λ），求E（XY）。4.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X～U（a，b），Y～U（a，b），求D（X+Y）。5.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X～N（μ?，σ?2），Y～N（μ?，σ?2），求P{|X-Y|≤k}。四、計(jì)算題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1.設(shè)隨機(jī)變量X～N（0，1），求P{X2≤2}。2.設(shè)隨機(jī)變量X～B（10，0.4），求P{X≤3}。3.設(shè)隨機(jī)變量X～P（λ），其中λ=3，求P{X=3}。五、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題15分，共30分）1.某批產(chǎn)品的合格率為0.95，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10個(gè)進(jìn)行檢查，求：（1）恰好有8個(gè)合格產(chǎn)品的概率；（2）至多有7個(gè)合格產(chǎn)品的概率。2.某次考試的成績服從正態(tài)分布，平均分為70分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分，求：（1）成績?cè)?0分到80分之間的概率；（2）成績低于50分或高于90分的概率。六、證明題（本大題共1小題，共10分）證明：若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X與Y均服從同一分布，則E（XY）=E（X）E（Y）。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是對(duì)稱的，因此P{X≥0}等于P{X≤0}，即0.5。2.A解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的累積分布函數(shù)Φ(z)在z=1時(shí)的值為0.8413，因此P{|X|≤1}=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1=2*0.8413-1=0.6826。3.A解析：二項(xiàng)分布的期望值E(X)=np。4.B解析：泊松分布的期望值E(X)=λ。5.A解析：均勻分布的期望值E(X)=(a+b)/2。6.A解析：獨(dú)立隨機(jī)變量的期望值之和等于各自期望值之和。7.B解析：獨(dú)立隨機(jī)變量的期望值之積等于各自期望值之積。8.A解析：獨(dú)立隨機(jī)變量的期望值之和等于各自期望值之和。9.A解析：獨(dú)立隨機(jī)變量的方差之和等于各自方差之和。10.B解析：獨(dú)立隨機(jī)變量的方差之和等于各自方差之和。二、填空題1.0.5解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)Φ(z)在z=0時(shí)的值為0.5。2.C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)解析：二項(xiàng)分布的概率質(zhì)量函數(shù)。3.P(X=k)=λ^k*e^(-λ)/k!解析：泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)。4.1解析：均勻分布的概率密度函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的積分為1。5.Φ((μ?-μ?)/√(σ?2+σ?2))-Φ(-(μ?-μ?)/√(σ?2+σ?2))解析：正態(tài)分布的累積分布函數(shù)用于計(jì)算兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)分布隨機(jī)變量差的概率。三、解答題1.解析：P{μ-σ≤X≤μ+σ}=Φ(σ)-Φ(-σ)=2Φ(σ)-1。2.解析：E(X2)=np(1-p)+np2。3.解析：E(XY)=E(X)E(Y)=λ2。4.解析：D(X+Y)=D(X)+D(Y)=λ+λ=2λ。5.解析：P{|X-Y|≤k}=Φ((μ?-μ?+k)/√(σ?2+σ?2))-Φ(-(μ?-μ?+k)/√(σ?2+σ?2))。四、計(jì)算題1.解析：P{X2≤2}=Φ(√2)-Φ(-√2)=2Φ(√2)-1。2.解析：P{X≤3}=C(10,0)*0.4^0*0.6^10+C(10,1)*0.4^1*0.6^9+C(10,2)*0.4^2*0.6^8。3.解析：P{X=3}=3^3*e^(-3)/3!。五、應(yīng)用題1.解析：（1）P{X=8}=C(10,8)*0.95^8*0.05^2。（2）P{X≤7}=P{X=0}+P{X=1}+...+P{X=7}。2.解析：（1）P{60≤X≤80}=Φ((80-70)/10)-Φ((60-70)/10)。