第06講 有理數(shù)的乘法與除法-蘇科版新七年級《數(shù)學》小升初自學課提升講義

PAGE1第06講 有理數(shù)的乘法與除法內(nèi)容導航——預習三步曲第一步：主動學析教材學知識：教材精講精析，全方位預習講典例練習題：教材習題學解題，快速掌握解題方法練考點強知識：四大核心考點八種常考題型精準練第二步：用心記串知識識框架：學習目標復核內(nèi)容掌握，思維導圖助力掌握知識脈絡，理清知識之間的聯(lián)系第三步：限時測過關測穩(wěn)提升：過關檢測效果好，查漏補缺練考點知識點1：有理數(shù)的乘法法則有理數(shù)的乘法法則：（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（2）任何數(shù)同0相乘，都得0．名師點撥：（1）不為0的兩數(shù)相乘，先定符號，再把絕對值相乘．（2）當乘數(shù)中有負數(shù)時，必須用括號括起來：如5與-3的乘積，應列為5×(-3)，不應該寫成5×-3．有理數(shù)的乘法法則的推廣：（乘法的符號法則）（1）幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定．當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)的個數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；（2）幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，那么積就等于0．名師點撥：（1）幾個不等于0的有理數(shù)相乘，先根據(jù)負因數(shù)的個數(shù)確定積的符號，然后把各因數(shù)的絕對值相乘；（2）幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，那么積就等于0．反之，如果積為0，那么至少有一個因數(shù)為0．有理數(shù)的乘法運算律：（1）乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，即：．（2）乘法結合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等．即：．（3）乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加．即：．名師點撥：（1）利用交換律時，要連同符號一起交換，符號也是乘數(shù)的一部分．（2）乘法運算律可推廣為：三個以上的有理數(shù)相乘，可以任意交換因數(shù)的位置，或者把其中的幾個因數(shù)相乘．（3）運用運算律的目的是“簡化運算”，運算是恒等變形，可以從前到后，也可以從后到前，也就是可以正用，也可以逆用．知識點2：倒數(shù)的概念倒數(shù)的概念：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)．名師點撥：（1）“互為倒數(shù)”的兩個數(shù)是一種關系，必須成對出現(xiàn).如-2的倒數(shù)是，不能說是倒數(shù)；（2）0和任何數(shù)相乘都不等于1，因此0沒有倒數(shù)；（3）互為倒數(shù)的兩個數(shù)必定同號(同為正數(shù)或同為負數(shù))因此，正數(shù)的倒數(shù)必定還是正數(shù)；負數(shù)的倒數(shù)必定還是負數(shù)．知識點3：有理數(shù)的除法法則有理數(shù)除法法則：（1）法則1：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，即。（2）法則2：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.名師點撥：（1）0不能當除數(shù)；（2）法則二與有理數(shù)乘法法則相似，兩數(shù)相除時先確定商的符號，再確定商的絕對值．知識點4：有理數(shù)的乘除混合運算1.由于乘除是同一級運算，應按從左往右的順序計算，一般先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后算出結果．2.有理數(shù)的加減乘除混合運算有理數(shù)的加減乘除混合運算，如無括號，則按照“先乘除，后加減”的順序進行，如有括號，則先算括號里面的．教材習題第47頁練習第1（3）題計算：解題方法指導解法一：利用乘法分配率計算；解法二：先計算括號內(nèi)的，直接通分計算?！痉治觥拷夥ㄒ唬豪贸朔ǚ峙渎视嬎悖稽c撥：乘法分配率看似簡單，其實書寫過程較多，符號較多容易弄錯。解法二：先計算括號內(nèi)的，直接通分計算點撥：使用分配率計算，書寫過程較少，適合對通分比較熟悉的同學使用。教材習題第51頁練習第2題第（3）題計算：解題方法指導1.嚴格按照混合運算的運算順序計算；2.不能隨意約分；【分析】錯誤解法提醒正確解法：題型1 根據(jù)有理數(shù)乘法法則計算1．計算：(1)； (2)．【答案】(1) (2)【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法，兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進行計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．2．計算：(1)； (2)；(3)； (4)．【答案】(1) (2) (3) (4)【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法運算，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的乘法運算法則．（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則求解即可；（2）先將帶分數(shù)化為假分數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則求解即可；（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則求解即可；（4）先將帶分數(shù)化為假分數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則求解即可．【詳解】（1）解：（2）（3）（4）3．計算：(1)； (2)；(3)； (4)．【答案】(1) (2) (3) (4)【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)乘法運算法則是解題的關鍵，運算中注意符號的變換．（1）先確定符號，再根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則計算即可；（2）先確定符號，再根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則計算即可；（3）根據(jù)0乘以任何數(shù)都是0，即可求解；（4）先確定符號，再根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則計算即可；．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．4．計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1) (2) (3)【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法，熟練掌握乘法法則是解題的關鍵．(1)根據(jù)兩數(shù)相乘，異號得負，先確定符號，再把絕對值相乘即可；（2）據(jù)兩數(shù)相乘，同號得正，先確定符號，再把絕對值相乘即可；（3）據(jù)兩數(shù)相乘，同號得正，先確定符號，再把絕對值相乘即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．5．計算：(1)； (2)；(3)； (4)．【答案】(1) (2) (3) (4)【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算【分析】利用有理數(shù)的乘法法則，熟練掌握有理數(shù)乘法法則是解題的關鍵；（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，同號相乘得正，異號相乘得負，計算即可求解；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，同號相乘得正，異號相乘得負，計算即可求解；（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，任何數(shù)與相乘都得，計算即可求解；（4）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，同號相乘得正，異號相乘得負，計算即可求解；【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：題型2 利用乘法運算律簡便計算1．計算：．【答案】14【知識點】有理數(shù)乘法運算律【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是掌握運算法則和運算順序．利用有理數(shù)的乘法分配律求解即可．【詳解】原式．2．下面是樂樂同學進行有理數(shù)運算的過程，請認真閱讀并完成相應任務．解：第一步第二步第三步．第四步任務：(1)填空：①以上運算步驟中，第一步依據(jù)的運算律是；②第步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是．(2)請直接寫出正確的計算結果．【答案】(1)①乘法分配律；②二，計算時符號出現(xiàn)錯誤(2)【知識點】有理數(shù)乘法運算律、有理數(shù)四則混合運算【分析】本題考查有理數(shù)的乘法、乘法分配律，利用乘法分配律簡便運算是解答的關鍵．（1）①利用乘法分配律可得答案；②根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則判斷即可；（2）根據(jù)乘法分配律和有理數(shù)的乘法和加減運算法則求解即可．【詳解】（1）解：①在所給運算步驟中，第一步依據(jù)的運算律是乘法分配律；②第二步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是計算時符號出現(xiàn)錯誤，故答案為：①乘法分配律；②二，計算時符號出現(xiàn)錯誤；（2）解：．3．計算：能用簡算的用簡算(1)； (2)．【答案】(1) (2)【知識點】有理數(shù)乘法運算律【分析】本題考查乘法分配律，掌握運算法則是解題的關鍵．（1）利用乘法分分配律的逆運算進先計算解答即可；（2）把原式化為，然后運用乘法分配律解題即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．4．學習有理數(shù)的乘法后，老師給同學們這樣兩道題目：計算：（1）．（2）．有兩位同學的解法如下：（1）．（2）．請參考上述解法，計算下列兩題：(1)．(2)．【答案】(1)(2)2025【知識點】有理數(shù)乘法運算律【分析】本題考查有理數(shù)的乘法運算律：（1）仿照第一位同學的解法解答；（2）仿照第二位同學的解法解答．【詳解】（1）解：原式；（2）原式．5．老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程，隨后用白紙“”遮蓋了其中部分算式．計算：解：原式＝…(1)直接寫出白紙“”遮蓋的算式，并求出這部分算式的結果；(2)請參考黑板上的解法，并用這種方法計算：．【答案】(1)，(2)【知識點】有理數(shù)乘法運算律【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．（1）根據(jù)乘法分配律即可求得答案；（2）利用乘法分配律計算即可．【詳解】（1）解：由題意可得遮蓋的算式為：，則；（2）解：原式．題型3 根據(jù)有理數(shù)除法法則計算1．計算：(1)； (2)．【答案】(1) (2)【知識點】有理數(shù)的除法運算【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法運算，熟練掌握有理數(shù)除法運算法則，是解題的關鍵．（1）先變除法為乘法，然后進行計算即可；（2）先變除法為乘法，然后再進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．2．計算：(1)； (2)； (3)．【答案】(1) (2)0 (3)【知識點】有理數(shù)的除法運算【分析】本題主要考查有理數(shù)的除法，掌握有理數(shù)除法的運算法則是解題的關鍵．（1）將除法化為乘法，再計算即可；（2）根據(jù)0除任何數(shù)都等于0，計算即可；（3）根據(jù)有理數(shù)除法的運算法則計算即可．【詳解】（1）．（2）．（3）．3．計算：(1)； (2)．【答案】(1) (2)【知識點】有理數(shù)的除法運算【分析】本題考查了有理數(shù)的除法運算，掌握運算法則是解題的關鍵．（1）按照除法運算法則計算；（2）按照除法運算法則計算．【詳解】（1）解：；（2）解：．4．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)5 (2) (3) (4)36【知識點】有理數(shù)的除法運算【分析】本題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握有理數(shù)除法計算法則是解答本題的關鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)除法法則，兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；（2）根據(jù)有理數(shù)除法法則，除以一個不等于0的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，即可解答；（3）根據(jù)有理數(shù)除法法則，兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；（4）根據(jù)有理數(shù)除法法則，除以一個不等于0的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，即可解答；【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．5．計算：(1)； (2)；(3)； (4)．【答案】(1) (2) (3) (4)【知識點】有理數(shù)的除法運算【分析】本題考查有理數(shù)的除法運算．根據(jù)有理數(shù)的除法運算法則，先確定結果符號，再計算數(shù)值．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．題型4 有理數(shù)的乘除混合運算1．計算：【答案】【知識點】有理數(shù)乘除混合運算【分析】本題考查有理數(shù)的乘除混合運算，解題的關鍵是將帶分數(shù)化為假分數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)乘除法運算法則，從左到右依次進行計算．將帶分數(shù)化為假分數(shù)，按照從左到右的順序進行乘除運算．【詳解】解：原式．2．計算：．【答案】【知識點】有理數(shù)乘除混合運算【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘除法混合計算，先計算乘法，再計算除法即可得到答案．【詳解】解：．3．計算．(1)；(2)．【答案】(1) (2)【知識點】有理數(shù)乘除混合運算【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法和有理數(shù)的除法，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的乘法和除法法則．（1）利用有理數(shù)的乘法和除法法則計算即可．（2）利用有理數(shù)的乘法和除法法則計算即可．【詳解】（1）解：（2）解：4．計算：．【答案】【知識點】有理數(shù)乘除混合運算【分析】本題考查有理數(shù)的乘除混合運算，除法變乘法，約分化簡即可．【詳解】解：原式．5．下面是小虎同學的計算；＝……第①步＝……第②步＝……第③步(1)請指出第步錯誤(2)寫出正確的解答過程．【答案】(1)①(2)正確過程見解析【知識點】有理數(shù)乘除混合運算【分析】本題考查有理數(shù)的乘除混合運算：（1）同級運算，從左到右依次運算，故第①步出現(xiàn)錯誤；（2）除法變乘法，約分化簡進行計算即可．【詳解】（1）解：同級運算，從左到右依次運算，故第①步出現(xiàn)錯誤；故答案為：①（2）解：．題型5 有理數(shù)運算的規(guī)律探究問題1．（1）觀察圖1中的規(guī)律，求出圖2中各字母的值；（2）求圖2比圖1中6個數(shù)的平均數(shù)大多少？【答案】（1），，；（2）【知識點】有理數(shù)的加減混合運算、有理數(shù)四則混合運算【分析】本題考查了有理數(shù)的四則運算的應用，掌握有理數(shù)的運算法則是關鍵．（1）由，，，再總結可得規(guī)律即可確定字母的值；（2）根據(jù)（1）中規(guī)律可得：，，，再進一步計算即可．【詳解】解：（1）根據(jù)表格可知，，，，圖1中的規(guī)律為：兩肩上的數(shù)字和等于頭的數(shù)字；根據(jù)規(guī)律補可得：，，，（2）圖2的6個數(shù)的平均數(shù)為：，圖1的6個數(shù)的平均數(shù)為：，，圖2比圖1中6個數(shù)的平均數(shù)大．2．觀察下列各式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；……(1)根據(jù)上述規(guī)律寫出第5個等式：；(2)第n個等式：；（用含n的式子表示）(3)計算：．【答案】(1)(2)(3)【知識點】有理數(shù)的加減混合運算、兩個有理數(shù)的乘法運算、多個有理數(shù)的乘法運算【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法運算，（1）根據(jù)題干，模仿寫出第5個等式，即可作答；（2）由（1）以及題干條件，即得第n個等式：；（3）由（2）的結論，先化簡再運算，即可作答，掌握第n個等式：是解題的關鍵．【詳解】（1）解：依題意，第5個等式：；（2）解：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；……故第n個等式：；（3）解：由（2）知第n個等式：；則3．觀察下列等式：①，②，③，④，…(1)根據(jù)上述規(guī)律，請寫出第⑤個等式：__________________；(2)按此規(guī)律計算①；②．【答案】(1)(2)①306；②468．【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算【分析】（1）仿照已知等式，得出規(guī)律，寫出第⑤個等式即可；（2）利用得出的規(guī)律計算各式即可．【詳解】（1）解：第⑤個等式：；故答案為：；（2）解：①；②．【點睛】本題主要考查了對數(shù)字變化規(guī)律的考查，有理數(shù)的乘法，熟練掌握運算規(guī)律是解此題的關鍵．4．計算．聯(lián)系這類具體的數(shù)的除法，你認為下列式子是否成立（a，b是有理數(shù)，）？從它們可以總結什么規(guī)律？（1）；

（2）．【答案】見解析．【知識點】有理數(shù)的除法運算【分析】先計算前面除法的結果，根據(jù)結果判斷（1）（2），并總結規(guī)律．【詳解】，，（1）（2）中的式子都成立由此可以總結出：分子，分母以及分數(shù)這三者中的符號，改變其中兩個，分數(shù)的值不變．【點睛】本題考查了有理數(shù)的除法，根據(jù)前面的算式總結出規(guī)律，是解決本題的關鍵．5．觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：……請解答下列問題：(1)按以上規(guī)律列出第個等式：；(2)用含有的式子表示第個等式：（為正整數(shù)）；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索、有理數(shù)乘法運算律【分析】（1）根據(jù)上述等式，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，即可求出第五個等式；（2）根據(jù)（1）得到的規(guī)律，即可；（3）根據(jù)（1）得到的等式規(guī)律，得到，，，，然后根據(jù)有理數(shù)的加法運算法則，計算，即可．【詳解】（1）∵第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：∴第個等式：∴第五個等式為：∴．（2）由（1）得，第個等式：∴．（3）∵……∴．題型6 有理數(shù)的新定義問題1．定義：對于任意的有理數(shù)，．(1)探究性質(zhì)：①例：_____；_____②你還可試幾個看看，請用含，的式子表示出的一般規(guī)律：當時，_____當時，_____．(2)性質(zhì)應用：①運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求的值：②將，，，……，，，這個連續(xù)的整數(shù)，任意分為組，每組兩個數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個數(shù)中任一數(shù)值記作，另一個記作，求出，組數(shù)代入后可求得個的值，則這個值的和的最小值是_____．【答案】(1)①；；②；(2)①；②【知識點】絕對值的幾何意義、有理數(shù)的加減混合運算、兩個有理數(shù)的乘法運算【分析】本題考查了絕對值、有理數(shù)的加減混合運算，解題的關鍵是掌握新定義，把所給代數(shù)式化簡，找到新定義的運算規(guī)律，利用規(guī)律進行求解．（1）①根據(jù)定義即可求解；②舉例，，通過與以上幾個比較，可以發(fā)現(xiàn)該運算是用來求大小不同的兩個有理數(shù)的最大值；（2）①直接利用規(guī)律進行求解；②由已知可知：要使這個的值的和最小，則個負數(shù)要保留最多且它們的和最小，個非負數(shù)要保留最少且它們的和最小，而兩個有理數(shù)進行已知新定義的運算，結果總是兩個數(shù)中較大的，從而得到：這個負數(shù)保留的個的值且使它們的和最小應該為：、、、、，個非負數(shù)保留個的值且使它們的和最小應該是：、、、、，從而得出結論．【詳解】（1）解：①，，，故答案為：；．②例如：，，通過以上例子發(fā)現(xiàn)，該運算是用來求大小不同的兩個有理數(shù)的最大值，用a，b的式子表示出一般規(guī)律為．故答案為：；．（2）解：①；②將，，，……，，，這個連續(xù)的整數(shù)，任意分為組，每組兩個數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個數(shù)中任一數(shù)值記作，另一個記作，求出，組數(shù)代入后可求得個的值，要使這個的值的和最小，則個負數(shù)要保留最多且它們的和最小，個非負數(shù)要保留最少且它們的和最小，而兩個有理數(shù)進行已知新定義的運算，結果總是兩個數(shù)中較大的，這個負數(shù)保留的個的值且使它們的和最小應該為：、、、、，個非負數(shù)保留個的值且使它們的和最小應該是：、、、、，這個值的和的最小值是，故答案為：．2．已知x，y為有理數(shù)，規(guī)定一種新的運算，．(1)求的值；(2)求的值；(3)任意選取兩個有理數(shù)(至少有一個為負數(shù))分別填入與的與內(nèi)，并比較兩個運算結果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(4)設a，b，c為有理數(shù)，討論與的關系，并用式子把它表示出來．【答案】(1)9(2)1(3)見解析(4)【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，本題是新定義型，理解并熟練應用新定義是解題的關鍵．(1)利用新定義進行運算即可；(2)利用新定義先運算小括號內(nèi)的再進行運算即可；(3)按要求選擇兩個數(shù)，依據(jù)新定義運算，最后比較兩個結果即可；(4)分別利用新定義計算兩個算式，通過比較結果即可得出結論．【詳解】（1）解：．（2）解：，．（3）解：如：選5和．(答案不唯一)，，發(fā)現(xiàn)運算結果相等，即．（4）解：，，所以．3．探究規(guī)律，完成相關題目：小明說：“我定義了一種新的運算，叫（加乘）運算；”然后他寫出了一些按照（加乘）運算的運算法則進行運算的算式：；；；；；；；；；．小亮看了這些算式后說：“我知道你定義的（加乘）運算的運算法則了．”聰明的你也明白了嗎？(1)觀察以上式子，類比計算：①______；②______；(2)______；（括號的作用與它在有理數(shù)運算中的作用一致）(3)若，計算：的值．【答案】(1)，(2)(3)【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算、有理數(shù)的加減混合運算【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運算：（1）（加乘）運算的法則為：兩數(shù)同號，結果為正數(shù)，并把絕對值相加；兩數(shù)異號，結果為負數(shù)，并把絕對值相加；兩數(shù)中至少一個為，結果為正數(shù)，并把絕對值相加；（2）根據(jù)（加乘）運算的法則計算即可；（3）可知，，原式，進而即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意可知，（加乘）運算的法則為：兩數(shù)同號，結果為正數(shù)，并把絕對值相加；兩數(shù)異號，結果為負數(shù)，并把絕對值相加；兩數(shù)中至少一個為，結果為正數(shù)，并把絕對值相加．，故答案為：，（2）原式故答案為：（3）根據(jù)題意可知，，即，原式4．閱讀材料，探究規(guī)律，完成下列問題．甲同學說：“我定義了一種新的運算，叫*（加乘）運算．“然后他寫出了一些按照*（加乘）運算的運算法則進行運算的算式：；；；；；．乙同學看了這些算式后說：“我知道你定義的*（加乘）運算的運算法則了．”聰明的你也明白了嗎？(1)請你根據(jù)甲同學定義的*（加乘）運算的運算法則，計算下列式子：；；．(2)請你嘗試歸納甲同學定義的*（加乘）運算的運算法則：兩數(shù)進行*（加乘）運算時，．特別地，0和任何數(shù)進行*（加乘）運算，．(3)我們知道有理數(shù)的加法滿足交換律和結合律，這兩種運算律在甲同學定義的*（加乘）運算中還適用嗎？例如：所以故加法的交換律仍然適用．那么加法的結合律在*（加乘）運算中是否適用（填“適用”或“不適用”）【答案】(1)；；5(2)同號為正，異號為負，并把絕對值相加；結果是這個數(shù)的絕對值(3)不適用【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算、有理數(shù)乘法運算律【分析】（1）參照示例，運算求解；（2）根據(jù)示例，分符號和絕對值兩部分總結法則；（3）根據(jù)運算，舉例驗證說明．【詳解】（1）解：；；．（2）解：兩數(shù)進行*（加乘）運算時，同號為正，異號為負，并把絕對值相加；特別地，0和任何數(shù)進行*（加乘）運算，結果是這個數(shù)的絕對值；（3）解：不適用，舉例說明：如，∴∴加法的結合律在*（加乘）運算中不適用．【點睛】本題考查有理數(shù)的運算，新定義運算；轉(zhuǎn)化思想是解決問題的關鍵．5．探究規(guī)律，完成相關題目．定義“*”運算：；；；；；；．(1)計算：①②(2)歸納*運算的法則（文字語言或符號語言均可）：兩數(shù)進行*運算時，_____________；特別地，0和任何數(shù)進行*運算，或任何數(shù)和0進行*運算，___________．(3)是否存在整數(shù)m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)同號得正，異號得負，并把兩數(shù)的平方相加；等于這個數(shù)的平方；(3)1或5【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算【分析】（1）根據(jù)示例，參照求解；（2）根據(jù)示例，參照有理數(shù)乘法法則歸納；（3）由題知，與異號，，得或，求得參數(shù)值，代入代數(shù)式求值．【詳解】（1）解：①；②；（2）解：兩數(shù)進行*運算時，同號得正，異號得負，并把兩數(shù)的平方相加；特別地，0和任何數(shù)進行*運算，或任何數(shù)和0進行*運算，等于這個數(shù)的平方；（3）解：∵，∴與異號，．∵m，n是整數(shù)，∴或．∴或．∴或．【點睛】本題考查有理數(shù)的運算，新定義運算；理解新定義是解題的關鍵．題型7 有理數(shù)乘法的實際應用1．出租車往返于A，B兩個城市，A市在B市的正北方向，在A，B兩城市沿線有若干個村莊．某天出租車從A市出發(fā)前往B市，再從B市返回A市，規(guī)定向北行駛為正．出租車當天行駛的記錄如下（單位：千米）：，，，，，，，．(1)通過計算，說明出租車離A市多遠？(2)在A，B兩個城市之間距A市6千米處有一個加油站，該出租車經(jīng)過加油站________次；(3)若出租車每行駛1千米耗油0.07升，則該出租車一天共耗油多少升？【答案】(1)4千米(2)6(3)升【知識點】有理數(shù)加減混合運算的應用、有理數(shù)乘法的實際應用、正負數(shù)的實際應用【分析】此題考查了正負數(shù)的實際應用，有理數(shù)的運算的實際應用，解題的關鍵是正確列式．（1）將出租車當天行駛的記錄相加即可求解；（2）根據(jù)出租車當天行駛的記錄結合在A，B兩個城市之間距A市6千米處有一個加油站求解即可；（3）首先求出行駛的總路程，然后乘以1千米耗油量即可求解．【詳解】（1）（千米）∴說明出租車離A市多遠4千米；（2）∵出租車從A市出發(fā)前往B市，規(guī)定向北行駛為正∴向南行駛為負∴由可得，當出租車向南行駛8千米時，第一次經(jīng)過加油站；∵∴此時離A市南邊1千米，故第二次經(jīng)過加油站；∵∴此時離A市南邊10千米，故第三次經(jīng)過加油站；∵∴此時離A市南邊4千米，故第四次經(jīng)過加油站；∴此時離A市南邊17千米，故第五次經(jīng)過加油站；∴此時離A市南邊4千米，故第六次經(jīng)過加油站；綜上所述，出租車經(jīng)過加油站6次；（3）（升）∴該出租車一天共耗油升．2．嘉嘉參加社會實踐活動，按要求制作正方形木板，嘉嘉先制作了4塊，木工師傅測量了邊長，并記錄了測量結果，如圖所示（單位：），超過規(guī)定尺寸的記為正數(shù)，不足規(guī)定尺寸的記為負數(shù)，符合規(guī)定尺寸的記為“0”．(1)通過列式，求這4塊正方形木板中，最大塊的邊長比最小塊多多少．(2)將符合規(guī)定尺寸的計為10分，不符合的不予計分，并依據(jù)測量結果執(zhí)行扣分（每超過扣1分，每不足扣3分）．①嘉嘉制作的這4塊正方形木板，可得多少分？②后來嘉嘉又制作了2塊正方形木板，這6塊共得了22分，直接寫出后來制作的2塊的測量結果．【答案】(1)(2)①14分；②有1塊合格的正方形木板和1塊超過規(guī)定尺寸的正方形木板【知識點】有理數(shù)減法的實際應用、有理數(shù)乘法的實際應用【分析】本題主要考查了有理數(shù)的運算，熟練掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關鍵．（1）由題意得到，即可得到答案；（2）①根據(jù)題意列出計算式進行計算即可；②原4塊正方形木板得14分，現(xiàn)6塊正方形木板得22分，故相差8分，即可得到答案．【詳解】（1）解：．故最大塊的邊長比最小塊多．（2）解：①（分）；②解：原4塊正方形木板得14分，現(xiàn)6塊正方形木板得22分，故相差8分，有1塊合格的正方形木板和1塊超過規(guī)定尺寸的正方形木板．3．小明開車從家出發(fā)，在東西走向的道路上行駛，規(guī)定向東為正，向西為負，從出發(fā)到停車，行駛的路程記錄如下（單位：千米）；，，，，，．(1)停車時，小明在家的哪邊？距離多遠？(2)汽車在行駛過程中，若每行駛千米耗油0.1升，則汽車共耗油多少升？【答案】(1)東邊，9千米(2)升．【知識點】有理數(shù)加法在生活中的應用、有理數(shù)加減混合運算的應用、正負數(shù)的實際應用、有理數(shù)乘法的實際應用【分析】本題主要考查數(shù)軸與正數(shù)，負數(shù)的知識，解題的關鍵是熟練掌握有理數(shù)的加法運算．（1）利用有理數(shù)的加法即可得解；（2）先求出小明開車的總過程，把這些行駛的路程的絕對值相加，再利用有理數(shù)的乘法即可求解．【詳解】（1）解：由題意，得：千米．答：小明停車時，小明在家的東邊，距離家千米．（2）解：千米，升，答：汽車共耗油升．4．某出租車一天下午某時間段以廣場為出發(fā)點，在東西方向的大道上營運，規(guī)定向東為正，向西為負，單次行車里程依先后順序記錄如下：，，，，，，，單位：(1)該出租車司機將最后一名乘客送到目的地后，出租車在廣場的什么方向？距廣場多遠？(2)若每千米耗油升，該出租車這個時間段共耗油多少升？【答案】(1)東面，；(2)升．【知識點】有理數(shù)加減混合運算的應用、有理數(shù)乘法的實際應用、正負數(shù)的實際應用、絕對值的幾何意義【分析】本題主要考查正負數(shù)，有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵，需要注意第二問中的總路程是所有路程的絕對值的和（1）把一天走的路程相加，再根據(jù)有理數(shù)加減混合運算的法則計算，若計算結果是正數(shù)，則是在廣場向東；若是負數(shù)，則是在廣場向西；等于0，則是回到廣場；（2）求出這一組數(shù)據(jù)的絕對值的和，再乘每千米耗油量即可．【詳解】（1）解：．答：出租車在廣場的東面，距廣場；（2）升，答：該出租車這個時間段共耗油升．5．股民曹先生上星期五買進某公司股票1000股，每股31元，下表為本周每日該股票的漲跌情況（單位：元）．星期一二三四五每股漲跌注：正數(shù)表示比前一天上漲，負數(shù)表示比前一天下跌．(1)星期三收盤時，每股是多少元？（列式計算）(2)本周內(nèi)最高股價是每股多少元？最低價是每股多少元？(3)如果曹先生在星期五收盤前將全部股票賣出，他的收益情況如何？【答案】(1)周三收盤時股價為元(2)本周內(nèi)最高股價是每股元，最低價是每股元(3)如果曹先生在星期五收盤前將全部股票賣出他的收益元【知識點】有理數(shù)加減混合運算的應用、有理數(shù)乘法的實際應用【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，以及正負數(shù)表示一對具有相反意義的量，解題關鍵在于認真的閱讀題目，分析題意，認真的進行計算．（1）根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案；（2）根據(jù)有理數(shù)的加法，有理數(shù)的大小比較，可得答案；（3）分別求出賣出時的受益，買進的費用即可解決問題；【詳解】（1）解：周三收盤時股價為：(元)．答：周三收盤時股價為元；（2）解：周一股價為：(元)；周二股價為：(元)；周三股價為：(元)；周四股價為：(元)∶周五股價為：(元)；答：本周內(nèi)最高股價是每股元，最低價是每股元；（3）解：根據(jù)題意得∶（元）答：如果曹先生在星期五收盤前將全部股票賣出他的收益元．題型8 有理數(shù)乘法除法的實際應用1．乒乓球，被稱為“國球”，在中華大地有著深厚的群眾基礎．2000年2月23日，國際乒乓球大會決定從2000年10月1日起，乒乓球比賽將使用直徑、重量的大球，以取代的小球．某工廠按要求加工一批標準化的直徑為乒乓球，但是實際生產(chǎn)的乒乓球直徑可能會有一些偏差．隨機抽查檢驗該批加工的10個乒乓球直徑并記錄如下：，，，，，，，，，（“”表示超出標準；“”表示不足標準）．(1)其中偏差最大的乒乓球直徑是______；(2)抽查的這10個乒乓球中，最符合標準的乒乓球的直徑是______？(3)若誤差在“”以內(nèi)的球可以作為合格產(chǎn)品，誤差在“”以內(nèi)的球可以作為良好產(chǎn)品，這10個球的合格率是______；良好率是______．【答案】(1)(2)(3)，【知識點】正負數(shù)的實際應用、絕對值的幾何意義、有理數(shù)除法的應用【分析】此題考查了正數(shù)和負數(shù)的意義，解題的關鍵是理解正和負的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．（1）根據(jù)題意列式計算即可；（2）根據(jù)絕對值的定義即可得到結論；（3）根據(jù)誤差在“”以內(nèi)的球可以作為合格產(chǎn)品，誤差在“”以內(nèi)的球可以作為良好產(chǎn)品分別占總數(shù)的百分比，即可求解．【詳解】（1）解：其中偏差最大的乒乓球的直徑是；（2）解：∵，，，，，，，，，中絕對值最小的是，∴抽查的這10個乒乓球中，最符合標準的乒乓球的直徑是；（3）解：∵，，，，，，，，，，誤差在“”以內(nèi)的球可以作為合格產(chǎn)品，∴合格的有，，，，，，，這些球的合格率是；∵誤差在“”以內(nèi)的球可以作為良好產(chǎn)品，∴良好產(chǎn)品有，，，，，∴良好率為；2．近年來，全球的新能源汽車發(fā)展迅猛，尤其對于我國來說，新能源汽車產(chǎn)銷量都大幅增加．某汽車生產(chǎn)廠家去年前七個月的新能源汽車銷售數(shù)據(jù)記錄如下表，以每月銷售10萬輛為標準，多于10萬輛的部分記為“”，不足10萬輛的部分記為“”，剛好10萬輛的記為“0”．時間一月二月三月四月五月六月七月與標準數(shù)量的差值/萬輛

(1)該汽車生產(chǎn)廠家這七個月一共銷售了多少萬輛新能源汽車？(2)小明家購置的新能源汽車平均每千米耗電千瓦時，該汽車的電池容量為52千瓦時，目前汽車顯示還有的電量，小明的爸爸習慣在電量剩余時去充電，請計算該汽車充電前還能行駛多遠？【答案】(1)萬輛(2)【知識點】正負數(shù)的實際應用、有理數(shù)乘法的實際應用、有理數(shù)除法的應用【分析】本題考查正負數(shù)的實際應用，有理數(shù)混合運算的實際應用．理解題意，正確列出等式是解題關鍵．（1）先求出這七個月高于（或低于）10萬的標準所銷售的數(shù)量，再加上七個月按標準銷售的數(shù)量，即可求解；（2）求出的電量的里程即可．【詳解】（1）解：（萬輛）．答：該汽車生產(chǎn)廠家這七個月一共銷售了萬輛新能源汽車．（2）解：．答：該汽車充電前還能行駛．3．小明是一名喜歡跳繩的學生，剛升入七年級他就定下目標：每次跳繩測試一分鐘都要超過180個．以180個為標準，超過的個數(shù)記為正，不足的個數(shù)記為負，下表是他測試六次的成績：測試次數(shù)第一次第二次第三次第四次第五次第六次成績（個）0(1)在這六次跳繩測試中，小明的最高成績比最低成績高多少個？(2)請你幫小明算一算，他這六次跳繩測試的平均成績是多少個？【答案】(1)小明的最高成績比最低成績高18個(2)他這六次跳繩的平均成績是183個【知識點】正負數(shù)的實際應用、有理數(shù)除法的應用【分析】本題主要考查了正數(shù)和負數(shù)的實際應用，結合已知條件列得正確的算式是解題的關鍵．（1）根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的實際意義列式計算即可；（2）根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的實際意義列式計算即可．【詳解】（1）解：由表格知，小明六次測試成績的最大值為，最小值為，∴（個），∴小明的最高成績比最低成績高18個；（2）解：（個），∴他這六次跳繩的平均成績是183個．4．某地的氣象觀測資料表明，高度每增加，氣溫大約下降，該地地面溫度為．(1)求距地面高度處的溫度；(2)若高空某處氣溫為，求此處距地面的高度．【答案】(1)(2)【知識點】有理數(shù)乘法的實際應用、有理數(shù)除法的應用【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算的實際運用，解題的關鍵是求出溫度差；（1）根據(jù)高度每增加，氣溫大約下降，列式計算，即可解題；（2）根據(jù)題意得到溫度