專題11.1同底數(shù)冪的乘法冪的乘方（高效培優(yōu)講義）數(shù)學(xué)滬教版2024七年級上冊

專題11.1同底數(shù)冪的乘法冪的乘方教學(xué)目標(biāo)了解乘方及其有關(guān)概念；掌握同底數(shù)冪乘法的性質(zhì)及其逆用；知道冪的乘方性質(zhì)及其逆用。教學(xué)重難點1.重點（1）會利用同底數(shù)冪乘法的性質(zhì)、冪的乘方性質(zhì)進行運算；（2）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的性質(zhì)、冪的乘方性質(zhì)求值；（3）同底數(shù)冪乘法的性質(zhì)、冪的乘方性質(zhì)的綜合應(yīng)用。2.難點（1）理解冪有關(guān)的概念及其應(yīng)用；（2）同底數(shù)冪乘法的性質(zhì)、冪的乘方性質(zhì)的綜合應(yīng)用—比較冪的大小、尋求參數(shù)之間的關(guān)系等。知識點1同底數(shù)冪的乘法1.乘方我們知道，a·a·a表示三個a相乘，記作a3,叫作“a的立方”或“a的三次方”.一般地，將n個a相乘的運算叫作乘方，2.冪記作“an”,乘方的結(jié)果叫作冪.3.乘方有關(guān)的概念在an中，a叫作底數(shù)，正整數(shù)n叫作指數(shù).“an”讀作“a的n次方”,當(dāng)“an”被看作是a的n次方的結(jié)果時，也讀作“a的n次冪”.當(dāng)n=1時，我們規(guī)定：a1=a.4.同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)：am·an=am+n(m、n是正整數(shù)).同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.同底數(shù)冪的乘法運算，可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運算.要點：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是整式.（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質(zhì)，【即學(xué)即練】1．計算：【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則；（1）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加求解即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加求解即可；（3）先化為以x為底，再根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加求解即可；（4）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加求解即可．2．計算：【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同底數(shù)冪運算法則進行計算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪運算法則進行計算即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪運算法則進行計算即可；（4）根據(jù)同底數(shù)冪運算法則進行計算即可．3．計算：【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相加是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可得解；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可得解；（3）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可得解；（4）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可得解；（5）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可得解．4．可以寫成（

）【答案】C【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法的逆用，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可得解，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則是解此題的關(guān)鍵．故選：C．A．4 B．6 C．10 D．24【答案】D【分析】本題考查了同底數(shù)冪乘法的逆用，熟練掌握冪的運算法則是解題的關(guān)鍵．故選：．知識點2冪的乘方1．觀察(23)2=23×23=23+3=23×2;(a3)2=a3·a3=a3+3=a3×2;(am)2=am·am=am+m=a2m(m是正整數(shù)).一般地，設(shè)m、n是正整數(shù)，如何計算(am)n?事實上，（乘方的意義）（同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)）2.冪的乘方冪的乘方性質(zhì)：(am)n=amn(m、n是正整數(shù)).冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.冪的乘方運算，可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運算.要點：【即學(xué)即練】1．計算：【答案】(1)(2)【分析】題干主要考查冪的乘方運算，同底數(shù)冪的乘法運算，合并同類項，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．（1）先計算冪的乘方運算，然后計算同底數(shù)冪的乘法運算即可；（2）先計算冪的乘方運算，然后合并同類項即可．2．計算：【答案】(1)(2)(5)(6)【分析】（）利用冪的乘方運算法則計算即可；（）利用冪的乘方運算法則計算即可；（）利用冪的乘方運算法則計算即可；（）利用冪的乘方和同底數(shù)冪乘法的運算法則計算即可；（）利用冪的乘方和同底數(shù)冪乘法的運算法則計算即可；（）利用冪的乘方運算法則先運算，再合并同類項即可；本題考查了冪的乘方運算，同底數(shù)冪的乘法以及合并同類項，掌握冪的乘方運算法則是解題的關(guān)鍵．．A． B． C． D．【答案】C故選：C．【答案】(1)256(2)68【分析】本題考查了冪的運算的逆運算及同底數(shù)冪的乘法的逆運算，解題關(guān)鍵是熟練運用冪的運算的逆運算法則進行求解．（1）利用同底數(shù)冪相乘的逆運算，冪的乘方的逆運算計算即可；（2）利用冪乘方的逆運算計算即可．題型01同底數(shù)冪的乘法基礎(chǔ)辨析、填空【典例1】．（1）同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)，指數(shù)；（2）a2?（3）a?a4（4）a2?【答案】不變相加5根據(jù)同底數(shù)冪乘法的運算法則依次計算即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；故答案為：不變；相加；；；5．【答案】【分析】此題考查了同底數(shù)冪的乘法，根據(jù)法則計算即可．故答案為：．【變式2】．下列各項中，是同底數(shù)冪的是（）【答案】D【分析】本題考查了同底數(shù)冪的理解，根據(jù)定義計算判斷即可．【詳解】A項，與的底數(shù)分別是x與a，不是同底數(shù)冪；D項，與x的底數(shù)都是x，是同底數(shù)冪；故選D．【變式3】．下面的計算對不對？如果不對，怎樣改正？【答案】錯錯錯錯【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，合并同類項的法則逐項分析可得解.故答案為(1).錯

(2).

(3).錯

(4).

(5).錯

(6).

(7).錯

(8).【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，合并同類項，熟練掌握計算法則是解題關(guān)鍵.題型02同底數(shù)冪的乘法運算【典例1】．計算：【答案】(1)(2)(3)256【分析】本題考查了同底數(shù)冪相乘，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同底數(shù)冪乘法運算法則計算即可．（1）根據(jù)同底數(shù)冪相乘運算法則求解即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪相乘運算法則求解即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪相乘運算法則求解即可；（4）根據(jù)同底數(shù)冪相乘運算法則求解即可．A． B． C． D．【答案】B【分析】分別根據(jù)合并同類項法則以及同底數(shù)冪的乘法法則計算即可．合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．故選：B．【點睛】本題考查了合并同類項以及同底數(shù)冪的乘法，掌握相關(guān)運算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】．計算：【答案】(1)(2)【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加進行計算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加進行計算即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加進行計算即可；（4）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加進行計算即可；（5）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加進行計算即可．題型03根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運算求參數(shù)【答案】/【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法．根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則計算，即可求解．故答案為：A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C∴2+x4＝5，解得：x＝7，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，根據(jù)題意得出2+x4＝5，是解題的關(guān)鍵．【變式2】．若102×10m＝，則m＝．【答案】2015【詳解】因為102×10m＝102+m＝，所以2+m=2017，則m=2015，故答案為2015.題型04同底數(shù)冪乘法的逆用【典例1】．x3m＋1可以寫成(

)A．x3·x(m+1) B．x3＋x(m+1) C．x·x3m D．xm＋x(2m+1)【答案】C【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則求解．【詳解】x3m+1=x3m?x．故選C．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法的運算法則．【答案】B故選：B．A．6 B．8 C．5 D．9【答案】A【分析】題目主要考查同底數(shù)冪的乘法的逆運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵故選：A【答案】B【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的法則進行求解即可．故選：B．題型05冪的乘方運算性質(zhì)基礎(chǔ)填空【典例1】．填空題：（1）冪的乘方運算性質(zhì)：冪的乘方，底數(shù)，指數(shù)；【答案】不變相乘46103【分析】題目主要考查冪的乘方的運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)冪的乘方運算依次計算即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）冪的乘方運算性質(zhì)：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；故答案為：不變；相乘；；4；6；10；3【變式1】．填空：【答案】【分析】（）根據(jù)冪的乘方運算法則解答即可；（）根據(jù)冪的乘方的逆運算法則解答即可；（）根據(jù)冪的乘方運算法則解答即可；（）根據(jù)冪的乘方的逆運算法則解答即可；本題的考查了冪的乘方運算，掌握冪的乘方運算法則是解題的關(guān)鍵．故答案為：；故答案為：；故答案為：；故答案為：．題型06冪的乘方運算【典例1】．計算：【答案】(1)(3)(4)(6)【分析】本題考查冪的乘方，掌握冪的乘方運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘解題；（2）根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘解題；（3）根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘解題；（4）先運算冪的乘方，然后運算同底數(shù)冪的乘法解題；（5）根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘解題；（6）先運算冪的乘方，然后運算同底數(shù)冪的乘法解題．【變式1】．計算：(3)0【分析】本題主要考查了冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，合并同類項等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練準(zhǔn)確掌握各運算法則．（1）先進行冪的乘方運算，再進行同底數(shù)冪的乘法運算；（2）運用冪的乘方運算法則進行計算即可；（3）先進行冪的乘方運算，再進行同底數(shù)冪的乘法運算，最后進行合并同類項；（4）先進行冪的乘方運算，再進行合并同類項．；【變式2】．計算：【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先運算冪的乘方，然后利用同底數(shù)冪的乘法計算解題；（2）先運算冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法，然后合并同類項解題；（3）先運算冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法，然后合并同類項解題；（4）先運算冪的乘方，然后利用同底數(shù)冪的乘法計算解題；【點睛】本題考查冪的運算，掌握運算法則和運算順序是解題的關(guān)鍵．題型07冪的乘方性質(zhì)的逆用【答案】108【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則及冪的乘方法則逆應(yīng)用代入求解即可得到答案．【點睛】本題考查冪的運算，掌握同底數(shù)冪相乘底數(shù)不變指數(shù)相加；冪的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘是解題關(guān)鍵．【答案】B【分析】逆用同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方，進行計算即可．故選B．【點睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法的逆用，冪的乘方的逆用．熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則，冪的乘方法則，是解題的關(guān)鍵．A．100 B．50 C．25 D．4【答案】C【分析】根據(jù)冪的乘方的逆用，將底數(shù)為9的冪轉(zhuǎn)化為底數(shù)為3的冪，得到指數(shù)之間的關(guān)系，從而得出結(jié)果．故選C．【點睛】本題考查了冪的乘方的逆用，正確進行冪的乘方中底數(shù)的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．【答案】8【點睛】本題考查冪的運算，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法、冪的乘法的逆運算等運算法則是解題的關(guān)鍵．題型08比較冪的大小【典例1】．探究題：(2)利用上述規(guī)律，你能幫助小浦解決下列問題嗎？②比較，，的大小，并用“”號連接．【答案】(1)64；64；故答案為：64；64；；【點睛】本題考查冪的乘方運算的歸納及應(yīng)用，讀懂題意，理解冪的乘方運算法則的應(yīng)用是解決問題的關(guān)鍵．【答案】C故選C．嘗試應(yīng)用：試比較與的大?。畣栴}解決：(1)在嘗試應(yīng)用的解題過程中，第1步的思路是將底數(shù)和指數(shù)都不相同的兩個冪轉(zhuǎn)化化歸為_______；第2步的依據(jù)是_______．(2)請比較下面各組中兩個冪的大小：①與；②與．【答案】(1)指數(shù)相同的兩個冪；指數(shù)相同，底數(shù)大的冪大【分析】本題考查了冪的大小比較，熟練掌握比較大小的基本方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，先將底數(shù)和指數(shù)都不相同的兩個冪轉(zhuǎn)化化歸為指數(shù)相同的兩個冪；根據(jù)指數(shù)相同，底數(shù)大的冪大解答即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，先將底數(shù)和指數(shù)都不相同的兩個冪轉(zhuǎn)化化歸為指數(shù)相同的兩個冪；根據(jù)指數(shù)相同，底數(shù)大的冪大，故答案為：指數(shù)相同的兩個冪；指數(shù)相同，底數(shù)大的冪大．根據(jù)底數(shù)相同，指數(shù)大的冪大根據(jù)指數(shù)相同，底數(shù)大的冪大，題型09新定義題【答案】故答案為：．A．1 B． C． D．【答案】D故選：D．【點睛】本題考查新定義運算，同底數(shù)冪的乘法及冪的乘方的逆運算，解題的關(guān)鍵是仔細閱讀已知材料，找到關(guān)于運算的規(guī)律．【答案】32【分析】此題考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方等知識，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，故答案為：32．一、單選題A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則運算即可．故選擇C．【點睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，掌握同底數(shù)冪的乘法是解題關(guān)鍵．【答案】D【分析】同底數(shù)冪相乘底數(shù)不變，把指數(shù)3、5相加進行計算.故選：D.【點睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握計算法則即可.3．運算結(jié)果為的是（

）【答案】C【分析】本題考查了冪的相關(guān)運算：同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、合并同類項等知識，掌握它們是解題的關(guān)鍵；依照這些知識逐項計算即可作出判斷．故選：D．4．結(jié)果等于的有（）【答案】C【分析】本題考查了合并同類項，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方的運算，掌握整式的混合運算法則是關(guān)鍵．根據(jù)合并同類項，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方的運算法則計算即可．故選：C．5．下列等式中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題考查了合并同類項、冪的乘方、同底數(shù)冪相乘，根據(jù)合并同類項、冪的乘方、同底數(shù)冪相乘的運算法則逐項分析即可得解，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．綜上所述，正確的有1個，故選：A．【答案】B故選：B．【答案】C【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的乘法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相加．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變指數(shù)相加，可得答案．故選：C．A．128 B．32 C．96 D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了冪的乘方逆運算和同底數(shù)冪的乘法逆運算，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．故選：A．【答案】B故選：B．【答案】A【分析】本題考查了冪的乘方的逆用，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)冪的乘方的逆用展開再比較即可．故選A．二、填空題11．（1）；【答案】【分析】本題考查同底數(shù)冪的乘法，掌握同底數(shù)冪的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可．故答案為：；故答案為：．【答案】或或64；．【分析】（1）根據(jù)冪的乘方計算即可；（2）根據(jù)冪的乘方計算即可；（3）根據(jù)冪的乘方計算化為底數(shù)是3，也可按冪的乘方逆運算化為底數(shù)為27即可；（4）根據(jù)冪的乘方計算，再算負數(shù)的偶次冪即可；（5）根據(jù)冪的乘方計算，再算負數(shù)的偶次冪即可；（6）根據(jù)積的乘方，再算冪的乘方計算即可．故答案為（1）；（2）；（3）或；（4）或64；（5）；（6）．【點睛】本題考查積的乘方與冪的乘方，掌握積的乘方與冪的乘方法則是解題關(guān)鍵．【答案】【分析】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．直接利用同底數(shù)冪的乘法運算法則進而得出答案．故答案為：3．【答案】54故答案為：54．【答案】【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法及冪的乘方逆用．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則及冪的乘方法則解答即可．故答案為：．三、解答題17．計算：【答案】(1)(3)【分析】本題考查同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可；（4）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可；（5）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可；（6）先計算同底數(shù)冪的乘法，再合并同類項．18．計算：【答案】(1)(3)【分析】題目主要考查冪的乘方運算，同底數(shù)冪的乘法運算，合并同類項，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．（1）先計算冪的乘方的運算，然后計算同底數(shù)冪的乘法運算