2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)解析

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)TOC\o"12"\h\z\u題型1用不等式（組）表示不等關(guān)系 4題型2比較實(shí)數(shù)（式子）的大小 6題型3利用不等式的性質(zhì)比較大小 9題型4利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍 12題型5證明不等式 14題型6不等式的實(shí)際應(yīng)用問題 21基礎(chǔ)過關(guān)自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一不等關(guān)系與不等式1．不等關(guān)系與不等式(1)在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，用數(shù)學(xué)符號(hào)“”“”“”“”“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子叫做不等式.(2)用“”或“”連接的不等式叫嚴(yán)格不等式；用“”或“”連接的不等式叫非嚴(yán)格不等式.2．用不等式組表示不等關(guān)系當(dāng)問題情境中包含兩個(gè)或兩個(gè)以上的不等關(guān)系時(shí)，需要用不等式組來表示不等關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)二實(shí)數(shù)，大小的比較1．實(shí)數(shù)的特征(2)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小，反之，可以比較大小的數(shù)一定是實(shí)數(shù).2．實(shí)數(shù)大小比較的依據(jù)(1)在數(shù)軸上，不同的點(diǎn)與點(diǎn)分別表示兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)與，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大，則點(diǎn)，在數(shù)軸上的位置及實(shí)數(shù)與的大小關(guān)系如圖所示：(2)關(guān)于實(shí)數(shù)，大小的比較，有以下基本事實(shí)(也稱公理)：注：=1\*GB3①“?”符號(hào)的左邊反映的是實(shí)數(shù)的大小，右邊反映的則是實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，合起來就是實(shí)數(shù)的大小與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系.它是不等式這一章的理論基礎(chǔ)，也是不等式性質(zhì)的證明、證明不等式和解不等式的主要依據(jù).=2\*GB3②從上述基本事實(shí)可知，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與的大小.3．實(shí)數(shù)比較大小的基本方法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，基本方法有作差法、作商法、乘方法.作差法作商法乘方法依據(jù)應(yīng)用范圍多項(xiàng)式、分式、根式或?qū)?shù)式之間的比較(對(duì)數(shù)式后面會(huì)學(xué)習(xí))同號(hào)兩數(shù)比較大小或指數(shù)式之間比較大小(指數(shù)式后面會(huì)學(xué)習(xí))要比較的兩數(shù)(式)中有根號(hào)步驟(1)作差;(2)變形;(3)判斷差的符號(hào)；(4)下結(jié)論(1)作商;(2)變形;(3)判斷商值與的大??；(4)下結(jié)論(1)乘方;(2)用作差法或作商法知識(shí)點(diǎn)三等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)四不等式的性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意性質(zhì)1對(duì)稱性可逆性質(zhì)2傳遞性同向性質(zhì)3可加性可逆性質(zhì)3的推論移項(xiàng)法則可逆性質(zhì)4可乘性的符號(hào)性質(zhì)5同向可加性同向性質(zhì)6同向同正可乘性同向同正性質(zhì)7可乘方性同正=3\*GB3③注意不等式的單向性和雙向性，也就是說每條性質(zhì)是否具有可逆性.性質(zhì)和性質(zhì)及性質(zhì)的推論是可逆的，其余的性質(zhì)在一般情況下是不可逆的.=4\*GB3④在使用不等式的性質(zhì)時(shí)，一定要搞清楚它們成立的前提.例如，性質(zhì)要求兩個(gè)不等式為同向不等式；性質(zhì)要求兩個(gè)不等式為同向不等式且兩不等式同正.拓展點(diǎn)1不等式性質(zhì)的拓展1．不等式性質(zhì)和性質(zhì)的推廣2．不等式的倒數(shù)法則注：=1\*GB3①使用不等式的倒數(shù)法則的前提是被比較的兩個(gè)數(shù)需同正或同負(fù)，取倒數(shù)后不等號(hào)要“變號(hào)”.=2\*GB3②在使用不等式的性質(zhì)進(jìn)行解題時(shí)，需要變號(hào)的情形有兩種，同乘負(fù)數(shù)或者取倒數(shù)，即“乘負(fù)數(shù)，取倒數(shù)要變號(hào)”題型1用不等式（組）表示不等關(guān)系1．（2324高一上·云南曲靖·期中）下列說法正確的是（

）【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】用不等式表示不等關(guān)系【分析】利用不等式表示不等關(guān)系逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.故選：C【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】用不等式表示不等關(guān)系【分析】根據(jù)總時(shí)長小于1列不等式，即汽車所用時(shí)間加上摩托車所用時(shí)間小于1小時(shí)即得．故選：D．3．（2425高一上·河南·階段練習(xí)）在某校新生軍訓(xùn)考核評(píng)比中，甲班的分?jǐn)?shù)大于乙班的分?jǐn)?shù)，甲班和乙班的分?jǐn)?shù)之和大于170，且不大于190.設(shè)甲班和乙班的分?jǐn)?shù)分別為，則用不等式組表示為（

）【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】用不等式表示不等關(guān)系【分析】根據(jù)題意列出不等關(guān)系即可.故選：D4．（2324高一上·浙江嘉興·階段練習(xí)）下列關(guān)于糖水濃度的問題，能提煉出怎樣的不等關(guān)系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；(2)把原來的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡.【知識(shí)點(diǎn)】用不等式表示不等關(guān)系、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】將問題轉(zhuǎn)化為證明不等式成立，然后利用差比較法證得不等式成立.【詳解】（1）設(shè)糖水b克，含糖a克，糖水濃度為，加入m克糖，不妨用作差比較法，證明如下：（2）設(shè)原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為；另一份糖水d克，含糖c克，題型2比較實(shí)數(shù)（式子）的大小【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】利用作差法比較數(shù)的大小可得結(jié)論；【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】（1）（2）應(yīng)用作差法比較代數(shù)式的大小關(guān)系即可.7．（2324高一上·貴州六盤水·期中）從下列三組式子中選擇一組比較大?。鹤ⅲ喝绻x擇多組分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小、作商法比較代數(shù)式的大?、谟米鞑罘ū容^即可；③用作差法或作商法比較即可.【詳解】解：題型3利用不等式的性質(zhì)比較大小【答案】CD【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】應(yīng)用作差法計(jì)算比較判斷A，應(yīng)用不等式性質(zhì)計(jì)算判斷C，D，應(yīng)用特殊值法計(jì)算判斷B.故選：CD.A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及充分不必要條件定義判斷求解.故選：B.10．(多選)（2223高一上?河南濮陽?期中）下列不等式中不成立的是（

）【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】根據(jù)特值，不等式的性質(zhì)及作差法逐項(xiàng)分析即得.故選：AC.11．(多選)（2425高一上·湖南郴州·期末）下列命題為真命題的是（

）【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差比較大小的方法，逐項(xiàng)判斷即得.故選：BC12．(多選)（2425高一上?重慶?階段練習(xí)）下列說法中，正確的是（

）【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】賦值法驗(yàn)證A，由不等式的基本性質(zhì)驗(yàn)證BD，作差法驗(yàn)證C.故選：BC13．(多選)（2425高一上·江西吉安·期末）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列說法正確的是（

）【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【分析】利用比較法、特例法逐一判斷即可.故選：BCD.題型4利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍【知識(shí)點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍(1)求x的取值范圍【知識(shí)點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍【分析】（1）兩不等式相加可求x的取值范圍；【知識(shí)點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小故選：C題型5證明不等式18．（2324高一上?陜西榆林?期中）證明下列不等式：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小、由不等式的性質(zhì)證明不等式（2）利用作差法證明即可.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得答案.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)證明不等式方法三：幾何法，構(gòu)造符合題意的幾何圖形；方法四：幾何法直線與交于點(diǎn)，方法三：幾何法【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】分析法證明、反證法證明22．（2425高一上·遼寧·階段練習(xí)）根據(jù)要求完成下列問題：(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、由不等式的性質(zhì)證明不等式【分析】（1）①根據(jù)的符號(hào)去絕對(duì)值即可證不等式成立；②根據(jù)同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性質(zhì)可證明不等式成立；題型6不等式的實(shí)際應(yīng)用問題23．（2425高一上·山西晉中·期末）為衡量房屋的采光效果，行業(yè)一般采用窗地面積比（房間窗洞口面積與該房間地面面積的比值）作為標(biāo)準(zhǔn)，民用住宅的窗地面積比應(yīng)不小于10%，且不超過50%，而且這個(gè)比值越大，采光效果越好.設(shè)某住宅的窗洞口面積與地面面積分別為a，b.(1)若這所住宅的地面面積為100，求這所住宅的窗洞口面積的范圍；(2)若窗洞口面積和地面面積在原來的基礎(chǔ)上都增加了x，判斷這所住宅的采光效果是否變好了，并說明理由.(2)變好，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小、利用不等式求值或取值范圍【分析】（1）依題意得出不等關(guān)系，解不等式即可得出結(jié)果；（2）利用作差法計(jì)算比較出大小，可得結(jié)論.所以窗洞口和地面同時(shí)增加了相等的面積，住宅的采光效果變好了.(1)試找出與之間的不等量關(guān)系式；(2)【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、用不等式表示不等關(guān)系（2）兩個(gè)矩形的面積可以用和來表示，根據(jù)之間的不等關(guān)系及二次函數(shù)的最值，可求出面積的最大值.一、單選題1．某公司準(zhǔn)備對(duì)一項(xiàng)目進(jìn)行投資，提出兩個(gè)投資方案：方案A為一次性投資300萬；方案B為第一年投資80萬，以后每年投資20萬．下列不等式表示“經(jīng)過年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（

）【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】用不等式表示不等關(guān)系方法總結(jié)

用不等式（組）表示不等關(guān)系的步驟1．審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語；2．適當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)表示變量；3.用不等號(hào)表示關(guān)鍵詞語，并連接變量得不等式（組）．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小故選：C.【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合舉反例的方法，逐項(xiàng)檢驗(yàn)，可得答案.故選：D.4．（2425高一上·四川內(nèi)江·期末）下列命題是真命題的是（

）【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小、由已知條件判斷所給不等式是否正確、判斷命題的真假【分析】對(duì)于ABC：舉反例說明即可；對(duì)于D：利用作差法分析判斷即可.故選：D.【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍故選：B.【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小故選：D【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】通過觀察三個(gè)數(shù)的特征可知最大，再利用作差法判斷即可得出結(jié)果.故選：D8．（2425高一上·湖南湘潭·期中）兩次購買同一種物品，不考慮物品價(jià)格的升降，有以下兩種方案：甲方案是每次購買這種物品的數(shù)量一定；乙方案是每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定.對(duì)于以下兩種購物方案的優(yōu)惠程度的說法正確的是（

）A．甲方案更優(yōu)惠 B．乙方案更優(yōu)惠C．甲乙一樣優(yōu)惠 D．無法確定【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小故選：B二、多選題9．（2425高一上·湖南婁底·期末）下列命題為真命題的是（

）【答案】BD【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【分析】A.取特殊值判斷；B.利用不等式性質(zhì)判斷；C.取特殊值判斷；D.利用作差法判斷.故選：BD10．（2425高一上·廣東佛山·期中）在下列四個(gè)命題中，正確的是（

）【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可求解ACD，舉反例即可求解B.故選：ACD．【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)推理求解判斷.故選：ACD.三、填空題【答案】必要不充分條件【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)充分條件、必要條件及不等式的性質(zhì)得解.故答案為：必要不充分條件【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】將兩式分別平方，作差，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，判斷符號(hào)，得到大小關(guān)系.故答案為：.【答案】①②④【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)或取特殊值依次討論各選項(xiàng)即可得答案.故答案為：①②④.四、解答題【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)證明不等式、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】（1）利用比較法，作差即可判斷大小：（2）結(jié)合不等式性質(zhì)即可證明．【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小、利用不等式求值或取值范圍【分析】（1）利用作差法即可判斷大小.【答案】第二種購買方式更有利于控制投資成本.【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】分別求出兩種投資方式的平均單價(jià)，利用作差法比較它們的大小，可得結(jié)論.故第二種購買方式更有利于控制投資成本.18．（2425高一上·上?！て谥校┩趵蠋熀透呃蠋熞黄鹑ゼZ店打醬油共三次，王老師每次打100元醬油，高老師每次打100斤醬油，由于醬油市場(chǎng)瞬息萬變，每次打的醬油價(jià)格都不相