專題02圓中的重要模型之四點共圓模型（幾何模型講義）數(shù)學(xué)人教版九年級上冊

專題02圓中的重要模型之四點共圓模型四點共圓是初中數(shù)學(xué)的?？贾R點，近年來，特別是四點共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對四點共圓性質(zhì)的應(yīng)用，四點共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計算題或選擇中四點共圓模型的應(yīng)用（特別是最值問題），通常能簡化運算或證明的步驟，使問題變得簡單。本文主要介紹四點共圓的四種重要模型。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 4模型運用 6模型1.定點定長共圓模型（圓的定義） 6模型2.定邊對雙直角共圓模型 8模型3.定邊對定角共圓模型 11模型4.對角互補共圓模型 14TOC\o"14"\h\z\u 16漢代數(shù)學(xué)家張丘建在《九章算術(shù)》中首次提出四點共圓的理論雛形，宋代數(shù)學(xué)家基于《九章算術(shù)》進一步研究，明確“對角互補的四邊形必共圓”的判定條件，與阿拉伯研究形成互補。托勒密在《天文學(xué)大成》中提出?托勒密定理?：若凸四邊形內(nèi)接于圓，則兩對角線乘積等于兩組對邊乘積之和，并給出嚴謹證明。該定理首次將四點共圓與定量關(guān)系結(jié)合，成為后世判定核心依據(jù)之一。四點共圓模型從東西方獨立的定性認知起步，歷經(jīng)托勒密的定量跨越，最終在近現(xiàn)代整合為系統(tǒng)化工具，成為解決圓相關(guān)幾何問題的通用模型。其發(fā)展體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想從經(jīng)驗到邏輯、從孤立到互聯(lián)的演進本質(zhì)。初中幾何體系將四點共圓判定歸納為四大核心模型。

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【詳解】解：①連接、，如圖所示：

∴點A，C，E，B在以點O為圓心，以為圓心的圓上，∴點A，C，E，B四點共圓，故②正確；（2425九年級上·浙江杭州·期中）探究與實踐：“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究．∴點，，，四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）∴點，都在點，，所確定的上（依據(jù)）；∴點，，，四點在同一個圓上；【反思歸納】圓內(nèi)接四邊形對角互補；對角互補的四邊形四個頂點共圓；過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓；同圓中，同弧所對的圓周角相等；（）上述探究過程中的“依據(jù)”、“依據(jù)”分別是指什么？依據(jù)：；依據(jù)：．（從框內(nèi)選一個選項，直接填序號）∴點，，，四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）∴點，在點，，所確定的上（過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓）∴點，，，四點在同一個圓上，故答案為：，；1.定點定長共圓模型（圓的定義）若四個點到一定點的距離相等，則這四個點共圓。這也是圓的基本定義，到定點的距離等于定長點的集合。條件：如圖1，平面內(nèi)有五個點O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。結(jié)論：A、B、C、D四點共圓（其中圓心為O）。證明：∵OA=OB=OC=OD∴根據(jù)圓的定義：到定點的距離等于定長點的集合為圓，確定A、B、C、D四點共圓。圖1圖2（同側(cè)型）圖3（異側(cè)型）2.定邊對雙直角共圓模型定邊對雙直角模型：一定邊所對的角為兩個直角，分同側(cè)型和異側(cè)型兩種情況進行討論。1）定邊對雙直角模型（同側(cè)型）結(jié)論：A、B、C、D四點共圓，其中AD為直徑。2）定邊對雙直角模型（異側(cè)型）結(jié)論：A、B、C、D四點共圓，其中AD為直徑。注意：由于同側(cè)型與異側(cè)型證明相同，故下面證明一次即可。∴根據(jù)圓的定義：到定點的距離等于定長點的集合為圓，確定A、B、C、D四點共圓。3.定邊對定角共圓模型定邊對定角模型：一定邊同側(cè)所對的角為兩個相等（為定值）。圖1圖2圖3圖44.對角互補共圓模型模型1.定點定長共圓模型（圓的定義）例2（2425·江西贛州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，點O為線段AB的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接AC，BD．則下面結(jié)論不一定成立的是（

）A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BACC．AC平分∠BADD．∠BCD+∠BAD=180°【答案】C【詳解】如圖，以點O為圓心，OA長為半徑作圓．由題意可知：OA=OB=OC=OD．即點A、B、C、D都在圓O上．拓展延伸：①證明：如圖3中，連接，模型2.定邊對雙直角共圓模型【答案】B

【答案】A

模型3.定邊對定角共圓模型例1（2324九年級·福建福州·期中）如圖，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，將ABC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得到ADE，使D點落在BC邊上．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：A、D、B、E四點共圓．【答案】（1）10°；（2）見解析【詳解】解：（1）∵在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，∴∠C＝50°，∵將ABC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得到ADE，使D點落在BC邊上，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠C＝50°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°，∴∠BAD＝50°－40°＝10°證明（2）∵將ABC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得到ADE，∴∠ABC＝∠AED，∴A、D、B、E四點共圓．

例3（2024·湖南·模擬預(yù)測）綜合與實踐：“樂思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究．∴點A，B，C，E四點在同一個圓上．（對角互補的四邊形四個頂點共圓）∴點B，D在點A，C，E所確定的上．（依據(jù)2）∴點A，B，C，D四點在同一個圓上．反思歸納：(1)上述探究過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：________________．依據(jù)2：________________．【答案】(1)圓內(nèi)接四邊形對角互補；過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓(2)(3)見解析【詳解】（1）解：依題意，結(jié)合上下證明過程得：依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對角互補；依據(jù)2：過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓；故答案為：圓內(nèi)接四邊形對角互補；過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓；模型4.對角互補共圓模型【答案】見解析【答案】/例3（2425九年級上·云南·期中）綜合與實踐：“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究．

探究展示：如圖2所示，作經(jīng)過點，，的，在劣弧上取一點（不與，重合），點，，，四點在同一個圓上，（對角互補的四邊形四個頂點共圓）點，在點，，所確定的上，（依據(jù)點，，，四點在同一個圓上；反思歸納：（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：______；（從右邊框內(nèi)選一個選項，直接填序號）依據(jù)2：______．（從右邊框內(nèi)選一個選項，直接填序號）①圓內(nèi)接四邊形對角互補；②對角互補的四邊形四個頂點共圓；③過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓；④經(jīng)過兩點的圓的圓心在這兩點所連線段的垂直平分線上；【答案】（1）①，③（2）點，在點，，所確定的上的依據(jù)是：③過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓；故答案為：①，③；（2）作過，，的，在劣弧上取點，連接，，如圖：

，，，共圓，即在過，，的上，在過，，的上，，，，，共圓，1．（2425·廣西·模擬預(yù)測）如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．則BD的長為（）【答案】B【詳解】解：以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交⊙A于F，連接DF．∵AB=AC=AD=2，∴D，C在圓A上，∵DC∥AB，∴弧DF=弧BC，∴DF=CB=1，BF=AB+AF=2AB=4，【答案】BA．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①④【答案】C

【答案】②③④【詳解】解∶如圖1，設(shè)AC、BD交于點F，連接OC、OD，∴點A、C、D到點O的距離相等，故④正確；∵OD=OC=OA=OB=AB，∴∠BAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，∠OCB=∠ABC，∴∠BAD+∠OCD+∠OCB=∠ODA+∠ODC+∠ABC，∵∠AFD=∠BFC，∴∠DAC=∠DBC，故②正確；但是△ODC與△BOC不全等，∴DC≠BC，故①不一定成立，∴正確的是②③④，故答案為∶②③④．【答案】130【詳解】解：由題意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圓O，如圖所示，∴四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝130°，故答案為：130．7．（2425·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，平面直角坐標系中，點A、B坐標分別為（3，0）、（0，4），點C是x軸正半軸上一點，連接BC．過點A垂直于AB的直線與過點C垂直于BC的直線交于點D，連接BD，則的值是．【答案】【詳解】∵BA⊥AD，BC⊥CD∴∠BAD=∠BCD=90°∴A、B、C、D四點共圓∴∠BDA=∠BCA∵∠BDA+∠DBA=∠BCA+∠CBO=90°∴∠DBA=∠CBO∴∠DBA∠CBA=∠CBO∠CBA即∠DBC=∠ABO又∠DBC+∠BDC=∠ABO+∠BAO=90°∴∠BDC=∠BAO∵點A、B坐標分別為（3，0）、（0，4），8．（2425·黑龍江哈爾濱·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，連BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，則FT＝．【答案】17【詳解】∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；延長FE至點G，使得FG=FA，連AG，AT，∵∠AFE=60°，∴△AFG是等邊三角形，∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°，∵∠BAF+∠EAF=∠CAG+∠EAF=60°，∴∠BAF=∠CAG，∵DT=CE，∴∠DBT=∠BTD，∵∠BAD=∠CBE，∴∠BAD=∠BTD，∴A、B、D、T四點共圓，∴∠BAD=∠DAT，∴∠FAT=∠GAE，∵FG=50，TE=16，∴FT=(FGTE)=17．故答案為：17．

【詳解】解：連接并延長，如圖，

(2)【問題探究】根據(jù)（1）所畫圖形，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

11．（2425九年級上·內(nèi)蒙古通遼·期末）請閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．我們知道，過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓，那么過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？李雷經(jīng)過實踐探究發(fā)現(xiàn)了如下結(jié)論：如果線段同側(cè)兩點（與線段在同一平面內(nèi)）分別與線段兩端點的連線所組成的夾角相等，那么這兩點和線段兩端點四點共圓．下面是李雷證明上述命題的過程（不完整）．如圖③，若點在內(nèi)，……任務(wù)：(1)上述證明過程中的“依據(jù)”“依據(jù)”分別指什么？依據(jù)：______；

依據(jù)：______．【答案】(1)同弧所對的圓周角相等；三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和(2)證明見解析(3)【詳解】（1）解：依據(jù)：同弧所對的圓周角相等；依據(jù)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；故答案為：同弧所對的圓周角相等；三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；12．（2425九年級上·湖北鄂州·期末）請仔細閱讀以下材料：定理二：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．下面問題的關(guān)鍵地方或許能夠用到上述定理，如果用到，請直接運用相關(guān)結(jié)論；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法為主，只要正確，一樣得分．【答案】(1)證明過程見詳解(2)，(3)證明過程見詳解14．（2425九年級上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）實踐與探究探究課題：四點共圓的條件課題背景：過任意一個三角形的三個頂點都能作一個圓【答案】(1)這個結(jié)論正確，理由見解析；(2)沒有上述關(guān)系，理由見解析；(3)這個四邊形相對的兩個內(nèi)角互補．【詳解】（1）解：這個結(jié)論正確，理由如下：∵如圖1，經(jīng)過四邊形的四個頂點A、B、C、D，∴如果過某個四邊形的四個頂點不能作一個圓，那么其相對的兩個內(nèi)角互補．∴如果過某個四邊形的四個頂點不能作一個圓，那么其相對的兩個內(nèi)角之間不具備上述關(guān)系．∴如果過某個四邊形的四個頂點不能作一個圓，那么其相對的兩個內(nèi)角之間不具備上述關(guān)系．（3）解：根據(jù)（1）（2）可得：如圖2：判定過某個四邊形的四個頂點能作一個圓的條件是這個四邊形相對的兩個內(nèi)角互補．【詳解】（1）證明：連接，取的中點，連接、，∴、、、四點在以點O為圓心，以為半徑的圓上．16．（2425九年級上·江蘇徐州·期中）【材料閱讀】如果同一平面內(nèi)的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，簡稱“四點共圓”．在教材中學(xué)習(xí)了定理“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”后，學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探究，提出猜想“對角互補的四邊形四個頂點共圓”并嘗試用反證法進行驗證．證明：過點A、B、D作，假設(shè)點C不在上，則點C在外或內(nèi)若點C在圓內(nèi)，……（1）在圖2中，用直尺和圓規(guī)作出過點A，B，D的圓，參考以上思路補全圖形并完成后續(xù)證明；【深入探究】得出“對角互補的四邊形四個頂點共圓”是真命題后，繼續(xù)思考，四點共圓還可以有其他的條件嗎？請你在此基礎(chǔ)上展開探究：【結(jié)論應(yīng)用】應(yīng)用以上結(jié)論，解決下列問題：∴點C在圓上，∴點A、B、C、E四點在同一個圓上；（2）如圖，作經(jīng)過點A、B、D的，點A、B、C、E四點在同一個圓上，（對角互補的四邊形四個頂點共圓）點C在點A、B、E所確定的上，也就是在點A、B、D所確定的上，點A