5.3簡單的軸對(duì)稱圖形（第3課時(shí)）教案北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

第五章圖形的軸對(duì)稱5.2簡單的軸對(duì)稱圖形第3課時(shí)一、教學(xué)目標(biāo)1.運(yùn)用作圖和實(shí)驗(yàn)的方法，探索角平分線的有關(guān)性質(zhì).2.能運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題.3.會(huì)用尺規(guī)作出已知角的平分線，能規(guī)范地寫出已知、求作和作法.4.利用折紙的方法探索角的對(duì)稱性，進(jìn)一步體驗(yàn)軸對(duì)稱的特征，發(fā)展空間觀念.二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：運(yùn)用作圖和實(shí)驗(yàn)的方法，探索角平分線的有關(guān)性質(zhì).難點(diǎn)：能運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題.三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境【復(fù)習(xí)回顧】教師活動(dòng)：先提出問題，學(xué)生思考后回答問題.問題1：什么是軸對(duì)稱圖形？預(yù)設(shè)：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.問題2：角是軸對(duì)稱圖形嗎？如何驗(yàn)證你的結(jié)論？預(yù)設(shè)：角是軸對(duì)稱圖形.可以作出一個(gè)角對(duì)折一下看看角的兩邊是否重合.設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)回顧，為本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容作準(zhǔn)備.環(huán)節(jié)二探究新知【操作】請(qǐng)拿出你作的∠AOB，不利用工具，將它分成兩個(gè)相等的角.你有什么辦法？預(yù)設(shè)：對(duì)折教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生按照自己的設(shè)想實(shí)際操作驗(yàn)證，適時(shí)提出問題：打開紙片，看看折痕與這個(gè)角有何關(guān)系？預(yù)設(shè)：折痕平分了∠AOB.教師活動(dòng)：總結(jié)并給出結(jié)論.結(jié)論：角是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是角平分線所在的直線.設(shè)計(jì)意圖：通過具體動(dòng)手操作理解角是軸對(duì)稱圖形.【嘗試思考】如圖，OP是∠AOB的平分線，點(diǎn)C是OP上的任意一點(diǎn).在∠AOB中畫出以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)D和D'，連接CD和CD'.(1)你認(rèn)為線段CD和CD'之間有什么關(guān)系?說說你的理由.(2)特別地，當(dāng)CD⊥OA時(shí)，CD'與OB有怎樣的位置關(guān)系?為什么?此時(shí)，線段CD和CD'之間還有(1)中的關(guān)系嗎?由此你能得到什么結(jié)論?預(yù)設(shè)：（1）CD=CD'，理由一：用刻度尺測量CD，CD'，得到兩條線段的長度相等.理由二：連接DD'；因?yàn)镺P是∠AOB的平分線，點(diǎn)D和D'關(guān)于OP對(duì)稱，所以線段DD'被直線OP垂直平分.又因?yàn)辄c(diǎn)C是OP上的任意一點(diǎn)，所以CD=CD'（2）當(dāng)CD⊥OA時(shí)，CD'⊥OB；CD=CD'結(jié)論：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.你能嘗試證明一下嗎？驗(yàn)證：如圖，C為∠AOB的角平分線上一點(diǎn)，CD⊥OB，垂足為點(diǎn)D，CE⊥OA，垂足為點(diǎn)E，求證：CE=CD.證明：∵OC是∠AOB的平分線∴∠AOC=∠BOC∵CD⊥OB，CE⊥OA∴∠CDO=∠CEO又∵OC=OC∴△CDO≌△CEO(AAS)∴CD=CE.【歸納】定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.幾何語言：∵OC平分∠AOB，CD⊥OB，CE⊥AO，∴CD=CE.教師活動(dòng)：總結(jié)強(qiáng)調(diào)定理滿足條件，引導(dǎo)學(xué)生通過下面思考題進(jìn)行辨析.設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)角平分線定理的證明，幫助學(xué)生理解記憶定理內(nèi)容.【思考交流】如圖，已知∠AOB，如何作出它的平分線？假設(shè)∠AOB的平分線已作出，那么，(1)這條射線有什么特征?角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.(2)如何確定這條射線上的除端點(diǎn)之外的一個(gè)點(diǎn)?用三角尺、量角器、圓規(guī)等工具試一試.如果只用尺規(guī)呢?與同伴進(jìn)行交流.預(yù)設(shè)：（1）角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.需要確定的點(diǎn)是角的對(duì)稱軸上的點(diǎn)，因此應(yīng)當(dāng)從角兩邊進(jìn)行“對(duì)稱”的操作.設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生探索確定角平分線上點(diǎn)的方法，特別是只用尺規(guī)作圖的情況，鍛煉學(xué)生的尺規(guī)作圖技能，使學(xué)生掌握基本的幾何作圖方法，提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力和幾何圖形繪制能力.環(huán)節(jié)三應(yīng)用新知【典型例題】教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過程.例利用尺規(guī)，作∠AOB(如下圖)的平分線.已知：∠AOB，如下圖.求作：射線OC，使∠AOC=∠BOC.分析：①利用構(gòu)造全等三角形的方法，先在∠AOB的兩邊OB和OC上截取相等的線段OD、OE分別作為兩個(gè)三角形的兩邊.②在∠AOB內(nèi)找到點(diǎn)C，使CD=CE.③則△COD≌△COE(SSS)，得到∠AOC=∠BOC.作法：1.以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交OA于D，交OB于E，則OD=OE．3.作射線OC．OC就是∠AOB的平分線．設(shè)計(jì)意圖:通過解決例題讓學(xué)生熟悉尺規(guī)作角平分線的步驟.注意引導(dǎo)學(xué)生利用構(gòu)造全等三角形的方法作圖.【思考】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E.DE與DC相等嗎？為什么？教師引導(dǎo)學(xué)生分析轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生獨(dú)立完成解答.分析：①由BD是∠ABC的平分線想到可以應(yīng)用角平分線定理.②DC⊥BC，DE⊥AB，滿足角平分線定理的兩個(gè)條件.③應(yīng)用角平分線定理可得DE=DC.預(yù)設(shè)解答：相等，可以由角平分線定理證明.證明：∵BD是∠ABC的平分線在Rt△ABC中，∠C=90°∴DC⊥BC又∵DE⊥AB∴DE=DC.【思考交流】過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線與作一個(gè)平角的平分線，這兩種尺規(guī)作圖方法有什么共同點(diǎn)?與同伴進(jìn)行交流.預(yù)設(shè)：都涉及到了一個(gè)對(duì)稱軸的概念.在作垂線的情況下，利用的是直線的對(duì)稱性；而在作平角的平分線時(shí)，利用的是角的對(duì)稱性.設(shè)計(jì)意圖：通過這種類比思考，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的幾何操作中尋找共性，拓展思維深度和廣度，提升學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的整體把握能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的幾何內(nèi)容奠定思維基礎(chǔ).【回顧反思】回顧研究等腰三角形、線段、角的過程，你運(yùn)用了哪些方法?積累了哪些經(jīng)驗(yàn)?預(yù)設(shè)：方法：觀察法,測量法,折疊與拼接法,推理與論證法.經(jīng)驗(yàn)：從特殊到一般，學(xué)會(huì)利用測量工具（直尺、量角器等）和操作手段（折疊、拼接等）幫助理解圖形的性質(zhì)，同時(shí)利用邏輯推理深化對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí).設(shè)計(jì)意圖：有助于學(xué)生將這些經(jīng)驗(yàn)遷移到后續(xù)的幾何學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探索的能力，讓學(xué)生在面對(duì)新的幾何問題時(shí)，能夠運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)和方法進(jìn)行分析和解決，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).環(huán)節(jié)四鞏固新知【隨堂練習(xí)】教師給出練習(xí)，隨時(shí)觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.1.如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足為點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若PA=2，則線段PQ長度的最小值為多少？請(qǐng)說明理由.2.如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，并交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AB=6cm，則△DEB的周長是多少3.如圖所示，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC的長是多少？參考答案：1.解：長度最小值為2.∵直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短.∴過P做PQ⊥OM，垂足為Q，此時(shí)PQ即為所求.又∵OP平分∠MON，PA⊥ON.∴PQ=PA=2.2.解：∵∠C=90°∴AC⊥DC又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB∴DE=CD，△ACD≌△AED(AAS)∴AC=AE又∵AC=BC，∴BC=AE∴△DEB的周長=EB+BD+DE=EB+BD+CD=EB+BC=EB+AE=AB=6cm.3.解：∵