大概念為數(shù)學學力賦能：意義、路徑和教學策略

核心素養(yǎng)導向下的數(shù)學課程改革，落實到數(shù)學教學上最本位的體現(xiàn)就是對學生數(shù)學學力的培養(yǎng)。數(shù)學學力是指一個人理解和使用數(shù)學以應對現(xiàn)實生活中的問題，做出明智的決策，并解決數(shù)學相關問題的能力。數(shù)學學力主要包括數(shù)學知識的理解與掌握能力、數(shù)據(jù)收集和分析能力、運算能力、解決問題的能力、邏輯推理和分析能力、抽象表達與溝通能力、數(shù)學思維的應用能力等。數(shù)學學力的培育和發(fā)展融合在學生的數(shù)學學習中，是一個基于經(jīng)驗、思維和方法的感知、體驗、積累、運用過程。數(shù)學大概念在教學中的提出與運用可以為學生數(shù)學學力的發(fā)展提供依據(jù)和保障，形成一個教與學共進，知識、思維和方法相互作用的數(shù)學學力培養(yǎng)模式。一、大概念對于數(shù)學學力培養(yǎng)的意義數(shù)學大概念是指數(shù)學學科中一些具有廣泛應用性和重要性的核心概念或思想，它們是實現(xiàn)“從機械性理解（知其然而不知其所以然）到關系性理解（知其然并知其所以然）”的抓手。因此這些大概念能夠跨越具體的知識點，貫穿不同的數(shù)學主題和問題情境，幫助學生連接、遷移和應用數(shù)學知識，從而不斷激活、孵化與培養(yǎng)學生的數(shù)學學力。（一）建構知識的系統(tǒng)框架，提升知識理解能力數(shù)學大概念能夠幫助學生從零散的知識點中看到整體結構，建立系統(tǒng)性的認知。通過理解大概念，學生可以更容易地掌握數(shù)學學科的內在聯(lián)系，理解不同知識之間的相互作用和支持，掌握其內在的結構與邏輯，而不是孤立地記憶各個知識點，此時的大概念就是數(shù)學知識之間的結構性紐帶。例如，“立體圖形是由點（頂點）、線（棱）、面組成的”，這是立體圖形知識領域的大概念，基于此大概念開展立體圖形的探索研究，就形成了立體圖形的特征、表面展開圖、表面積、體積等知識點，它們之間的密切關系形成一個完整的知識網(wǎng)絡?；诖蟾拍钚纬傻闹R網(wǎng)絡有助于在各知識點的相互作用、相互支持下深化對知識的理解，有助于在解決問題時發(fā)揮知識之間的合力，助力學生解決問題。（二）促進思維模式的遷移，增強問題解決能力大概念的學習能使學生超越對數(shù)學概念、方法的表面理解，形成一種普適性的方法和思維模式。學生在面對新情境、新問題時，能夠迅速識別出問題的本質，選擇運用相應的大概念模式進行自主遷移，更加靈活、有效地解決各種問題。例如，在“小數(shù)四則運算”“多邊形面積”等知識學習時，學生開展豐富的基于“轉化思想”的自主實踐與研究，掌握并理解了“轉化思想”作為大概念運用時的前提和本質是“基于等值、等價、等量的關系實現(xiàn)未知向已知的轉換”。于是當學生遇到“異分母分數(shù)加減法”“圓的周長面積”“圓柱的體積”等學習挑戰(zhàn)時，“轉化思想”的模式能夠自主遷移，幫助學生找到解決問題的路徑。（三）主導分析模式的建立，發(fā)展邏輯推理能力數(shù)學學習是理性的，是邏輯主導的過程數(shù)學的一些大概念能為學生提供邏輯推理的基礎框架，幫助他們形成更清晰、更理性的推理思路。通過對這些數(shù)學大概念的學習和運用，學生能掌握基于情境和事實進行邏輯分析，抽象出關系模型，選擇方法解決問題，并基于現(xiàn)實進行反思驗證的問題解決模式。例如，“一個數(shù)乘分數(shù)，表示求這個數(shù)的幾分之幾是多少”，這是一個數(shù)乘分數(shù)的運算意義，也是指向分數(shù)關系問題解決的大概念。它明確了實際分數(shù)問題分析的一般步驟：收集并明確數(shù)據(jù)意義一找到反映數(shù)量之間關系的依據(jù)（單位“1”以及代表數(shù)量之間關系的分數(shù)）一確定數(shù)量之間的關系并正確表達（基于一個數(shù)乘分數(shù)的意義）一選擇相應的方式解決問題（列式或方程）。這是在大概念主導的邏輯推理基礎上建立的分析模式，極大地提高了學生解決問題的效率，同時發(fā)展了學生理性分析問題的能力。（四）反映本質的抽象概括，提升表達與溝通能力數(shù)學大概念是對事物本質屬性或事物之間關系的抽象，它代表著數(shù)學知識的精華，也是數(shù)學課程專業(yè)性的集中體現(xiàn)。通過理解和應用這些大概念，不僅學生的抽象思維能力得到了鍛煉，還可以用符號、公式或幾何圖形等抽象工具對其進行表達，提升了學生的數(shù)學表達能力。同時，掌握數(shù)學大概念可以使學生在數(shù)學交流中使用更準確的語言，表達更清晰的思想。大概念還為學生提供了共同的語言和結構，使得他們能夠清楚地向他人解釋數(shù)學問題及其解決方案。例如，運算律作為四則運算領域的大概念，學生通過充分的列舉和觀察分析，首先概括出等式的外在形式特點，然后理解其內在的等值發(fā)生規(guī)律，之后用“a+b=b+a”"（加法交換律）這樣的字母抽象表達出運算律，并且在應用運算律進行簡便計算時可以用這樣的表達式進行分析判斷和交流，在解決相應實際問題時找到合理的、簡約的路徑。二、大概念賦能數(shù)學學力的路徑利用數(shù)學大概念賦能學生數(shù)學學力增長是核心素養(yǎng)導向下數(shù)學課程教學理念的轉變，是開展數(shù)學整體教學設計與實踐的目標導向。因此數(shù)學大概念的提煉與表達，基于大概念的目標統(tǒng)整和實踐活動設計，大概念的理解、遷移和運用方式等都需要在學生的學習過程中體現(xiàn)，從而保障其對數(shù)學學力發(fā)展的支撐。（一）建立大概念導向的課程框架數(shù)學教學的設計應圍繞核心大概念進行而不是簡單地逐章逐節(jié)教授零散知識。在數(shù)學知識領域或單元教學中提煉大概念，分析大概念的統(tǒng)整價值（基于知識整體發(fā)展脈絡或基于學習思維方式的統(tǒng)一），以此為出發(fā)點建立一個課程框架，將不同的知識點有機聯(lián)系起來，能使學生從整體上理解數(shù)學結構和規(guī)律，把握基本學習方法。例如，以“度量就是數(shù)（計算、測量）物體有多少個單位量”為大概念，就可以建構“物體的度量”主題課程框架，其課程內容（小學部分）涵蓋幾何的長度、面積、體積、角度、質量、時間，同時還包含度量公式、單位換算與問題解決等課程內容（度量大概念主導下的課程結構圖如圖1）。在大概念主導的課程體系教學中，教師和學生更容易形成同一的、可遷移的學習方法。比如，幾何領域的長度、面積、體積的度量都是經(jīng)歷“統(tǒng)一單位量一數(shù)單位量一簡單地數(shù)（找到數(shù)的規(guī)律）一基于規(guī)律提煉度量公式一以公式替代數(shù)一解決生活實際問題”這一學習發(fā)展過程，把這一過程作為大概念可以讓學生開展遷移性自主學習，這是數(shù)學學力發(fā)展的重要標志。圖1度量大概念主導下的課程結構（二）組織開展結構化的自主探究學習結構化學習是學生在合理建構知識的基礎上，形成完整的認知結構、能力結構和思維結構[]。大概念作為核心，指向數(shù)學學習的核心內容和主要任務，是系統(tǒng)內知識結構化的紐帶，是結構化學習的支架。基于大概念開展單元整體教學就是要為學生創(chuàng)造結構化自主學習的時空，讓學生不斷加深對大概念的理解，從而提升自己的數(shù)學學力。例如，圍繞“圍成平面圖形的一周邊線的總長叫作平面圖形的周長\"這一大概念，設計從“認識周長”到“用尺規(guī)表示周長”，從“測量周長”到“探索長方形正方形周長”再到“用周長解決生活實際問題”的系統(tǒng)性單元教學內容，并組織學生完成單元結構化學習。其結構性體現(xiàn)在周長的概念（大概念）的理解性應用中，在應用中實現(xiàn)概念的演化發(fā)展，同時不斷獲得新知，達成單元知識的整體建構。（三）利用大概念開展跨領域、跨學科的數(shù)學實踐在實踐層面運用大概念建設跨學科課程，實現(xiàn)課程理論與教學理論的耦合，不失為落實課程標準的有效路徑[2。同一個數(shù)學大概念可以通過不同的方式，在不同的數(shù)學知識領域進行闡釋（如“類比思想”作為大概念，在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率領域都可以得到闡述和運用），這為數(shù)學跨學科學習主題及課程的創(chuàng)建提供了核心思想。多維度、多表征的學習活動，可以使學生從不同角度理解大概念，達成有效的遷移和應用，促進學生數(shù)學理解力、表達力、解決問題能力的發(fā)展。例如，在六年級“學校的運動場所及其利用狀況”跨學科主題學習中，學生首先運用在數(shù)學課堂學會的“提出問題、分析問題、解決問題”的基本步驟進行規(guī)劃設計，提出“學校運動場所種類及面積，開放的項目與時間，參與使用的學生數(shù)量、使用時間和使用效果”等核心問題，并利用“測量、估算、統(tǒng)計、概率分析”等數(shù)學大概念進行研究、分析和解釋，最終匯總成學習成果即提出“運動場所設備完善及其使用的改進建議”。在一項跨學科主題學習任務中，學生運用了多個數(shù)學大概念，并進行有效遷移，真正提升了數(shù)據(jù)收集和分析、問題解決、運算等數(shù)學學力。（四）借助信息化工具增強對大概念的理解利用數(shù)學軟件、計算器、電腦或在線資源，可以幫助學生掌握更豐富的學習方式，開展多維度的實踐操作和思維交流活動，獲取更多的直觀經(jīng)驗和學習資源，去實現(xiàn)對大概念的體驗、理解和運用。同時，信息化工具的應用可以提升大概念學習和運用的效率，緩解學習的過程性壓力，增強學生數(shù)學學習的信心。例如，在學習“圓的周長和面積”時，運用智能軟件可以呈現(xiàn)對圓進行分割重組的過程。這個替代學生實際操作的展示，有效彌補了實際操作中產(chǎn)生的各種偏差，節(jié)約了操作的時間，同時能利用3D效果全方位展示操作過程的細節(jié)，讓學生在全方位形象感知“轉化思想”的基礎上，對轉化中周長或面積的等量變換有了更深的體驗。信息科技手段的運用不僅改變了傳統(tǒng)的課堂學習方式，并且以技術力帶動學生數(shù)學學力的提升。三、大概念賦能數(shù)學學力的教學策略課堂是學生數(shù)學學力培養(yǎng)的主要陣地。課堂教學要做到發(fā)揮大概念的作用，更有效地促進學生數(shù)學學力的發(fā)展，就要在把握大概念特性的基礎上，結合學生學習的認知特點和心理需求，為學生學習提供全方位的支撐。（一）開展直觀體驗支撐的大概念顯性教學——有效輸出學力學生的學力形成有賴于習得的穩(wěn)定性，大概念是這種穩(wěn)定性產(chǎn)生的學理。這種穩(wěn)定性的形成還需要健康的心理支撐，即有安全的學習氛圍、可感的學習收獲、可見的應用成果。但大概念的高度抽象與概括也給學生帶來感知、體驗與運用的困難，因此教師要依據(jù)小學生重直觀體驗的認知特點開展顯性的教學，為學生掃清這樣的學習障礙。1.將抽象語言兒童化，讓大概念安全習得雖然小學教材對學習內容已經(jīng)做了加工，但教師還是要根據(jù)學生認知的特點，將一些不容易理解的、高度抽象的大概念用兒童化語言表達出來。例如，為了更好、更全面地讓學生掌握乘法意義大概念，教師在教學乘法口訣后，再讓學生說一說什么是乘法。根據(jù)學生的回答，教師整合出這樣的描述：“乘法是將幾個加數(shù)相同的加法算式寫得更簡單，并運用口訣快速得到結果的計算方法?！边@樣的乘法意義大概念，不僅體現(xiàn)學生對學習過程的完整體驗，更凸顯了乘法作為加法的“簡便運算”的本質，有利于學生產(chǎn)生積極背誦口訣、用乘法去解決實際問題的興趣，發(fā)展計算能力和對數(shù)學知識的理解力。2.將隱含本質表面化，讓大概念真切可感外顯大概念，即對抽象概括的大概念進行表征，其實質是將大概念具體化為預期可見的學習目標[3]。特別是那些作為大概念的數(shù)學思想方法，教師不僅要用它們來教，讓學生用它們來學，還要大大方方地把它們告知、呈現(xiàn)給學生，讓學生直接去感知、體驗和運用它們。例如，“只有理解統(tǒng)計數(shù)據(jù)的背景才能真正明晰統(tǒng)計的意義，從而選擇適宜的統(tǒng)計方法”這一大概念強調了統(tǒng)計分析過程中背景信息的重要性。學生不僅需要掌握基本的統(tǒng)計工具和方法，還需要理解數(shù)據(jù)背后的背景、來源、目的和適用范圍，才能做出有效的分析。但這一大概念從來沒有在教材內容中體現(xiàn)，這就需要教師在教“統(tǒng)計與概率”時，結合統(tǒng)計分析的可變性和生活實例告知學生這一統(tǒng)計背景分析的重要性和運用方法。這對于培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)意識和實際分析能力至關重要，它幫助學生從單純的數(shù)據(jù)處理者轉變?yōu)閿?shù)據(jù)解釋者和決策者。3.將探索過程可視化，讓大概念有效建構學生基于大概念開展自主學習，首先是在模仿中運用，然后才能走向自主遷移與創(chuàng)造，學力也在這樣的過程中得到發(fā)展。因此我們的教學要讓學生有更多、更清晰的過程性模仿，過程中大概念主導的知識建構、大概念引領的思維方式和探究行為要讓學生看得見、聽得見，看得清、聽得清。例如，學習“長方形、正方形的面積”圍繞面積計量的大概念“數(shù)圖形中含有多少個單位面積”展開，讓學生體驗在長方形中擺放單位面積的小正方形，展現(xiàn)從“數(shù)一數(shù)”到“簡單地數(shù)”（有順序地數(shù)每行幾塊、有幾行），接著“想象著數(shù)”（依據(jù)規(guī)律用乘法算），到“推導計算公式”（用公式替代數(shù)）這樣一個完整的探究過程。這樣有層次、有目標的過程，會讓學生產(chǎn)生清晰的記憶，能幫助學生遷移到多邊形面積乃至其他“度量”的學習中。4.將鞏固與運用實踐化，讓大概念活化遷移數(shù)學學力的鞏固和提升離不開大概念的運用。在運用中加強實踐與操作可以強化各種感官的刺激作用和各種思維方式的碰撞沖擊，在計劃、嘗試、失敗、成功中收獲完整的實踐體驗，活化學生對大概念的意義、作用和運用方式的理解，保障大概念能在今后的學習中得到有效遷移，從而提升學生的數(shù)學學力。例如，在學習了“比例”之后，開展“學校建筑模型設計圖制作”“學校參觀線路圖設計”等實踐活動。學生要在“表示兩個比相等的式子叫作比例”這一大概念的基礎上，主動探索和建構生活中比例運用的路徑、方式和原則，然后進行計算、繪圖、展示與表達。在這樣的實踐活動中，學生的數(shù)學學力得到多方位的鍛煉。（二）建構真實情境支撐的大概念體驗過程—有效激活學力數(shù)學大概念來源于真實的問題解決過程，它的價值同樣集中體現(xiàn)在基于問題的真實學習和生活中。因此真實情境的支撐是學好大概念、用好大概念，提升學生數(shù)學學力的基礎例如，教學“認識三角形”內容時，教師創(chuàng)設了一組問題情境：第一個情境是“用身邊的材料和工具創(chuàng)造一個三角形”。在學生完成畫一個三角形、用小棒圍一個三角形、在卡紙上剪出一個三角形后，教師引導學生分組討論“你們創(chuàng)作的圖形為什么就是三角形？”最終抽象概括“三條線段首尾相接圍成的圖形是三角形”。三角形的定義作為大概念，在創(chuàng)作三角形的問題情境中得以感知和表達。第二個問題情境是“斜拉橋的拉索為什么是‘斜’的？”教師引導學生看圖討論，結合網(wǎng)絡媒體信息尋找答案。學生發(fā)現(xiàn)斜拉橋的拉索“斜”著，就是以兩條相接的斜拉索和橋面組成一個三角形，這樣橋就更牢固了三角形具有穩(wěn)定性，是因為三條邊（線段）首尾相接，互相產(chǎn)生支撐與牽制的力量。第三個情境是“小組合作，用小棒（統(tǒng)一規(guī)格）搭建一個框架，在穩(wěn)定性前提下，比一比哪組搭建得最高”。第四個問題情境是“注意觀察，在生活中找找，發(fā)現(xiàn)在哪些事物上經(jīng)常看到三角形，這些三角形能發(fā)揮怎樣的作用”。從在創(chuàng)作中感知大概念的起源，到在實踐中探索大概念的內在特性，再到在動手創(chuàng)造和生活運用中深度體驗，學生對于“三條線段首尾相接圍成，從而達成三角形的穩(wěn)定性”有了深刻的理解和運用意識，數(shù)學綜合學力得到發(fā)展。（三）做好問題鏈支撐的大概念結構性延伸—有效提升學力大概念對數(shù)學學力的提升，主要體現(xiàn)在對學生數(shù)學學習思維能力的提升。在學習中無論邏輯性思維還是結構性思維，都需要在大腦中及時產(chǎn)生激發(fā)與運用的意識，因此應對新內容、新問題的挑戰(zhàn)，可用的大概念不是越多越好，而是越“大”越好。所謂的“大”，就是能統(tǒng)御更多學習內容，跨越更多知識領域，及時為學生打通學習的脈絡。這就需要教師以啟發(fā)性問題鏈引導學生一步步加深