【公開(kāi)課】三角形的中線(xiàn)、角平分線(xiàn)、高+課件+2025-2026學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

第十三章三角形13.2與三角形有關(guān)的線(xiàn)段13.2.2三角形的中線(xiàn)、角平分線(xiàn)、高目錄1.學(xué)習(xí)目標(biāo)4.知識(shí)點(diǎn)1 三角形的中線(xiàn)7.課堂小結(jié)3.新課導(dǎo)入5.知識(shí)點(diǎn)2 三角形的角平分線(xiàn)8.當(dāng)堂小練CONTENTS2.知識(shí)回顧9.對(duì)接中考10.拓展與延伸6.知識(shí)點(diǎn)3 三角形的高1.理解三角形的中線(xiàn)、角平分線(xiàn)、高線(xiàn)等概念.2.掌握三角形的中線(xiàn)、角平分線(xiàn)、高線(xiàn)的畫(huà)法.3.能夠利用三角形三邊關(guān)系、三種重要線(xiàn)段的概念，解決一些與線(xiàn)段或角度有關(guān)的計(jì)算或證明問(wèn)題，逐步提高推理能力.學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)回顧定義圖示垂線(xiàn)

線(xiàn)段中點(diǎn)

角平分線(xiàn)當(dāng)兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線(xiàn)互相垂直，其中一條直線(xiàn)叫做另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)

把一條線(xiàn)段分成兩條相等的線(xiàn)段的點(diǎn)AB一條射線(xiàn)把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線(xiàn)叫做這個(gè)角的平分線(xiàn)OBA新課導(dǎo)入在這些三角形中，除了邊之外，還有一些特殊的線(xiàn)段，它們有著獨(dú)特的性質(zhì)和作用，大家想不想知道是什么呢？新課講解知識(shí)點(diǎn)1三角形的中線(xiàn)連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)的邊的中點(diǎn)，所得線(xiàn)段叫作三角形的這條邊上的中線(xiàn).三角形的中線(xiàn)的定義

DCBA中點(diǎn)中線(xiàn)新課講解中線(xiàn)的畫(huà)法：連接△ABC的頂點(diǎn)A和它所對(duì)的邊BC的中點(diǎn)D，所得線(xiàn)段AD叫做△ABC的邊BC上的中線(xiàn).DCBAEF用同樣的方法，你能畫(huà)出△ABC的另兩條邊上的中線(xiàn)嗎？新課講解你能分別畫(huà)出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線(xiàn)嗎？觀(guān)察它們中線(xiàn)的交點(diǎn)你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？三角形的三條中線(xiàn)交于三角形內(nèi)部一點(diǎn).這一點(diǎn)我們稱(chēng)為三角形的重心.探究新課講解DCBA【思考】被三角形的中線(xiàn)分成的兩個(gè)小三角形的面積大小有什么關(guān)系？相等，因?yàn)閮蓚€(gè)三角形等底同高，所以它們面積相等.三角形的中線(xiàn)將三角形分成面積相等的兩個(gè)小三角形.新課講解例1.如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條中線(xiàn)，下列結(jié)論一定正確的是（

）B新課講解例2.如圖，在△ABC中，AD，BE分別是△ABC，△ABD的中線(xiàn).(1)若△

ABD與△ADC

的周長(zhǎng)之差為3，AB=8，求AC的長(zhǎng)；(2)若S

△ABC=8，求S

△ABE.方法點(diǎn)撥：利用中線(xiàn)將三角形分成的兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之間的關(guān)系和面積之間的關(guān)系解題.解：(1)∵AD

為BC

邊上的中線(xiàn)，∴BD=CD.∴△ABD與△ADC

的周長(zhǎng)之差為(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)=AB－AC.∵△ABD

與△ADC

的周長(zhǎng)之差為3，AB=8，∴8－AC=3，解得AC=5.

新課講解練一練1.在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中線(xiàn)，若△ABD的周長(zhǎng)比△ADC的周長(zhǎng)大2cm，則BA＝________.7cm解析：因?yàn)椤鰽BD的周長(zhǎng)＝AB+BD+AD，△ADC的周長(zhǎng)＝AC+DC+AD，所以△ABD的周長(zhǎng)-△ADC的周長(zhǎng)＝（AB+BD+AD）-（AC+DC+AD）＝AB-AC=2cm.又因?yàn)锳C＝5cm，所以AB＝7cm.新課講解練一練2.如圖，有一塊三角形菜地，現(xiàn)要將其分成面積比為1∶1∶2的三塊，已知點(diǎn)A處是三塊菜地的共同水源處，則三塊菜地應(yīng)該怎么分？解：根據(jù)面積比為1∶1∶2的要求，可以將三角形菜地的總面積看作4份.如圖，作△ABC的中線(xiàn)AD，△ABD的中線(xiàn)AE，所得到的△ABE，△AED，△ADC的面積比就是1∶1∶2.ABCED三角形的中線(xiàn)可以將三角形分成面積相等的兩個(gè)小三角形新課講解1.三角形的中線(xiàn)把三角形分成的兩個(gè)三角形的面積之間的關(guān)系和周長(zhǎng)之間的關(guān)系：(1)兩個(gè)三角形的面積相等；(2)兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)的差等于原三角形另兩邊的差.2.中線(xiàn)是一條線(xiàn)段，一個(gè)端點(diǎn)是頂點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)是中點(diǎn).總結(jié)新課講解知識(shí)點(diǎn)2三角形的角平分線(xiàn)符號(hào)語(yǔ)言：如圖，畫(huà)△ABC的∠A的平分線(xiàn)AD，交∠A所對(duì)的邊BC于點(diǎn)D，所得線(xiàn)段AD叫作△ABC的角平分線(xiàn).在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)與這個(gè)角所對(duì)的邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線(xiàn)段叫作三角形的角平分線(xiàn).12ABCD①AD是△ABC的角平分線(xiàn)，②AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，

三角形的角平分線(xiàn)的定義新課講解角平分畫(huà)法：畫(huà)∠A的平分線(xiàn)AD，交∠A所對(duì)的邊BC于點(diǎn)D，所得線(xiàn)段AD叫做△ABC的角平分線(xiàn).用同樣的方法，你能畫(huà)出△ABC的另外兩條角平分線(xiàn)嗎？DBCAEF1.角的平分線(xiàn)是一條射線(xiàn)，而三角形的角平分線(xiàn)是一條線(xiàn)段.2.三角形的角平分線(xiàn)是其內(nèi)角的平分線(xiàn)的一部分，故角的平分線(xiàn)的性質(zhì)三角形的角平分線(xiàn)都具有.注意新課講解三角形的三條角平分線(xiàn)交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)我們稱(chēng)為三角形的內(nèi)心.分別畫(huà)出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條角平分線(xiàn)，觀(guān)察它們是否也有這樣的發(fā)現(xiàn)？探究新課講解在一張薄紙上任意畫(huà)一個(gè)三角形，你能設(shè)法畫(huà)出它的一個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)嗎?

BCA方法一：探究折紙：在一張紙上畫(huà)出一個(gè)三角形并剪下，將它的一個(gè)角對(duì)折，使其兩邊重合.折痕即為三角形的∠A的平分線(xiàn).BCA方法二：新課講解例3.如圖，D

是△

ABC的邊AC

上一點(diǎn)，DE∥BC交AB

于點(diǎn)E，若∠EDB=∠EBD，求證：BD是△ABC

的角平分線(xiàn).思路導(dǎo)引：證明：∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC.又∵∠EDB=∠EBD，∴∠DBC=∠EBD.∴BD是△ABC

的角平分線(xiàn).新課講解例

D新課講解練一練1.如圖，AD，BE，CF分別是△ABC的三條角平分線(xiàn)，請(qǐng)根據(jù)圖中各角之間的關(guān)系填空：DABCEF1234

2∠ABC2新課講解練一練2.在△ABC中，已知∠A

=50°，BE，CF分別是∠ABC，∠ACB的平分線(xiàn)，相交于點(diǎn)P.∠ABP=21°，求∠BCP的度數(shù).

新課講解知識(shí)點(diǎn)3三角形的高符號(hào)語(yǔ)言：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對(duì)的邊所在直線(xiàn)畫(huà)垂線(xiàn)，連接頂點(diǎn)和垂足的線(xiàn)段叫作三角形的這條邊上的高.①AD是△ABC的邊BC上的高，②AD⊥BC于點(diǎn)D，

三角形的高的定義高底ABCD如圖，從△ABC的頂點(diǎn)A向它的對(duì)邊BC所在直線(xiàn)畫(huà)垂線(xiàn)，垂足為D，所得線(xiàn)段AD叫做△ABC的邊BC上的高.記作AD⊥BC于點(diǎn)D.新課講解探究

分別畫(huà)出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條高，你有什么發(fā)現(xiàn)？ABCDEFBACFABCDEF三角形的三條高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)我們稱(chēng)為三角形的垂心.新課講解三角形三條高的位置三角形銳角三角形直角三角形鈍角三角形三條高的位置三條高都在三角形內(nèi)部有兩條高恰好是它的兩條直角邊，另一條高在三角形內(nèi)部有兩條高在三角形外部，另一條高在三角形內(nèi)部三條高的交點(diǎn)三條高交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)三條高交于三角形的直角頂點(diǎn)三條高沒(méi)有交點(diǎn)，但三條高所在的直線(xiàn)交于三角形外一點(diǎn)新課講解1.三角形的高是一條垂線(xiàn)段，一個(gè)端點(diǎn)是頂點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)是垂足.2.畫(huà)三角形高的關(guān)鍵：找準(zhǔn)頂點(diǎn)和對(duì)邊；3.畫(huà)三角形高的步驟：過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作該直線(xiàn)的垂線(xiàn)段.注意三角形高的畫(huà)法：用三角板過(guò)三角形的某一頂點(diǎn)向其對(duì)邊或?qū)吽谥本€(xiàn)畫(huà)垂線(xiàn)，交對(duì)邊或?qū)呇娱L(zhǎng)線(xiàn)于一點(diǎn)，所得的垂線(xiàn)段就是這條邊上的高.新課講解例5.作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(

)D三角形任意一邊上的高必須滿(mǎn)足：(1)過(guò)該邊所對(duì)的頂點(diǎn)；(2)垂足必須在該邊或在該邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上．方法總結(jié)新課講解例6.下列圖形中，AD是△ABC的高的是（）BABCDABCDABCDABCDABCD判斷一條線(xiàn)段是否為三角形的高的方法：一看頂點(diǎn)：三角形的高一定過(guò)頂點(diǎn).二看垂足：三角形的高的垂足在頂點(diǎn)的對(duì)邊或?qū)呇娱L(zhǎng)線(xiàn)上.方法總結(jié)新課講解練一練

D

新課講解練一練2.如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）A.銳角三角形

B.直角三角形C.鈍角三角形

D.不能確定B三角形的內(nèi)部三角形的直角頂點(diǎn)三角形的外部新課講解三角形三種重要線(xiàn)段的區(qū)別與聯(lián)系三角形的中線(xiàn)三角形的角平分線(xiàn)三角形的高用途舉例(1)證線(xiàn)段相等；(2)證面積相等證角相等(1)證線(xiàn)段垂直；(2)證角相等在圖中的位置三條中線(xiàn)全在三角形內(nèi)三條角平分線(xiàn)全在三角形內(nèi)銳角三角形三條高全在三角形內(nèi)直角三角形一條高位于三角形內(nèi)，另兩條高與兩直角邊重合鈍角三角形一條高位于三角形內(nèi)，另兩條高位于三角形外條數(shù)三條三條三條交點(diǎn)位置在三角形內(nèi)在三角形內(nèi)銳角三角形在三角形內(nèi)直角三角形在直角頂點(diǎn)處鈍角三角形沒(méi)有交點(diǎn)課堂小結(jié)三角形中線(xiàn)連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)的邊的中點(diǎn)的線(xiàn)段.角平分線(xiàn)高一個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)與這個(gè)角所對(duì)的邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線(xiàn)段.從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對(duì)的邊所在直線(xiàn)畫(huà)垂線(xiàn)，頂點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段.當(dāng)堂小練1.如圖，在△ABC中，∠1=∠2，G為AD中點(diǎn)，延長(zhǎng)BG交AC于E，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，CF交AD于H，判斷下列說(shuō)法的正誤.（1）AD是△ABE的角平分線(xiàn)()（2）BE是△ABD邊AD上的中線(xiàn)()（3）BE是△ABC邊AC上的中線(xiàn)()⌒⌒ABCDE12FGH××分析：（1）AD線(xiàn)段不在△ABE內(nèi)部，所以不是其角平分線(xiàn)（2）BE線(xiàn)段不在△ABD內(nèi)部，所以不是其角平分線(xiàn)（3）AE不等于CE,所以BE不是△ABC邊AC上的中線(xiàn)×當(dāng)堂小練2.如圖，在△ABC中，∠1=∠2=∠3=∠4，則下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．AD是△ABE的中線(xiàn)B．AE是△ABC的角平分線(xiàn)C．AF是△ACE的高線(xiàn)D．AE是△ABC的中線(xiàn)BABCDEF1234∠1+∠2=∠3+∠4當(dāng)堂小練3.下列說(shuō)法正確的是()C①三角形的角平分線(xiàn)是射線(xiàn)；②三角形的三條角平分線(xiàn)都在三角形內(nèi)部，且相交于一點(diǎn)；③三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部；④三角形的一條中線(xiàn)把該三角形分成面積相等的兩部分A.①②④

B.②③④

C.②④

D.①②③④當(dāng)堂小練

CEBC∠CAD∠BAC∠CFABCDEAF

當(dāng)堂小練思路引導(dǎo)：5.如圖所示，已知△ABC的周長(zhǎng)為27cm，AC=9cm，BC邊上的中線(xiàn)AD為6cm，△ABD的周長(zhǎng)為19cm，AB=

.8cmCADBAB+BC+AC=27cm，AC=9cmAB+BD+AD=19cm，AD=6cmAB+BC=18cmAB+BD=13cmAB=8cmBC=2BD當(dāng)堂小練6.如圖，在△ABC中，CD是中線(xiàn),已知BC-AC=5

cm，△DBC的周長(zhǎng)