分式方程 教學(xué)設(shè)計(jì) 2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

第十八章分式18.5分式方程教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：本節(jié)課是人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第十八章分式的18.5分式方程，主要內(nèi)容包括分式方程的定義，即分母中含有未知數(shù)的方程；分式方程的解法，通過(guò)去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，以及解分式方程時(shí)必須進(jìn)行檢驗(yàn)的步驟；同時(shí)還涉及分式方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，包括根據(jù)實(shí)際情境列出分式方程并求解。內(nèi)容解析：分式方程是在整式方程的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的，它與整式方程的主要區(qū)別在于分母中含有未知數(shù)，這使得分式方程的求解需要運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，通過(guò)去分母將其轉(zhuǎn)化為整式方程，而這一轉(zhuǎn)化過(guò)程可能會(huì)引入增根，因此檢驗(yàn)步驟至關(guān)重要。分式方程的學(xué)習(xí)不僅拓展了方程的類(lèi)型，也為解決更復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題提供了新的工具，同時(shí)加深了學(xué)生對(duì)方程思想和轉(zhuǎn)化思想的理解與運(yùn)用。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：能夠準(zhǔn)確識(shí)別分式方程，理解分式方程的概念。掌握分式方程的解法，能正確運(yùn)用去分母的方法將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程并求解，同時(shí)能熟練進(jìn)行檢驗(yàn)。能夠運(yùn)用分式方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。目標(biāo)解析：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生在知識(shí)層面上，能夠清晰區(qū)分分式方程與整式方程，熟練掌握分式方程的求解流程，包括去分母、解整式方程、檢驗(yàn)等環(huán)節(jié)，提升運(yùn)算能力；在能力層面上，經(jīng)歷將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過(guò)程，加深對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解和運(yùn)用，培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的方程以及函數(shù)等知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用性。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生在學(xué)習(xí)分式方程時(shí)，可能會(huì)對(duì)分式方程與整式方程的區(qū)分存在困難，容易混淆兩者的概念，特別是在一些形式較為復(fù)雜的方程中，難以準(zhǔn)確判斷是否為分式方程。在解分式方程去分母的過(guò)程中，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)找錯(cuò)最簡(jiǎn)公分母的情況，或者在方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母時(shí)，漏乘不含分母的項(xiàng)，導(dǎo)致轉(zhuǎn)化后的整式方程出錯(cuò)，影響最終的求解結(jié)果。學(xué)生對(duì)檢驗(yàn)步驟的重要性認(rèn)識(shí)不足，容易忽略檢驗(yàn)環(huán)節(jié)，或者在檢驗(yàn)時(shí)僅僅將解代入整式方程進(jìn)行驗(yàn)證，而沒(méi)有代入最簡(jiǎn)公分母檢查是否為零，從而無(wú)法發(fā)現(xiàn)增根，得出錯(cuò)誤的結(jié)論。四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）情景引入問(wèn)題1：章引言中提到，一艘輪船在靜水中的速度為30km/h，它順?biāo)叫?0km所用的時(shí)間與逆水航行60km所用的時(shí)間相等，你能根據(jù)這個(gè)條件列出方程嗎？問(wèn)題2：觀察你所列出的方程，它與我們之前學(xué)習(xí)的整式方程有什么不同呢？問(wèn)題3：像這樣分母中含有未知數(shù)的方程，我們可以給它起個(gè)什么名字呢？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際情境中的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生列出方程，讓學(xué)生在具體的問(wèn)題中感受新方程的特點(diǎn)，從而自然地引出分式方程的概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。這一過(guò)程能夠培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系列方程的能力，對(duì)應(yīng)目標(biāo)3中運(yùn)用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題的初步感知，同時(shí)也為目標(biāo)1中識(shí)別分式方程奠定基礎(chǔ)。（二）合作探究1探究1：我們已經(jīng)知道了什么是分式方程，那如何解分式方程9030答：可以嘗試將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解。追問(wèn)：那怎樣才能將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程呢？答：可以在方程兩邊同乘各分母的最簡(jiǎn)公分母。追問(wèn)：這個(gè)方程中各分母的最簡(jiǎn)公分母是什么呢？答：是(30追問(wèn)：在方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母后，得到的整式方程是什么？答：90(追問(wèn)：解這個(gè)整式方程，求出的解是多少？答：解得v=（三）鞏固練習(xí)1解方程5解：方程兩邊同乘x(x?2)，得5(x?2檢驗(yàn)：當(dāng)x=?5時(shí)，x(解方程2解：方程兩邊同乘(x+3)(x?1)，得檢驗(yàn)：當(dāng)x=5時(shí)，(x（四）合作探究2探究2：我們?cè)賴(lài)L試解分式方程1x問(wèn)題：這個(gè)方程的最簡(jiǎn)公分母是什么？答：(x問(wèn)題：方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母后得到的整式方程是什么？答：x+問(wèn)題：解這個(gè)整式方程，結(jié)果是多少？答：x=追問(wèn)：這個(gè)解是不是原分式方程的解呢？答：把x=5代入原分式方程，分母x?猜想：為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？是不是去分母的過(guò)程中出現(xiàn)了什么問(wèn)題？驗(yàn)證：當(dāng)x=5時(shí)，最簡(jiǎn)公分母研究3：根據(jù)以上探究，我們可以總結(jié)出解分式方程時(shí)需要檢驗(yàn)的原因：解分式方程去分母時(shí)，方程兩邊要乘同一個(gè)含未知數(shù)的最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)這個(gè)最簡(jiǎn)公分母的值不為0時(shí)，所得整式方程的解與原分式方程的解相同；當(dāng)最簡(jiǎn)公分母的值為0時(shí)，所得整式方程的解會(huì)使原分式方程的分母為0，這樣的解不是原分式方程的解。因此，解分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)，將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則是原分式方程的解，否則不是。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體的分式方程求解過(guò)程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)增根的存在，引導(dǎo)學(xué)生探究出現(xiàn)增根的原因，從而理解檢驗(yàn)步驟的必要性。這一過(guò)程能夠培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和邏輯思維能力，使學(xué)生掌握解分式方程必須檢驗(yàn)的要點(diǎn)，對(duì)應(yīng)目標(biāo)2中熟練進(jìn)行檢驗(yàn)的要求，同時(shí)加深對(duì)分式方程解法的理解。（五）典例分析例1：解方程2解：方程兩邊乘x(x?3)，得2x=3(x檢驗(yàn)：當(dāng)x=9時(shí)，x(設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)典型例題的詳細(xì)講解，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉分式方程的解法步驟，包括去分母、解整式方程、檢驗(yàn)等環(huán)節(jié)，規(guī)范學(xué)生的解題過(guò)程。這一例題能夠鞏固學(xué)生對(duì)分式方程解法的掌握，提升學(xué)生的運(yùn)算能力，對(duì)應(yīng)目標(biāo)2中正確求解分式方程并檢驗(yàn)的要求。（六）鞏固練習(xí)例1：解方程1解：方程兩邊乘2x(x+3)，得x+3檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，2x(例2：解方程x解：方程兩邊乘3(x+1)，得3x=2x+3檢驗(yàn)：當(dāng)x=?32時(shí)，3例3：解方程2解：方程兩邊乘(x?1)(x+1)，得2(檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，(x設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)不同類(lèi)型的練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固分式方程的解法，包括有解和無(wú)解的情況，進(jìn)一步熟練檢驗(yàn)步驟。這些練習(xí)能夠提升學(xué)生解分式方程的運(yùn)算能力，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，對(duì)應(yīng)目標(biāo)2中正確求解并檢驗(yàn)分式方程的要求。（七）歸納總結(jié)知識(shí)點(diǎn)具體內(nèi)容分式方程的定義分母中含有未知數(shù)的方程解分式方程的步驟1.去分母，方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母，轉(zhuǎn)化為整式方程；2.解整式方程；3.檢驗(yàn)，將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，若不為0則是原方程的解，否則不是檢驗(yàn)的必要性去分母時(shí)可能乘了等于0的式子，導(dǎo)致整式方程的解不是原分式方程的解（八）感受中考（2023·北京）方程3x=4A.x=3B.x=?3解：方程兩邊乘x(x+1)，得3(x+1)=4x，展開(kāi)括號(hào)得3x（2024·上海）解方程x解：方程兩邊乘(x?2)(x+2)，得x(x+2)+3(（2023·廣州）分式方程1x?1A.有解x=1B.有解x=?1C.解：方程兩邊乘(x?1)(x+1)，得x+（2024·深圳）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間相同，設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A.600x+C.600x=解：現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)(x+50設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力.（九）小結(jié)梳理（十）布置作業(yè)必做題：解下列方程：((甲、乙兩人做某種機(jī)械零件，已知甲每小時(shí)比乙多做6個(gè)，甲做90個(gè)所用的時(shí)間與乙做60個(gè)所用的時(shí)間相等，求甲、乙每小時(shí)各做零件多少個(gè)？選做題：改良玉米品